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1、广东省东莞市汇英中学 2020年高二数学文下学期期末试题含解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若 c2=（ab）2+6，ABC 的面积为，则 C=（）A B C D 参考答案：A【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】由已知和余弦定理可得 ab 及 cosC 的方程，再由面积公式可得 ab 和 sinC 的方程，由同角三角函数基本关系可解 cosC，可得角 C【解答】解：由题意可得 c2=（ab）2+6=a2+b22ab+6，由余弦定理可得 c2=
2、a2+b22abcosC，两式联立可得 ab（1cosC）=3，再由面积公式可得 S=absinC=，ab=，代入 ab（1cosC）=3 可得 sinC=（1cosC），再由 sin2C+cos2C=1 可得 3（1cosC）2+cos2C=1，解得 cosC=，或 cosC=1（舍去），C（0，），C=，故选：A【点评】本题考查余弦定理，涉及三角形的面积公式和三角函数的运算，属中档题 2.双曲线方程为，则它的右焦点坐标为 （）参考答案：C 3.已知直线 与的夹角的平分线为，如果的方程是，那么的方程是：A.B.C.D.参考答案：A 4.某调查机构调查了某地 100 个新生婴儿的体重，并根据所
3、得数据画出了样本的频率分布直方图(如图所示)，则新生婴儿的体重(单位：kg)在3.2,4.0)的人数是 ()A30 B40 C50 D55 参考答案：B 频率分布直方图反映样本的频率分布，每个小矩形的面积等于样本数据落在相应区间上的频率，故新生婴儿的体重在3.2,4.0)(kg)的人数为 100(0.40.6250.40.375)40.5.如图，一个圆锥形容器的高为，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图），则图中的水面高度为 A.B.C.D.参考答案：D 略 6.如图所示，已知四面体 ABCD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、AC 的中点，则（+）化简的结
4、果为（）A B C D 参考答案：C【考点】向量的加法及其几何意义【分析】根据加法的三角形法则求出+，再由中位线的性质进行化简可得答案【解答】解：G、H 分别为 CD、AC 的中点，（+）=（+）=?2=故选 C 7.（理科）已知满足条件的点构成的平面区域的面积为，满足条件的点构成的平面区域的面积为，（其中、分别表示不大于、的最大整数），则下列关系正确的是（）.A.B.C.D.参考答案：C 略 8.点 M 在圆 13 x 2+13 y 2 15 x 36 y=0上运动，点 N在射线 OM 上（O为原点）且|OM|?|ON|=12，则 N点的轨迹方程为（）（A）5 x+12 y 52=0 （B）
5、5 x 12 y 52=0（C）5 x 12 y+52=0 （D）5 x+12 y+52=0 参考答案：A 9.如果抛物线 y2=ax 的准线是直线 x=1，那么它的焦点坐标为（）A（1，0）B（2，0）C（3，0）D（1，0）参考答案：A【考点】抛物线的简单性质【分析】由抛物线 y2=ax 的准线是直线 x=1，知抛物线 y2=ax 的焦点坐标是（1，0）【解答】解：抛物线 y2=ax 的准线是直线 x=1，抛物线 y2=ax 的焦点坐标是（1，0），故选 A【点评】本题考查抛物线的简单性质，是基础题解题时要认真审题，仔细解答 10.设A是ABC中的最小角，且，则实数a的取值范围是 Aa3
6、Ba1 C1a3 Da0 参考答案：A 略 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本，将 160 名学生随机地从 1160 编号，按编号顺序平均分成 20 组(18 号，916 号，153160 号)，若第 16 组抽出的号码为 126，则第 1 组中用抽签方法确定的号码是_ 参考答案：6 略 12.函数的单调递减区间是_.参考答案：【分析】先求得函数的定义域，然后利用导数求得的单调减区间.【详解】依题意的定义域为，令，解得，所以的单调减区间是.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，属于基
7、础题.13.已知集合，则集合=_.参考答案：14.已知圆的弦的中点为，则弦的长为 .参考答案：4 15.设 a，b，c，则 a，b，c 的大小关系为_ 参考答案：acb 略 16.已知平面向量满足，且与的夹角为 150，则的取值范围是_.参考答案：(0,2 17.若在集合1，2，3，4和集合5，6，7中各随机取一个数相加，则和为奇数的概率为 参考答案：考点：古典概型及其概率计算公式 专题：概率与统计 分析：求出所有基本事件，两数和为奇数，则两数中一个为奇数一个为偶数，求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可 解答：解：从集合 A=1，2，3，4和集合 B=5，6，7中各取一个数，基本事件共
8、有43=12 个，两数和为奇数，两数中一个为奇数一个为偶数，故基本事件共有 21+22=6 个，和为奇数的概率为=故答案为：点评：本题考查概率的计算，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线AP与 BP的斜率之积等于.(1)求动点 P的轨迹方程；(2)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得PAB 与PMN的面积相等？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由
9、。参考答案：（1）解：因为点 B与 A关于原点对称，所以点得坐标为.设点的坐标为 由题意得 化简得 .故动点的轨迹方程为（2）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.则直线的方程为，直线的方程为 令得，.于是得面积 又直线的方程为，点到直线的距离.于是的面积 当时，得 又，所以=，解得。因为，所以 故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为 则.因为,所以，所以 即，解得，因为，所以 故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.19.已知直线 l 过点 P（2，3），根据下列条件分别求出直线 l 的方程：（1）l 在 x 轴、y 轴上的截距之和等
10、于 0；（2）l 与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为 16 参考答案：【考点】直线的一般式方程【分析】本题（1）分类写出直线的方程，根据要求条件参数的值；（2）写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论【解答】解：（1）当直线 l 经过原点时在 x 轴、y 轴上的截距之和等于 0，此时直线 l 的方程为，当直线 l 经不过原点时，设直线 l 的方程为 P（2，3）在直线 l 上，a=1，即 xy+1=0 综上所述直线 l 的方程为 3x2y=0 或 xy+1=0（2）设 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a，b（a0，b0），则直线 l 的方程为 P（2，3）在直线
11、l 上，又由 l 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为 16，可得 ab=32，a=8，b=4 或 直线 l 的方程为或 综上所述直线 l 的方程为 x+2y8=0 或 9x+2y24=0 20.（本题满分为 10分）选修 4-5：不等式选讲 设，.（I）解关于 a的不等式；（II）如果恒成立，求实数 a的取值范围 参考答案：解：（）不等式等价于或者，解得或，所求不等式的解集为；-5分（II），因为恒成立，故有，解得-10分 21.如图 4，在长方体中，点在棱上移动，（1）问等于何值时，二面角的大小为（2）在（1）的条件下，求直线 AB 与平面 CD1E 夹角的余弦值 参考答案：解：设，
12、以为原点，直线所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设平面的法向量为，由 令，依题意（不合题意，舍去）略 22.如图，已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M、N 分别是 AB、PC 的中点；（1）求证：MN平面 PAD（2）在 PB 上确定一点 Q，使平面 MNQ平面 PAD 参考答案：【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定 【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）取 PB 中点 Q，连 MQ、NQ，中位线定理和四边形 ABCD 为平行四边形可得MQPA，NQAD，根据平面与平面平行的判定定理可证得平面 MNQ平面 PAD；故可得MN平面 PAD（2）由（1）可知问题的答案【解答】证明：（1）取 PB 中点 Q，连 MQ、NQ，M、N 分别是 AB、PC 的中点，NQBC，MQPA ADBC，NQAD，MQMQ=Q，PAAD=A，平面 MNQ平面 PAD，MN?平面 MNQ，MN面 PAD；（2）由（1）可知 Q 在 PB 的中点上 【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面平行的性质和判定，其中判断线面平行最常用的两种方法，就是根据线面平行的判定定理