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1、山西省长治市宏昌学校 2019年高二数学文期末试题含解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.设，则（）A.2 B.C.D.参考答案：C【分析】取，得到，取，得到，得到答案.【详解】令，则原式化为 令，得，所以.【点睛】本题考查了二项式定理，分别取是解题的关键.2.过点的直线将圆形区域分成两部分，使得两部分的面积相差最大，则该直线的方程是（）(A)（B）(C)(D)参考答案：A 试题分析：由平面几何的知识可知当圆心过点的直线时,这被分成的两部分面积最大,因为,故所求直线的斜率,故其方程为,即,应选 A.考点：圆
2、的标准方程和直线的点斜式方程.【易错点晴】本题以直线与圆表示的区域为前提和背景,考查的是圆的标准方程及直线与圆的位置关系等知识的综合运用的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用圆心过点的直线的所截圆所得的弦长最短.过圆心的直线截圆所得弦长最长这些结论可知,故所求直线的斜率,故其方程为.3.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12i、2i、0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为（）A3+i B3i C13i D1+3i 参考答案：C【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义【分析】设一个正方形的三个顶点 A（0，0），B（2，1），D（1，2），由两直线垂直的条件：斜
3、率之积为1，可得 ABAD，再由正方形 ABCD 的对角线互相平分，运用中点坐标公式，即可得到 C 的坐标，进而得到所求复数【解答】解：一个正方形的三个顶点对应的复数分别是12i、2i、0，可设 A（0，0），B（2，1），D（1，2），由 kBA=，kAD=2，可得 ABAD，由正方形 ABCD 的对角线互相平分，可得 BD 的中点坐标为（，），即有 C 的坐标为（1，3），对应的复数为 13i 故选：C 4.若且，则实数 m的值为（）A.1或3 B.1 C.3 D.1 参考答案：A【分析】分别令和，即可结合题中条件，即可求出结果.【详解】因为 令，则；令则，又，所以，即，因此，解得或.故选
4、 A 5.三个数 a，b，c 既是等差数列，又是等比数列，则 a，b，c 间的关系为()Ab-a=c-b Bb2=ac Ca=b=c Da=b=c0 参考答案：D 6.（5 分）过双曲线的左焦点 F（c，0）（c0）作圆 x2+y2=a2的切线，切点为 E，延长 FE 交抛物线 y2=4cx 于点 P若，则双曲线的离心率为（）A B C D 参考答案：B 7.设 均为复数，若 则称复数是复数 的平方根，那么复数（是虚数单位）的平方根为（）A.或 B.或 C.或 D.或 参考答案：A 8.变量 X 与 Y 相对应的一组数据为（10,1），（11.3,2），（11.8,3），（12.5,4）（13
5、,5）；变量 U 与 V 相对应的一组数据为（10,5），（11.3,4），（11.8,3），（12.5,2）（13,1），表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数，表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数，则（）A.0 B.0 C.0 D.参考答案：C 9.(2011 全国新课标)执行右面的程序框图，如果输入的 N 是 6，那么输出的 p是 ()A120 B720 C1 440 D5 040 参考答案：B 执行程序输出 123456720.10.设椭圆+=1（ab0）的离心率为 e=，右焦点为 F（c，0），方程 ax2+bxc=0 的两个实根分别为 x1和 x2，则点 P（x1，x2）（）
6、A必在圆 x2+y2=2 上 B必在圆 x2+y2=2 外 C必在圆 x2+y2=2 内 D以上三种情形都有可能 参考答案：C【考点】椭圆的简单性质【分析】通过 e=可得=，利用韦达定理可得 x1+x2=、x1x2=，根据完全平方公式、点与圆的位置关系计算即得结论【解答】解：e=，=，x1，x2是方程 ax2+bxc=0 的两个实根，由韦达定理：x1+x2=，x1x2=，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=+1=2，点 P（x1，x2）必在圆 x2+y2=2 内 故选：C 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.从点 P(2 a,0)看椭圆+=1(a b 0
7、)上两点，最大的视角为 2 arctan，则的值等于 。参考答案：12.已知抛物线的准线与双曲线交于、两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则该双曲线的离心率是_。参考答案：13.下列各图中，、为正方体的两个顶点，、分别为其所在棱的中点，能得出/平面的图形的序号是_ 参考答案：略 14.已知双曲线 C的方程为，其上焦点为 F，过 F作斜率为 2的直线与上支有且只有一个交点，则双曲线 C的离心率范围是 .参考答案：因为过 F作斜率为 2的直线与上支有且只有一个交点，所以，即，因此，所以.15.已知回归方程=2x+1，而试验得到一组数据是（2，4.9），（3，7.1），（4，9.1），则残差平方
8、和是 参考答案：0.03【考点】线性回归方程【分析】根据所给的回归直线方程，代入三个点的坐标的横坐标，求出对应的纵标值，把求得的纵标和点的原来的纵标做差，求出三个差的平方和，即得到残差平方和【解答】解：当 x=2 时，y=5，当 x=3 时，y=7，当 x=4 时，y=9 e1=4.95=0.1，e2=7.17=0.1，e3=9.19=0.1 残差平方和（0.1）2+（0.1）2+（0.1）2=0.03 故答案为：0.03 16.一船自西向东航行，上午 10 时到达灯塔P的南偏西 75、距塔 68 海里的处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_ 参考答案：略 17.
9、已 知 随 机 变 量X服 从 正 态 分 布，则 参考答案：0.28 略 三、解答题：本大题共 5 小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.设 p：集合 A=x|x2（3a+1）x+2a（a+1）0，q：集合 B=x|0（I）求集合 A；（II）当 a1时，q是p的充分不必要条件，求实数 a的取值范围 参考答案：【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】（）根据一元二次不等式的解法，讨论 a的取值范围进行求解即可（）根据逆否命题之间的关系将条件进行转化，结合充分不必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可【解答】解：（）由 x2（3a+1）x+2a（a+1）0得
10、（x2a）x（a+1）0，若 2aa+1，即 a1时，2axa+1，此时 A=（2a，a+1），若 2a=a+1，即 a=1时，不等式无解，此时 A=?，若 2aa+1，即 a1时，a+1x2a，此时 A=（a+1，2a）（）由（）知，当 a1时，A=（2a，a+1），B=x|0=x|1x3=（1，3），若q是p的充分不必要条件，即 p是 q的充分不必要条件，即 A?B，则，即，则a2，a1，a1，则实数 a的取值范围是，1）19.设函数（1）判断函数 f(x)的单调性;（2）若方程在区间1,2上恰有两个不同的实根,求实数 m的取值范围.参考答案：（1）在上单调递减；在上单调递增；（2）.【分
11、析】（1）求导后，通过二阶导可知单调递增，又，可得的符号，进而确定的单调性；（2）将问题转化为，且与恰有两个不同交点；通过导数来得到的图象，根据数形结合可知当时，恰有两个不同交点.【详解】（1）由题意知：，则 在上单调递增，又 当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增（2）由得：即：在上恰有两个不同的实根 设，则与恰有两个不同交点 则 当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增 又，由此可得图象如下图所示：由图象得：当，即时，与恰有两个不同交点 即时，方程在区间上恰有两个不同的实根【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调性、根据方程在某一区间内根的个数求解参数范围的问题，解决方程根的个数问题的关键
12、是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式来进行求解.20.求证：对任意，不等式成立。参考答案：证明：当时,左边,右边=,因为,所以原不等式成立.3分 假设当时原不等式成立,即成立.4 分 则当时,左边5 分 7 分 右边 即当时,原不等式也成立.12 分 由、可得对一切原不等式都成立.14 分 略 21.已知圆 C 的圆心在坐标原点，且过点 M（1，）（1）求圆 C 的方程；（2）若直线 l 与圆 C 相切于点 M，求直线 l 的方程 参考答案：（1）由题意可得圆 C 的半径 r=|OM|=2，再根据原点为圆心，可得圆的方程为 x2+y2=4（2）若直线 l 与圆 C 相
13、切于点 M（1，），故直线 l 的斜率为=-，由点斜式求得直线 l 的方程为 y-=-（x-1），即 x+y-4=0 22.已知函数 f（x）=xalnx，g（x）=（a0）（1）若 a=l，求 f（x）的极值；（2）若存在 x01，e，使得 f（x0）g（x0）成立，求实数 a 的取值范围 参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为f（x）g（x）min0，（x1，e）成立，设 h（x）=f（x）g（x）=xalnx+，根据函数的单调性求出 a 的范
14、围即可【解答】解：（1）a=1 时，f（x）=xlnx，函数 f（x）的定义域是（0，+），f（x）=1=，令 f（x）0，解得：x1，令 f（x）0，解得：0 x1，故 f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增，故 f（x）的极小值是 f（1）=1，无极大值；（2）存在 x01，e，使得 f（x0）g（x0）成立，等价于f（x）g（x）min0，（x1，e）成立，设 h（x）=f（x）g（x）=xalnx+，则 h（x）=，令 h（x）=0，解得：x=1（舍），x=1+a；当 1+ae，h（x）在1，e递减，h（x）min=h（e）=e2ea+1+a，令 h（x）min0，解得：a；当 1+ae 时，h（x）在（1，a+1）递减，在（a+1，e）递增，h（x）min=h（1+a）=a1ln（a+1）+22 与 h（x）min0 矛盾，综上，a