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1、2018 年四川省南充市龙蚕中学高二数学文上学期期末试题含解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1.直线 xy+3=0 被圆（x+2）2+（y2）2=2 截得的弦长等于（）A B C2 D 参考答案：D【考点】直线和圆的方程的应用【分析】先根据点到直线的距离公式求出圆心到弦的距离即弦心距 OD，然后根据垂径定理得到垂足为弦长的中点 D，根据勾股定理求出弦长的一半 BD，乘以 2 即可求出弦长 AB【解答】解：连接 OB，过 O 作 ODAB，根据垂径定理得：D 为 AB 的中点，根据（x+2）2+（y2）2=2
2、 得到圆心坐标为（2，2），半径为 圆心 O 到直线 AB 的距离 OD=，而半径 OB=，则在直角三角形 OBD 中根据勾股定理得 BD=，所以 AB=2BD=故选 D 【点评】考查学生灵活运用点到直线的距离公式解决数学问题，以及理解直线和圆相交所截取的弦的一半、圆的半径、弦心距构成直角三角形灵活运用垂径定理解决数学问题 2.已知则推测()A1 033 B.109 C.199 D.29 参考答案：B 3.已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点，则双曲线 C的方程为 A B C D 参考答案：A 4.若对任意的实数，直线恒经过定点 M，则 M 的坐标是（）A（1，2）B（1，2）C（1，2）D（1
3、，2）参考答案：C 略 5.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩。已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 x，y 的值分别为 A2，5 B5，5 C5，8 D8，8 参考答案：C 根据中位数的定义，x5，平均数是解得：y8故选 C 考点：1茎叶图；2样本数字特征 6.由 0 到 9 这十个数字所组成的没有重复数字的五位数中，满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的五位数共有（）A 720 个 B 684 个 C 648 个 D 744 个 参考答案：D 略 7.设过曲线 f（x）=exx（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 l
4、1，总存在过曲线 g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线 l2，使得 l1l2，则实数 a 的取值范围为（）A1，2 B（1，2）C2，1 D（2，1）参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数 f（x）=exx 的导函数，进一步求得（0，1），再求出 g（x）的导函数的范围，然后把过曲线 f（x）=exx 上任意一点的切线为 l1，总存在过曲线 g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线 l2，使得 l1l2转化为集合间的关系求解【解答】解：由 f（x）=exx，得 f（x）=ex1，ex+11，（0，1），由 g（x）=ax+2cosx，得 g（x）=a2
5、sinx，又2sinx2，2，a2sinx2+a，2+a，要使过曲线 f（x）=exx 上任意一点的切线为 l1，总存在过曲线 g（x）=ax+2cosx 上一点处的切线 l2，使得 l1l2，则，解得1a2 即 a 的取值范围为1a2 故选：A 8.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线所成的角的大小是 ()A30 B45 C.60 D.90 参考答案：D 9.若定义在(-1,0)上的函数 f(x)=log 2a(x+1)满足 f(x)0,则 a 的取值范围是()a.(0,)b.(0,)c.(,+)d.(0,+)参考答案：A 本题考查对数函数的基本性质.当 x(-1,0
6、)时,有 x+1(0,1),此时要满足 f(x)0,只要 02a1 即可.由此解得 0a.10.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b，其中 a,b1,2,3,4,5,6，若 a=b 或 a=b-1，就称甲乙“心有灵犀”现在任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()(A)(B)(C)(D)参考答案：C 略 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为 .参考答案：12.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中，直线l的极坐标方程为sin
7、(+)=2，则极点在直线l上的射影的极坐标是_ 参考答案：极点在直线 上的射影是直线上取得最小值的点,把变形为,可知,当时,取得最小值 2.13.某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在100，150的 1000名学生的成绩，并根据这 1000 名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩在120，130）内的学生共有 人 参考答案：300【考点】频率分布直方图【分析】根据频率和为 1，求出成绩在120，130）内的频率与频数即可【解答】解：根据频率和为 1，得成绩在120，130）内的频率为 1（0.010+0.020+0.025+0.015）10=0.3，所以成绩在
8、120，130）内的学生共有 10000.3=300 故答案为：300【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目 14.若复数，和在复平面内所对应的点在一条直线上，则实数 参考答案：5 略 15.从装有 3 个白球、2 个黑球的盒子中任取两球，则取到全是全是同色球的概率是 参考答案：2/5.16.已知点 A(4，4)，点 B(6，6)，则线段 AB的垂直平分线的方程为 。参考答案：5x+y-10=0 17.曲线 f（x）=x3+x2（x0）的一条切线平行于直线 y=4x，则切点 P0的坐标为 参考答案：（1，0）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】先求导函数，然后令
9、导函数等于 4 建立方程，求出方程的解，即可求出切点的横坐标，从而可求出切点坐标【解答】解：由 y=x3+x2，得 y=3x2+1，由已知得 3x2+1=4，解之得 x=1x=1（舍去）当 x=1 时，y=0；切点 P0的坐标为（1，0）故答案为：（1，0）三、解答题：本大题共 5 小题，共 72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.已知函数，其中 e为自然对数的底数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间 参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）根据函数解析式求出切点坐标，然后利用导函数求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；（2）求导后，可知当时，可知函数单
10、调递增；当，求出的两根，从而可判断出在不同区间内的符号，从而得到单调区间.【详解】（1）当时，曲线在点处的切线方程为，即切线方程为:（2）由已知得，当时，函数在内单调递增 当时，令，解得：或 由，解得：或 由，解得：函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 综上所述：当时，的单调增区间为，无减区间 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为【点睛】本题考查根据导数的几何意义求解在某一点处的切线方程、求解含参数函数的单调区间问题，关键是能够根据参数的取值范围，求解出导函数的符号，从而确定函数的单调性.19.已知函数，其中。（1）若是函数的极值点，求实数a的值；（2）若函数的图象上任意一点处切线的
11、斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.参考答案：解：-2分（1）且 -4 分（2）对任意的恒成立 -5分 对任意的恒成立 而当时，取最大值为 1，且，-7分（3），且；或；在和上递增；而在上递减。-8 分 当时 i），则在上递增，在上不可能有两个零点。-9 分 ii），则在上递减，而在上递增。在上有极小值（也就是最小值）而 时，在上有两个零点。-12 分 iii），则在上递减，在上不可能有两个零点。-13 分 综上所述：-14 分 20.（本小题 12 分）设函数（1）求函数的单调区间；（2）求在上的最小值；参考答案：21.(本小题 12 分)设是公比
12、为正数的等比数列,(1)求的通项公式；（2）设是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列的前项和。参考答案：(1)；(2).22.定圆 M：=16，动圆 N 过点 F且与圆 M 相切，记圆心 N 的轨迹为 E（I）求轨迹 E 的方程；（）设点 A，B，C 在 E 上运动，A 与 B 关于原点对称，且|AC|=|CB|，当ABC 的面积最小时，求直线 AB 的方程 参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（I）因为|NM|+|NF|=4|FM|，所以点 N 的轨迹 E 为椭圆，且，所以 b=1，从而可求求轨迹 E 的方程；（）分类讨论，直线 AB 的方程为 y=kx，代入椭圆方程，求
13、出|OA|，|OC|，可得SABC=2SOAC=|OA|OC|，利用基本不等式求最值，即可求直线 AB 的方程【解答】解：（）因为点在圆内，所以圆 N 内切于圆M，因为|NM|+|NF|=4|FM|，所以点 N 的轨迹 E 为椭圆，且，所以 b=1，所以轨迹 E 的方程为（）（i）当 AB 为长轴（或短轴）时，依题意知，点 C 就是椭圆的上下顶点（或左右顶点），此时|AB|=2（ii）当直线 AB 的斜率存在且不为 0 时，设其斜率为 k，直线 AB 的方程为 y=kx，联立方程得，所以|OA|2=（7 分）由|AC|=|CB|知，ABC 为等腰三角形，O 为 AB 的中点，OCAB，所以直线 OC 的方程为，由解得，=，（9 分）SABC=2SOAC=|OA|OC|=，由于，所以，（11分）当且仅当 1+4k2=k2+4，即 k=1 时等号成立，此时ABC 面积的最小值是，因为，所以ABC 面积的最小值为，此时直线 AB 的方程为 y=x 或 y=x（12分）【点评】本题考查椭圆方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题