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1、 专题能力训练 16 椭圆、双曲线、抛物线 一、能力突破训练 1.(2018 全国,文 4)已知椭圆 C:=1 的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为()A.B.C.D.2.已知 F是双曲线 C:x2-=1 的右焦点,P是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 A 的坐标是(1,3),则APF的面积为()A.B.C.D.3.已知 O为坐标原点,F是椭圆 C:=1(ab0)的左焦点,A,B分别为 C 的左、右顶点,P为 C上一点,且 PFx 轴.过点 A的直线 l与线段 PF交于点 M,与 y轴交于点 E.若直线 BM经过 OE的中点,则 C 的离心率为()A.B.C.D.4.已知双曲线
2、=1(a0,b0)的右焦点为 F,点 A 在双曲线的渐近线上,OAF是边长为 2 的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为()A.=1 B.=1 C.-y2=1 D.x2-=1 5.(2018 全国,文 11)已知 F1,F2是椭圆 C 的两个焦点,P是 C 上的一点,若 PF1PF2,且PF2F1=60,则 C 的离心率为()A.1-B.2-C.D.-1 6.设双曲线=1(a0,b0)的右焦点为 F,过点 F 作与 x轴垂直的直线 l交两渐近线于 A,B 两点,与双曲线的一个交点为 P,设 O 为坐标原点.若=m+n(m,nR),且 mn=,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.7.已知
3、双曲线 E:=1(a0,b0).矩形 ABCD的四个顶点在 E 上,AB,CD的中点为 E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则 E的离心率是 .8.已知直线 l1:x-y+5=0 和 l2:x+4=0,抛物线 C:y2=16x,P是 C 上一动点,则点 P 到 l1与 l2距离之和的最小值为 .9.如图,已知抛物线 C1:y=x2,圆 C2:x2+(y-1)2=1,过点 P(t,0)(t0)作不过原点 O的直线 PA,PB分别与抛物线 C1和圆 C2相切,A,B为切点.(1)求点 A,B 的坐标;(2)求PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线
4、与抛物线相切,称该公共点为切点.10.如图,动点 M 与两定点 A(-1,0),B(1,0)构成MAB,且直线 MA,MB的斜率之积为 4,设动点 M的轨迹为 C.(1)求轨迹 C 的方程;(2)设直线 y=x+m(m0)与 y 轴相交于点 P,与轨迹 C相交于点 Q,R,且|PQ|)的右焦点为 F,右顶点为 A.已知,其中 O 为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点 A 的直线 l与椭圆交于点 B(B不在 x轴上),垂直于 l的直线与 l交于点 M,与 y轴交于点 H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线 l的斜率.二、思维提升训练 12.(2018 全国,文 10)已知
5、双曲线 C:=1(a0,b0)的离心率为,则点(4,0)到 C 的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.2 13.设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M在 C 上,|MF|=5.若以 MF为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为()A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x 14.在平面直角坐标系 xOy中,双曲线-y2=1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形 F1PF2Q 的面积是 .15.在平面直角坐标系 xOy中,双曲线=1(a0,b0)的右支与
6、焦点为 F 的抛物线 x2=2py(p0)交于A,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .16.已知圆 C:(x+1)2+y2=20,点 B(1,0),点 A是圆 C上的动点,线段 AB 的垂直平分线与线段 AC 交于点 P.(1)求动点 P 的轨迹 C1的方程;(2)设 M,N 为抛物线 C2:y=x2上的一动点,过点 N 作抛物线 C2的切线交曲线 C1于 P,Q两点,求MPQ面积的最大值.17.已知动点 C 是椭圆:+y2=1(a1)上的任意一点,AB 是圆 G:x2+(y-2)2=的一条直径(A,B是端点),的最大值是.(1)求椭圆的方程.(2)已知椭圆
7、的左、右焦点分别为点 F1,F2,过点 F2且与 x 轴不垂直的直线 l交椭圆于 P,Q两点.在线段 OF2上是否存在点 M(m,0),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求实数 m的取值范围;若不存在,请说明理由.专题能力训练 16 椭圆、双曲线、抛物线 一、能力突破训练 1.C 解析 因为椭圆 C的一个焦点为(2,0),所以其焦点在 x 轴上,c=2,所以 a2-4=c2,所以 a2=8,a=2,所以椭圆 C 的离心率 e=.2.D 解析 由 c2=a2+b2=4,得 c=2,所以点 F 的坐标为(2,0).将 x=2代入 x2-=1,得 y=3,所以 PF=3.又点 A
8、 的坐标是(1,3),故APF 的面积为3(2-1)=,故选 D.3.A 解析 由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,不妨令 P,设 l:x=my-a,M,E.直线 BM:y=-(x-a).又直线 BM 经过 OE 的中点,解得 a=3c.e=,故选 A.4.D 解析 双曲线=1(a0,b0)的右焦点为 F(c,0),点 A 在双曲线的渐近线上,且OAF是边长为 2的等边三角形,不妨设点 A 在渐近线 y=x上,解得所以双曲线的方程为 x2-=1.故选 D.5.D 解析 不妨设椭圆方程为=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则|PF1|+|PF2|=2a.F2PF1=
9、90,PF2F1=60,c+c=2a,即(+1)c=2a.e=-1.6.C 解析 在 y=x 中令 x=c,得 A,B,在双曲线=1 中令 x=c得 P.当点 P的坐标为时,由=m+n,得 由(舍去),e=.同理,当点 P的坐标为时,e=.故该双曲线的离心率为.7.2 解析 由题意不妨设 AB=3,则 BC=2.设 AB,CD的中点分别为 M,N,如图,则在 RtBMN 中,MN=2,故 BN=.由双曲线的定义可得 2a=BN-BM=1,而 2c=MN=2,所以双曲线的离心率 e=2.8.解析 在同一坐标系中画出直线 l1,l2和曲线 C如图.P是 C 上任意一点,由抛物线的定义知,|PF|=
10、d2,d1+d2=d1+|PF|,显然当 PFl1,即 d1+d2=|FM|时,距离之和取到最小值.|FM|=,所求最小值为.9.解(1)由题意知直线 PA的斜率存在,故可设直线 PA 的方程为 y=k(x-t),由消去 y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线 PA 与抛物线相切,得 k=t.因此,点 A 的坐标为(2t,t2).设圆 C2的圆心为 D(0,1),点 B 的坐标为(x0,y0),由题意知:点 B,O关于直线 PD对称,故解得 因此,点 B 的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t和直线 PA 的方程 tx-y-t2=0.点 B 到直线 PA 的距离是 d=.设PAB的面积
11、为 S(t),所以 S(t)=|AP|d=.10.解(1)设 M 的坐标为(x,y),当 x=-1时,直线 MA的斜率不存在;当 x=1时,直线 MB的斜率不存在.于是 x1,且 x-1.此时,MA的斜率为,MB的斜率为.由题意,有=4.整理,得 4x2-y2-4=0.故动点 M的轨迹 C 的方程为 4x2-y2-4=0(x1).(2)由消去 y,可得 3x2-2mx-m2-4=0.对于方程,其判别式=(-2m)2-43(-m2-4)=16m2+480,而当 1 或-1 为方程的根时,m 的值为-1或 1.结合题设(m0)可知,m0,且 m1.设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ),(xR,y
12、R),则 xQ,xR为方程的两根,因为|PQ|PR|,所以|xQ|1,且2,所以 11+3,且 1+,所以 12=|BC|,所以动点 P的轨迹 C1是一个椭圆,其中 2a=2,2c=2.动点 P的轨迹 C1的方程为=1.(2)设 N(t,t2),则 PQ 的方程为 y-t2=2t(x-t)y=2tx-t2.联立方程组消去 y整理,得(4+20t2)x2-20t3x+5t4-20=0,有 而|PQ|=|x1-x2|=,点 M 到 PQ 的高为 h=,由 SMPQ=|PQ|h代入化简,得 SMPQ=,当且仅当 t2=10 时,SMPQ可取最大值.17.解(1)设点 C 的坐标为(x,y),则+y2
13、=1.连接 CG,由,又 G(0,2),=(-x,2-y),可得=x2+(y-2)2-=a(1-y2)+(y-2)2-=-(a-1)y2-4y+a+,其中 y-1,1.因为 a1,所以当 y=-1,即 1-1,即 a3时,的最大值是,由条件得,即 a2-7a+10=0,解得 a=5或 a=2(舍去).综上所述,椭圆的方程是+y2=1.(2)设点 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中点坐标为(x0,y0),则满足=1,=1,两式相减,整理,得=-=-,从而直线 PQ 的方程为 y-y0=-(x-x0).又右焦点 F2的坐标是(2,0),将点 F2的坐标代入 PQ 的方程得-y0=-(2-x0),因为直线 l与 x轴不垂直,所以 2x0-=50,从而 0 x02.假设在线段 OF2上存在点 M(m,0)(0m2),使得以 MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形,则线段 PQ的垂直平分线必过点 M,而线段 PQ 的垂直平分线方程是 y-y0=(x-x0),将点 M(m,0)代入得-y0=(m-x0),得 m=x0,从而 m.