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1、 专题对点练 16 空间中的平行与几何体的体积 1.如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1的所有棱长均为 2,B1BA=,M,N分别为 A1C1与 B1C 的中点,且侧面ABB1A1底面 ABC.(1)证明:MN平面 ABB1A1;(2)求三棱柱 B1-ABC的高及体积.2.(2018 全国,文 19)如图,矩形 ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直,M是上异于 C,D的点.(1)证明:平面 AMD平面 BMC;(2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC平面 PBD?说明理由.3.(2018广西名校联盟)如图,在三棱锥 P-ABC 中,ABPC,CA=CB,M 是 AB 的中点.点 N
2、 在棱 PC上,点 D是 BN的中点.求证:(1)MD平面 PAC;(2)平面 ABN平面 PMC.4.如图,在四棱锥 P-ABCD中,ABC=BAD=90,BC=2AD,PAB与PAD都是边长为 2 的等边三角形,E是 BC的中点.(1)求证:AE平面 PCD;(2)求四棱锥 P-ABCD的体积.5.在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB=BC=CA=AA1=2,侧棱 AA1平面 ABC,且 D,E 分别是棱 A1B1,AA1的中点,点 F 在棱 AB上,且 AF=AB.(1)求证:EF平面 BDC1;(2)求三棱锥 D-BEC1的体积.6.如图,正方形 ABCD的边长等于 2,平面 ABC
3、D平面 ABEF,AFBE,BE=2AF=2,EF=.(1)求证:AC平面 DEF;(2)求三棱锥 C-DEF 的体积.7.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AA1平面 ABC,点 M是棱 CC1的中点.(1)在棱 AB 上是否存在一点 N,使 MN平面 AB1C1?若存在,请确定点 N 的位置.若不存在,请说明理由;(2)当ABC是等边三角形,且 AC=CC1=2 时,求点 M到平面 AB1C1的距离.8.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB平面 BCC1B1,BCC1=,AB=BB1=2,BC=1,D为 CC1的中点.(1)求证:DB1平面 ABD;(2)求点 A1到平面 A
4、DB1的距离.专题对点练 16 答案 1.(1)证明 取 AC的中点 P,连接 PN,PM.在斜三棱柱 ABC-A1B1C1中,M,N 分别为 A1C1与 B1C的中点,PNAB1,PMAA1.PMPN=P,AB1AA1=A,PM,PN平面 PMN,AB1,AA1平面 AB1A1,平面 PMN平面 AB1A1.MN平面 PMN,MN平面 ABB1A1.(2)解 设 O为 AB的中点,连接 B1O,由题意知B1BA是正三角形,则 B1OAB.侧面 ABB1A1底面 ABC,且交线为 AB,B1O平面 ABC,三棱柱 B1-ABC的高 B1O=AB1=.SABC=22sin 60=,三棱柱 B1-
5、ABC的体积 V=SABCB1O=1.2.解(1)由题设知,平面 CMD平面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所以 BC平面CMD,故 BCDM.因为 M 为上异于 C,D的点,且 DC为直径,所以 DMCM.又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.(2)当 P 为 AM的中点时,MC平面 PBD.证明如下:连接 AC交 BD于 O.因为 ABCD为矩形,所以 O为 AC中点.连接 OP,因为 P 为 AM中点,所以 MCOP.MC平面 PBD,OP平面 PBD,所以 MC平面 PBD.3.证明(1)在ABN中,M
6、是 AB 的中点,D是 BN 的中点,所以 MDAN.又因为 AN平面 PAC,MD平面 PAC,所以 MD平面 PAC.(2)在ABC中,CA=CB,M是 AB的中点,所以 ABMC.又因为 ABPC,PC平面 PMC,MC平面 PMC,PCMC=C,所以 AB平面 PMC.又因为 AB平面ABN,所以平面 ABN平面 PMC.4.(1)证明 ABC=BAD=90,ADBC.BC=2AD,E是 BC的中点,AD=CE,四边形 ADCE是平行四边形,AECD.又 AE平面 PCD,CD平面 PCD,AE平面 PCD.(2)解 连接 DE,BD,设 AEBD=O,连接 OP,则四边形 ABED
7、是正方形,O 为 BD的中点.PAB与PAD都是边长为 2的等边三角形,BD=2,OB=,OA=,PA=PB=2,OPOB,OP=,OP2+OA2=PA2,即 OPOA.又 OA平面 ABCD,BD平面 ABCD,OAOB=O,OP平面 ABCD.VP-ABCD=S梯形ABCDOP=(2+4)2=2.5.(1)证明 取 AB的中点 O,连接 A1O.AF=AB,F为 AO的中点.又 E 为 AA1的中点,EFA1O.A1D=A1B1,BO=AB,ABA1B1,A1DBO,四边形 A1DBO为平行四边形,A1OBD,EFBD.又 EF平面 BDC1,BD平面 BDC1,EF平面 BDC1.(2)
8、解 AA1平面 A1B1C1,C1D平面 A1B1C1,AA1C1D.A1C1=B1C1=A1B1=2,D为 A1B1的中点,C1DA1B1,C1D=.又 AA1平面 AA1B1B,A1B1平面 AA1B1B,AA1A1B1=A1,C1D平面 AA1B1B.AB=AA1=2,D,E 分别为 A1B1,AA1的中点,SBDE=22-12-12-11=.SBDEC1D=.6.(1)证明 连接 BD,记 ACBD=O,取 DE 的中点 G,连接 OG,FG.点 O,G分别是 BD和 ED 的中点,OGBE.又 AFBE,OGAF,四边形 AOGF是平行四边形,AOFG,即 ACFG.又 AC平面 D
9、EF,FG平面 DEF,AC平面 DEF.(2)解 在四边形 ABEF 中,过 F 作 FHAB 交 BE 于点 H.由已知条件知,在梯形 ABEF 中,AB=FH=2,EF=,EH=1,则 FH2=EF2+EH2,即 FEEB,从而 FEAF.AC平面 DEF,点 C与点 A到平面 DEF 的距离相等,VC-DEF=VA-DEF.DAAB,DA平面 ABEF,又 SAEF=AFEF=1.三棱锥 C-DEF 的体积 VC-DEF=VA-DEF=VD-AEF=SAEFAD=2=.7.解(1)在棱 AB上存在中点 N,使 MN平面 AB1C1,证明如下:设 BB1的中点为 D,连接 DM,NM,N
10、D,因为点 M,N,D是 CC1,AB,BB1的中点,所以 NDAB1,DMB1C1,所以 ND平面 AB1C1,DM平面 AB1C1.又 NDDM=D,所以平面 NDM平面 AB1C1.因为 MN平面 NDM,所以 MN平面 AB1C1.(2)因为 MN平面 AB1C1,所以点 M到平面 AB1C1的距离与点 N到平面 AB1C1的距离相等.又点 N为 AB的中点,所以点 N 到平面 AB1C1的距离等于点 B 到平面 AB1C1的距离的一半.因为 AA1平面 ABC,所以 AB1=AC1=2,所以AB1C1的底边 B1C1上的高为.设点 B到平面 AB1C1的距离为 h,则由,得22h,可得 h=,即点 M到平面 AB1C1的距离为.8.(1)证明 在四边形 BCC1B1中,BC=CD=DC1=1,BCD=,BD=1.B1D=,BB1=2,B1DBD.AB平面 BCC1B1,ABDB1,DB1平面 ABD.(2)解 对于四面体 A1ADB1,A1到直线 DB1的距离即为 A1到平面 BB1C1C 的距离,A1到 DB1的距离为 2.设A1到平面 ADB1的距离为 h,ADB1为直角三角形,ADDB1=,h=h.22=2,D到平面 AA1B1的距离为,2.,解得 h=.点 A1到平面 ADB1的距离为.