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1、 1 通用版高考数学考前 3 个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题 1 集合与常用逻辑用语第 4 练用好基本不等式文 题型分析高考展望 基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查题目难度为中等偏上应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误 体验高考 1(2015四川)如果函数f(x)12(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间12，2 上单调递减，那么mn的最大值为()A16 B18 C25 D.812 答案 B 解析 当m2 时，f(x)在12
2、，2上单调递减，0n8，mn2n16.m2 时，抛物线的对称轴为xn8m2.据题意得，当m2 时，n8m22，即 2mn12，2mn2mn26，mn18，由 2mn且 2mn12 得m3，n6.当m2 时，抛物线开口向下，据题意得，n8m212，即m2n18，2nm2nm29，2 mn812，由 2nm且m2n18 得m92，故应舍去 要使得mn取得最大值，应有m2n18(m2，n8)mn(182n)n(1828)816，综上所述，mn的最大值为 18，故选 B.2(2015陕西)设f(x)ln x,0ab，若pf(ab)，qfab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()Aqr
3、p Bqrp Cprq Dprq 答案 C 解析 0ab，ab2ab，又f(x)ln x在(0，)上为增函数，故fab2f(ab)，即qp.又r12(f(a)f(b)12(ln aln b)12ln a12ln bln(ab)12 f(ab)p.故prq.选 C.3(2015天津)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值 答案 4 解析 log2alog2(2b)log2a(1log2b)log2a1log2b22log2ab122 log281224，当且仅当 log2a1log2b，即a2b时，等号成立，此时a4，b2.4(2016江苏)在锐角三角形A
4、BC中，若 sin A2sin Bsin C，则 tan Atan Btan C的最小值是_ 答案 8 3 解析 在ABC中，ABC，sin Asin(BC)sin(BC)，由已知，sin A2sin Bsin C，sin(BC)2sin Bsin C.sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bsin C，A，B，C全为锐角，两边同时除以 cos Bcos C得：tan Btan C2tan Btan C.又 tan Atan(BC)tan Btan C1tan BtanCtan Btan Ctan B tan C1.tan A(tan Btan C1)tan Btan C.则 ta
5、n Atan Btan Ctan Atan Btan C，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C tan A2tan Btan C 2 2tan Atan Btan C，tan Atan Btan C2 2，tan Atan Btan C8.5(2016上海)设a0，b0.若关于x，y的方程组 axy1，xby1无解，则ab的取值范围是_ 答案(2，)解析 由已知，ab1，且ab，ab2ab2.高考必会题型 题型一 利用基本不等式求最大值、最小值 1利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键(2)若两次连用基
6、本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错 2结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式常见的转化方法有：(1)xbxaxabxaa(xa)4(2)若axby1，则mxny(mxny)1(mxny)axbymanb2abmn(字母均为正数)例 1(1)已知正常数a，b满足1a2b3，则(a1)(b2)的最小值是_ 答案 509 解析 由1a2b3，得b2a3ab，(a1)(b2)2abab24ab2，又a0，b0，1a2b22ab，ab89(当且仅当b2a时取等号)，(a
7、1)(b2)的最小值为 4892509.(2)求函数yx27x10 x1(x1)的最小值 解 设x1t，则xt1(t0)，yt127t110t t4t52 t4t59.当且仅当t4t，即t2，且此时x1 时，取等号，ymin9.点评 求条件最值问题一般有两种思路：一是利用函数单调性求最值；二是利用基本不等式 在利用基本不等式时往往都需要变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值等号能够取得 变式训练 1 已知x0，y0，且 2x5y20，(1)求ulg xlg y的最大值；(2)求1x1y的最小值 解(1)x0，y0，由基本不等式，得 2x5y2 1
8、0 xy.2x5y20，2 10 xy20，即xy10，当且仅当 2x5y时等号成立 5 因此有 2x5y20，2x5y，解得 x5，y2，此时xy有最大值 10.ulg xlg ylg(xy)lg 101.当x5，y2 时，ulg xlg y有最大值 1.(2)x0，y0，1x1y1x1y2x5y20 12075yx2xy120725yx2xy72 1020，当且仅当5yx2xy时等号成立 由 2x5y20，5yx2xy，解得 x10 10203，y204 103.1x1y的最小值为72 1020.题型二 基本不等式的综合应用 例 2(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 800
9、 元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件 B80 件 C100 件 D120 件 答案 B 解析 平均每件产品的费用为y800 x28x800 xx82 800 xx820，当且仅当800 xx8，即x80 时取等号，所以每批应生产产品 80 件，才能使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小(2)某单位决定投资 3 200 元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价 40 元，两侧墙砌砖，每米长造价 45 元，顶部每平方米造价
10、20 元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解 设铁栅长为x米，一侧砖墙长为y米，则顶部面积Sxy，依题设，得 40 x245y20 xy3 200，由基本不等式得 3 2002 40 x90y20 xy120 xy20 xy120 S20S，则S6S1600，即(S10)(S16)0，故 0S10，从而 0S100，6 所以S的最大允许值是 100 平方米，取得此最大值的条件是 40 x90y且xy100，解得x15，即铁栅的长应设计为 15 米 点评 基本不等式及不等式性质应用十分广泛，在最优化实际问题，平面几何问题，代数式
11、最值等方面都要用到基本不等式，应用时一定要注意检验“三个条件”是否具备 变式训练 2(1)已知直线axby60(a0，b0)被圆x2y22x4y0 截得的弦长为2 5，则ab的最大值是_ 答案 92 解析 圆的方程变形为(x1)2(y2)25，由已知可得直线axby60 过圆心O(1,2)，a2b6(a0，b0)，6a2b2 2ab，ab92(当且仅当a2b时等号成立)，故ab的最大值为92.(2)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)13x210 x(万元)当年产量不小于80千件时，C(x)51x10 000 x1
12、450(万元)每件商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 当 0 x80 时，L(x)1 000 x0.05(13x210 x)250 13x240 x250.当x80 时，L(x)1 000 x0.05(51x10 000 x1 450)250 1 200(x10 000 x)L(x)13x240 x2500 x80，1 200 x10 000 xx80.当 0 x80 时，L(x)13x240 x250.7 对称轴为x60，即当x60 时，L(
13、x)最大950(万元)当x80 时，L(x)1 200(x10 000 x)1 2002 10 0001 000(万元)，当且仅当x100 时，L(x)最大1 000(万元)，综上所述，当x100 时，年获利最大 高考题型精练 1已知x1，y1，且14ln x，14，ln y成等比数列，则xy()A有最大值 e B有最大值 e C有最小值 e D有最小值 e 答案 C 解析 x1，y1，且14ln x，14，ln y成等比数列，ln xln y14ln xln y22，ln xln yln xy1xye.2若正数x，y满足x3y5xy，则 3x4y的最小值是()A.245 B.285 C5 D
14、6 答案 C 解析 方法一 由x3y5xy可得15y35x1，3x4y(3x4y)(15y35x)95453x5y12y5x1351255(当且仅当3x5y12y5x，即x1，y12时，等号成立)，3x4y的最小值是 5.方法二 由x3y5xy得x3y5y1，8 x0，y0，y15，3x4y9y5y14y 1359515y154y15 1352 36255，当且仅当y12时等号成立，3x4y的最小值是 5.3若正数a，b满足1a1b1，则1a19b1的最小值是()A1 B6 C9 D16 答案 B 解析 正数a，b满足1a1b1，baa10，解得a1.同理可得b1，1a19b11a19aa11
15、 1a19(a1)2 1a19a16，当且仅当1a19(a1)，即a43时等号成立，最小值为 6.故选 B.4已知a0，b0，若不等式m3ab3a1b0 恒成立，则m的最大值为()A4 B16 C9 D3 答案 B 解析 因为a0，b0，所以由m3ab3a1b0 恒成立得m(3a1b)(3ab)103ba3ab恒成立 因为3ba3ab23ba3ab6，9 当且仅当ab时等号成立，所以 103ba3ab16，所以m16，即m的最大值为 16，故选 B.5已知x，y(0，)，2x3(12)y，若1xmy(m0)的最小值为 3，则m等于()A2 B2 2 C3 D4 答案 D 解析 由 2x3(12
16、)y得xy3，1xmy13(xy)(1xmy)13(1myxmxy)13(1m2m)(当且仅当yxmxy时取等号)13(1m2m)3，解得m4，故选 D.6已知直线axbyc10(b，c0)经过圆x2y22y50 的圆心，则4b1c的最小值是()A9 B8 C4 D2 答案 A 解析 圆x2y22y50 化成标准方程，得x2(y1)26，所以圆心为C(0,1)，因为直线axbyc10 经过圆心C，所以a0b1c10，即bc1.因此4b1c(bc)(4b1c)4cbbc5.因为b，c0，所以4cbbc24cbbc4.当且仅当4cbbc时等号成立 由此可得b2c，且bc1，即b23，c13时，4b
17、1c取得最小值 9.7已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_ 10 答案 6 解析 由已知得x93y1y.方法一(消元法)x0，y0，0y3，x3y93y1y3y121y3(y1)6 2121y3y166，当且仅当121y3(y1)，即y1，x3 时，(x3y)min6.方法二 x0，y0,9(x3y)xy13x(3y)13x3y22，当且仅当x3y时等号成立设x3yt0，则t212t1080，(t6)(t18)0，又t0，t6.故当x3，y1 时，(x3y)min6.8已知三个正数a，b，c成等比数列，则acbbac的最小值为_ 答案 52 解析 由条件可知a0，b0，c0，且b2ac，即bac，故acb2acb2，令acbt，则t2，所以yt1t在2，)上单调递增，故其最小值为 21252.9已知x，yR 且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_ 答案 4,12 解析 2xy6(x24y2)，而 2xyx24y22，6(x24y2)x24y22，x24y24(当且仅当x2y时取等号)，又(x2y)262xy0，即 2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)，综上可知 4x24y212.10当x(0,1)时，不等式41xm1x恒成立，则m的最大值为_ 答案 9 解析 方法一(函数法)由已知不等式可得