《2017_18学年高中数学第二章概率5第一课时离散型随机变量的均值教学案北师大版选修15028.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_18学年高中数学第二章概率5第一课时离散型随机变量的均值教学案北师大版选修15028.pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第一课时 离散型随机变量的均值 对应学生用书P31 求离散型随机变量的均值 例 1(重庆高考)某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个蓝球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200 元 二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖 2 红 1 蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级(1)求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率；(2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分
2、布列与数学期望EX.思路点拨(1)利用古典概型结合计数原理直接求解(2)先确定离散型随机变量的取值，求出相应的概率分布，进一步求出随机变量的期望值 精解详析 设Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则Ai(i0,1,2,3)与Bj(j0,1)独立(1)恰好摸到 1 个红球的概率为P(A1)C13C24C371835.(2)X的所有可能值为 0,10,50,200，且 P(X200)P(A3B1)P(A3)P(B1)C33C37131105，P(X50)P(A3B0)P(A3)P(B0)C33C37232105，P(X10)P(A2B1)P(A2)P(B1)C23C14C371312105
3、435，P(X0)11105210543567.综上知，X的分布列为 X 0 10 50 200 P 67 435 2105 1105 从而有EX0671043550210520011054(元)一点通 求离散型随机变量X的均值的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列(有时可以省略)；(4)利用定义公式EXx1p1x2p2xnpn，求出均值 1(广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 2 3 P 35 310 110 则X的数学期望EX()A.32 B2 C.52 D3 解析：EX13523103110151032.答案：A 2某
4、高等学院自愿献血的 20 位同学的血型分布情形如下表：血型 A B AB O 人数 8 7 3 2(1)现从这 20 人中随机选出两人，求两人血型相同的概率；(2)现有 A 血型的病人需要输血，从血型为 A、O 的同学中随机选出 2 人准备献血，记选出 A 血型的人数为X，求随机变量X的数学期望EX.解：(1)从 20 人中选出两人的方法数为 C220190，选出两人同血型的方法数为 C28C27C23C2253，故两人血型相同的概率是53190.(2)X的取值为 0,1,2，P(X0)C22C210145，P(X1)C18C12C2101645，P(X2)C28C2102845.X的分布列为
5、 X 0 1 2 P 145 1645 2845 EX14501645128452724585.二项分布及超几何分布的均值 例 2 甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23，记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，求(1)X的概率分布；(2)X和Y的数学期望 思路点拨 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布 精解详析(1)P(X0)C0312318，P(X1)C1312338，P(X2)C2312338，P(X3)C3312318.所以X的概率分布如下表：X 0 1 2 3 P 18 38 38 18 (2)由题意XB3，12，YB3，23，EX3
6、121.5，EY3232.一点通 如果随机变量X服从二项分布即XB(n，p)，则EXnp；如果随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，则EXnMN，以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程 3若随机变量XBn，12，EX2，则P(X1)等于_ 解析：由XBn，12EXn122，n4，P(X1)C1412112314.答案：14 4袋中有 7 个球，其中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中任取 3 个球，以X表示取出的红球数，则EX为_ 解析：由题意知随机变量X服从N7，M4，n3 的超几何分布，则EX347127.答案：127 5(浙江高考)已知箱中装有 4 个白
7、球和 5 个黑球，且规定：取出一个白球得 2 分，取出一个黑球得 1 分现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3 个球，记随机变量X为取出此 3 球所得分数之和(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望EX.解：(1)由题意得X取 3,4,5,6，且 P(X3)C35C39542，P(X4)C14C25C391021，P(X5)C24C15C39514，P(X6)C34C39121.所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P 542 1021 514 121 (2)由(1)知EX3P(X3)4P(X4)5P(X5)6P(X6)133.数学期望的实际应用 例 3 某商场准备在“五一”期间举行
8、促销活动根据市场行情，该商场决定从 3 种服装商品、2 种家电商品、4 种日用商品中，选出 3 种商品进行促销活动(1)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率；(2)商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高 180 元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有 3 次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使商场自己不亏本？思路点拨(1)利用间接法求概率；(2)先求中奖的期望，再列不等式求解 精解详析(1)设选出的 3 种商品
9、中至少有一种是日用商品为事件A，则P(A)1C35C393742.即选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率为3742.(4分)(2)设顾客抽奖的中奖次数为X，则X0,1,2,3，于是 P(X0)11211211218，P(X1)C1311221238，P(X2)C2311212238，P(X3)12121218，顾客中奖的数学期望 EX0181382383181.5.(10 分)设商场将每次中奖的奖金数额定为x元，则 1.5x180，解得x120，即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为 120 元，才能使自己不亏本(12分)一点通 处理与实际问题有关的均值问题，应首先把实际问题概率模型
10、化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并写出分布列，最后利用有关的公式求出相应的概率及均值 6(湖南高考)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立(1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望 解：记E甲组研发新产品成功，F乙组研发新产品成功 由题设知P(E)23，P(E)13，P(F)35，P(F)25.且事件E与F，E与F，E与F，E与F都
11、相互独立(1)记H至少有一种新产品研发成功，则HE F，于是 P(H)P(E)P(F)1325215，故所求的概率为P(H)1P(H)12151315.(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为 0,100,120,220.因P(X0)P(E F)1325215，P(X100)P(E F)1335315，P(X120)P(E F)2325415，P(X220)P(EF)2335615.故所求的X分布列为 X 0 100 120 220 P 215 315 415 615 数学期望为E(X)02151003151204152206153004801 320152 10015140.7某突
12、发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为 0.3，一旦发生，将造成 400 万元的损失现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为 45 万元和 30 万元，采用相应的预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9 和 0.85.若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采取、联合采取或不采取，请确定预防方案使总费用最少(总费用采取预防措施的费用发生突发事件损失的期望值)解：不采取预防措施时，总费用即损失期望值为 E14000.3120(万元)；若单独采取预防措施甲，则预防措施费用为 45 万元，发生突发事件的概率为 10.90.1，损失期望值为E24000.14
13、0(万元)，所以总费用为 454085(万元)；若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为 30 万元，发生突发事件的概率为 10.850.15，损失期望值为E34000.1560(万元)，所以总费用为 306090(万元)；若联合采取甲、乙两种预防措施，则预防措施费用为 453075(万元)，发生突发事件的概率为(10.9)(10.85)0.015，损失期望值为E44000.0156(万元)，所以总费用为 75681(万元)综合，比较其总费用可知，选择联合采取甲、乙两种预防措施，可使总费用最少 1求随机变量的数学期望的方法步骤：(1)写出随机变量所有可能的取值(2)计算随机变量取每一个值对应的概
14、率(3)写出分布列，求出数学期望 2离散型随机变量均值的性质 Ecc(c为常数)；E(aXb)aEXb(a，b为常数)；E(aX1bX2)aEX1bEX2(a，b为常数)对应课时跟踪训练十三 1一名射手每次射击中靶的概率均为 0.8，则他独立射击 3 次中靶次数X的均值为()A0.8 B0.83 C3 D2.4 解析：射手独立射击 3 次中靶次数X服从二项分布，即XB(3,0.8)，EX30.82.4.答案：D 2已知离散型随机变量X的概率分布如下：X 0 1 2 P 0.3 3k 4k 随机变量Y2X1，则Y的数学期望为()A1.1 B3.2 C11k D33k1 解析：由题意知，0.33k
15、4k1，k0.1.EX00.310.320.41.1，EYE(2X1)2EX12.213.2.答案：B 3口袋中有 5 个球，编号为 1,2,3,4,5，从中任取 3 个球，以X表示取出的球的最大号码，则EX()A4 B5 C4.5 D4.75 解析：X的取值为 5,4,3.P(X5)C24C3535，P(X4)C23C35310，P(X3)1C35110.EX535431031104.5.答案：C 4(湖北高考)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体 经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值EX()A.126125 B.65 C.1
16、68125 D.75 解析：由题意知X可能为 0,1,2,3，P(X0)3312527125，P(X1)9612554125，P(X2)31212536125，P(X3)8125，EX0P(X0)1P(X1)2P(X2)3P(X3)0271251541252361253812515012565，故选 B.答案：B 5 设 10 件产品有 3 件次品，从中抽取 2 件进行检查，则查得次品数的均值为_ 解析：设查得次品数为X，由题意知X服从超几何分布且N10，M3，n2.EXnMN231035.答案：35 6某射手射击所得环数X的分布列如下 X 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知E
17、X8.9，则y的值为_ 解析：由 x0.10.3y1，7x80.190.310y8.9，解得y0.4.答案：0.4 7某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一道和第二道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A，B两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品 表一 工序 概率 产品 第一道工序 第二道工序 甲 0.8 0.85 乙 0.75 0.8 表二 等级 利润 产品 一等 二等 甲 5(万元)2.5(万元)乙 2.5(万元)1.5(万元)(1)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙
18、产品为一等品的概率P甲、P乙；(2)已知一件产品的利润如表二所示，用X，Y分别表示一件甲、乙产品的利润，在(1)的条件下，分别求甲、乙两种产品利润的分布列及均值 解：(1)P甲0.80.850.68，P乙0.750.80.6.(2)随机变量X，Y的分布列是 X 5 2.5 P 0.68 0.32 Y 2.5 1.5 P 0.6 0.4 EX50.682.50.324.2，EY2.50.61.50.42.1.所以甲、乙两种产品利润的均值分别为 4.2 万元、2.1 万元 8(山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局
19、比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果互相独立(1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率；(2)若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分、对方得 0 分；若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分、对方得 1 分求乙队得分X的分布列及数学期望 解：(1)记“甲队以 30 胜利”为事件A1，“甲队以 31 胜利”为事件A2，“甲队以32 胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P(A1)233827，P(A2)C2323212323827，P(A3)C24232123212427.所以，甲队以 30 胜利、以 31 胜利的概率都为827，以 32 胜利的概率为427.(2)设“乙队以 32 胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C241232232112427.由题意知，随机变量X的所有可能的取值为 0,1,2,3，根据事件的互斥性得 P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)1627，又P(X1)P(A3)427，P(X2)P(A4)427，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2)327，故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1627 427 427 327 所以EX0162714272427332779.