《陕西省延安市黄陵中学2023学年高三下学期第五次调研考试数学试题(含解析)35778.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《陕西省延安市黄陵中学2023学年高三下学期第五次调研考试数学试题(含解析)35778.pdf（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023 学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用 2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1M、N 是曲线 y=sinx 与曲线 y=cosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为()A B2 C3 D2 2下图为一个正四面体的侧面展开图，G为BF的中点，则在原正四面体中，直线EG与直线BC所成角的余弦值为（
2、）A33 B63 C36 D336 3欧拉公式为cossinixexix,(i虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，3ie表示的复数位于复平面中的（）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4复数()(1)2zii的共轭复数为（）A33i B33i C1 3i D1 3i 5 已知函数 f x的定义域为0,，且 2224mf mff nn，当01x时，0f x.若 42f，则函数 f x在1,16上的最大值为（）A4 B6 C3 D8 6在ABC中,ABC
3、所对的边分别是,a b c，若3,4,120abC，则c（）A37 B13 C13 D37 7如图，四面体ABCD中，面ABD和面BCD都是等腰直角三角形，2AB，2BADCBD，且二面角ABDC的大小为23，若四面体ABCD的顶点都在球O上，则球O的表面积为（）A223 B283 C2 D23 8若点(2，k)到直线 5x-12y+6=0 的距离是 4，则 k 的值是()A1 B-3 C1 或53 D-3 或173 9已知等差数列na的前 n 项和为nS，262,21aS，则5a A3 B4 C5 D6 10若复数221aii（aR）是纯虚数，则复数22ai在复平面内对应的点位于（）A第一象
4、限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 11设a，b，c是非零向量.若1()2a cb cabc，则（）A()0abc B()0abc C()0abc D()0abc 12有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为 8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于 1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A8 B7 C6 D4 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若1c，60C，则b的取值范围是_ 14已知(4,0),A(,4)P a a
5、，圆220:4xy，直线 PM，PN 分别与圆 O 相切，切点为 M，N，若MRRN，则|AR的最小值为_.15将函数()sincos(,R,0)f xaxbx a ba的图象向左平移6个单位长度，得到一个偶函数图象，则ba_ 1641x的展开式中2x的系数为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）已知等差数列 na的前 n 项和为nS，等比数列 nb的前 n 项和为nT，且111ab，53aS，4415ab.（1）求数列 na与 nb的通项公式；（2）求数列nnSTn的前 n 项和.18（12 分）近几年一种新奇水果深受广大消费者的喜爱，一位农户
6、发挥聪明才智，把这种露天种植的新奇水果搬到了大棚里，收到了很好的经济效益根据资料显示，产出的新奇水果的箱数 x（单位：十箱）与成本 y（单位：千元）的关系如下：x 1 3 4 1 2 y 5 15 2 25 8 y 与 x 可用回归方程lgybxa（其中a，b为常数）进行模拟（）若该农户产出的该新奇水果的价格为 150 元/箱，试预测该新奇水果 100 箱的利润是多少元|（）据统计，10 月份的连续 11 天中该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的频率分布直方图如图所示（i）若从箱数在40,120）内的天数中随机抽取 2 天，估计恰有 1 天的水果箱数在80,120)内的概率；（）求这 11
7、 天该农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值（每组用该组区间的中点值作代表）参考数据与公式：设lgtx，则 t y 51iiittyy 521iitt 0.54 1.8 1.53 0.45 线性回归直线lgybxa中，121niiiniittyybtt，aybt 19（12 分）已知函数f(x)xlnx，g(x)x2ax.（1）求函数 f(x)在区间t，t1(t0)上的最小值 m(t)；（2）令 h(x)g(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函数 h(x)图像上任意两点，且满足1212()()h xh xxx1，求实数 a 的取值范围；（3）若x(0,
8、1，使 f(x)()ag xx成立，求实数 a 的最大值 20（12 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 2f xx（）解不等式 216f xfx；（）对1,0aba b及xR，不等式41f xmfxab恒成立，求实数m的取值范围.21（12 分）已知函数()12f xxx.（1）解不等式 1f x；（2）记函数 f x的最大值为s，若,0abcs a b c，证明：2222223a bb cc aabc.22（10 分）如图，在ABC中，点D在BC上，4CAD，72AC，2cos10ADB.（1）求sinC的值；（2）若5BD，求AB的长.2023 学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一
9、、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【答案解析】两函数的图象如图所示,则图中|MN|最小,设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1=4,x2=,|x1-x2|=,|y1-y2|=|sinx1-cosx2|=22+22=2,|MN|=.故选 C.2、C【答案解析】将正四面体的展开图还原为空间几何体，,A D F三点重合，记作D，取DC中点H，连接,EG EH GH，EGH即为EG与直线BC所成的角，表示出三角形EGH的三条边长，用余弦定理即可求得cosEGH.【题目详解】将展开的正四面体折叠，可得原正四面体
10、如下图所示，其中,A D F三点重合，记作D：则G为BD中点，取DC中点H，连接,EG EH GH，设正四面体的棱长均为a，由中位线定理可得/GHBC且1122GHBCa，所以EGH即为EG与直线BC所成的角，221322EGEHaaa，由余弦定理可得222cos2EGGHEHEGHEG GH 2223133444631222aaaaa，所以直线EG与直线BC所成角的余弦值为36，故选：C.【答案点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题.3、A【答案解析】计算313cossin3322ieii，得到答案.【题目详解】根据题意cos
11、sinixexix，故313cossin3322ieii，表示的复数在第一象限.故选：A.【答案点睛】本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力和理解能力.4、D【答案解析】直接相乘，得1 3i，由共轭复数的性质即可得结果【题目详解】21()()1 3ziii 其共轭复数为1 3i.故选：D【答案点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质.5、A【答案解析】根据所给函数解析式满足的等量关系及指数幂运算，可得 mff nf mn；利用定义可证明函数 f x的单调性，由赋值法即可求得函数 f x在1,16上的最大值.【题目详解】函数 f x的定义域为0,，且 2224mf mff nn，则 mf
12、f nf mn；任取12,0,x x，且12xx，则1201xx，故120 xfx，令1mx，2nx，则 1212xff xf xx，即 11220 xf xf xfx，故函数 f x在0,上单调递增，故 max16f xf，令16m，4n，故 44164fff，故函数 f x在1,16上的最大值为 4.故选：A.【答案点睛】本题考查了指数幂的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.6、D【答案解析】直接根据余弦定理求解即可【题目详解】解：3,4,120abC，2222cos9161237cababC，37c，故选：D【答案点睛】本题主要考查余弦定理
13、解三角形，属于基础题 7、B【答案解析】分别取BD、CD的中点M、N，连接AM、MN、AN，利用二面角的定义转化二面角ABDC的平面角为23AMN，然后分别过点M作平面ABD的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点O，在Rt OMN中计算出OM，再利用勾股定理计算出OA，即可得出球O的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案【题目详解】如下图所示，分别取BD、CD的中点M、N，连接AM、MN、AN，由于ABD是以BAD为直角等腰直角三角形，M为BD的中点，AMBD，2CBD，且M、N分别为BD、CD的中点，所以，/MN BC，所以，MNBD，所以二面角ABDC的平面角为23AMN，2ABAD，则
14、222BDABAD，且2BC，所以，112AMBD，112MNBC，ABD是以BAD为直角的等腰直角三角形，所以，ABD的外心为点M，同理可知，BCD的外心为点N，分别过点M作平面ABD的垂线与过点N作平面BCD的垂线交于点O，则点O在平面AMN内，如下图所示，由图形可知，2326OMNAMNAMO，在Rt OMN中，3cos2MNOMNOM，2 3332MNOM，所以，22213OAOMAM，所以，球O的半径为213R，因此，球O的表面积为2221284433R.故选：B.【答案点睛】本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题 8
15、、D【答案解析】由题得222 5 12645(12)k ，解方程即得 k 的值.【题目详解】由题得222 5 12645(12)k ，解方程即得 k=-3 或173.故答案为：D【答案点睛】(1)本题主要考查点到直线的距离公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和计算推理能力.(2)点00(,)P xy到直线:0l AxByC的距离0022AxByCdAB.9、C【答案解析】方法一：设等差数列na的公差为d，则1126 56212adad，解得111ad，所以51(51)15a .故选 C 方法二：因为166256()3()2aaSaa，所以53(2)21a，则55a.故选 C 10、B【答案解析
16、】化简复数221aii，由它是纯虚数，求得a，从而确定22ai对应的点的坐标【题目详解】221aii2()(1)1(1)(1)(1)aiiaa iii 是纯虚数，则1010aa，1a，2222aii ，对应点为(2,2)，在第二象限 故选：B【答案点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义本题属于基础题 11、D【答案解析】试题分析：由题意得：若a cb c，则()0abc；若a cb c ，则由1()2a cb cabc可知，0a cb c，故()0abc也成立，故选 D.考点：平面向量数量积.【思路点睛】几何图形中向量的数量积问题是近几年高考的又一热点，作为一类既能考查向量的线
17、性运算、坐标运算、数量积及平面几何知识，又能考查学生的数形结合能力及转化与化归能力的问题，实有其合理之处.解决此类问题的常用方法是：利用已知条件，结合平面几何知识及向量数量积的基本概念直接求解(较易)；将条件通过向量的线性运算进行转化，再利用求解(较难)；建系，借助向量的坐标运算，此法对解含垂直关系的问题往往有很好效果.12、A【答案解析】则从下往上第二层正方体的棱长为：22444 2，从下往上第三层正方体的棱长为：222 22 24，从下往上第四层正方体的棱长为：22222 2，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于 1 时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【题目详解】最底层正方体
18、的棱长为 8，则从下往上第二层正方体的棱长为：22444 2，从下往上第三层正方体的棱长为：222 22 24，从下往上第四层正方体的棱长为：22222 2，从下往上第五层正方体的棱长为：22222，从下往上第六层正方体的棱长为：22112，从下往上第七层正方体的棱长为：2222122，从下往上第八层正方体的棱长为：22112222，改形塔的最上层正方体的边长小于 1，那么该塔形中正方体的个数至少是 8.故选：A.【答案点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13、2 30,3【答案解析】计算出角B的取值范围，结合正弦定理可求
19、得b的取值范围.【题目详解】60C，则0120B，所以，0sin1B，由正弦定理12 3sinsin332bcBC，2 32 3sin0,33bB.因此，b的取值范围是2 30,3.故答案为：2 30,3.【答案点睛】本题主要考查了正弦定理，正弦函数图象和性质，考查了转化思想，属于基础题 14、2 2【答案解析】由MRRN可知 R 为中点,设00,P xy11,M x y22,N xy,由过切点的切线方程即可求得221111:4PM x xy yxy,22:4PN x xy y，00,P xy代入10104x xy y，20204x xy y，则11,M x y22,N xy在直线004xxy
20、y上，即可得MN方程为004xxyy，将 0,xa04ya，代入化简可得()440a xyy，则直线MN过定点(1,1)Q,由ORMN则点R在以OQ为直径的圆22111:222Txy上，则min|ARATr.即可求得.【题目详解】如图，由MRRN可知 R 为 MN 的中点，所以ORMN，PRMN，设00,P xy11,M x y22,N xy，则切线 PM 的方程为1111xyyxxy，即221111:4PM x xy yxy，同理可得22:4PN x xy y，因为 PM，PN 都过00,P xy，所以10104x xy y，20204x xy y，所以11,M x y22,N xy在直线0
21、04xxyy上，从而直线 MN 方程为004xxyy，因为0,xa04ya，所以(4)4()440axaya xyy，即直线 MN 方程为()440a xyy，所以直线 MN 过定点(1,1)Q,所以 R 在以 OQ 为直径的圆22111:222Txy上，所以min5 22|2 222ARATr.故答案为:2 2.【答案点睛】本题考查直线和圆的位置关系,考查圆的切线方程,定点和圆上动点距离的最值问题,考查学生的数形结合能力和计算能力,难度较难.15、3【答案解析】根据平移后关于y轴对称可知 f x关于6x对称，进而利用特殊值 03ff构造方程，从而求得结果.【题目详解】f x向左平移6个单位长
22、度后得到偶函数图象，即关于y轴对称 f x关于6x对称 03ff 即：31sincos3322ababb 3ba 本题正确结果：3【答案点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.16、6【答案解析】在二项展开式的通项中令x的指数为2，求出参数值，然后代入通项可得出结果.【题目详解】41x的展开式的通项为414rrrTCx，令422rr，因此，41x的展开式中2x的系数为246C.故答案为：6.【答案点睛】本题考查二项展开式中指定项系数的求解，涉及二项展开式通项的应用，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：
23、共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）21nan；12nnb（2）111222nn nn【答案解析】(1)设数列 na的公差为 d,由53aS可得,113 2432adad,由111ab即可解得2d,故21nan,由4415ab,即可解得2q,进而求得12nnb.(2)由（1）得，2212nnnnnSTnnnn,利用分组求和及错位相减法即可求得结果.【题目详解】（1）设数列 na的公差为 d，数列 nb的公比为 q，由53aS可得，113 2432adad，整理得12ad，即2d，故21nan，由4415ab可得48b，则318bq，即2q，故12nnb.（2）由（
24、1）得，2nSn，21nnT，故2212nnnnnSTnnnn，所以，数列nnSTn的前 n 项和为121 22 221 2nnn ，设1211 22 2122nnnPnn ，则23121 22 2122nnnPnn ，得123122222122nnnnPnn，综上，数列nnSTn的前 n 项和为111222nn nn.【答案点睛】本题考查求等差等比的通项公式,考试分组求和及错位相减法求数列的和,考查学生的计算能力,难度一般.18、（）1131；（）（i）815P；（）125 箱【答案解析】（）根据参考数据得到b和 a，代入得到回归直线方程3.44.964yt，lg tx，再代入10 x 求成
25、本，最后代入利润公式；（）（）首先分别计算水果箱数在40,80)和80,120)内的天数，再用编号列举基本事件的方法求概率；（）根据频率分布直方图直接计算结果.【题目详解】（）根据题意，515211.533.40.45iiiiittyybtt，所以6.83.40.544.964aybt，所以3.44.964yt又lg tx，所以3.4lg4.964yx 所以10 x时，3.44.9648.364y（千元），即该新奇水果 100 箱的成本为 8314 元，故该新奇水果 100 箱的利润1500083646636（）（i）根据频率分布直方图，可知水果箱数在40,80)内的天数为140 162320
26、 设这两天分别为 a，b，水果箱数在80,120)内的天数为140 164160，设这四天分别为 A，B，C，D，所以随机抽取 2 天的基本结果为(,)A B，(A,C)，(,)A D，(A,a)，(A,b)，(,)B C，(,)B D，(,a)B，(,b)B，(,)C D，(C,a)，(C,b)，(,)D a，(,)D b，(,)a b，共 15 种满足恰有 1 天的水果箱数在80,120)内的结果为(A,a)，(A,b)，(,a)B，(,b)B，(C,a)，(C,b)，(,)D a，(,)D b，共 8 种，所以估计恰有1 天的水果箱数在80,120)内的概率为 815P（）这 11 天该
27、农户每天为甲地配送的该新奇水果的箱数的平均值为1111604010040140401804012532016080320（箱）【答案点睛】本题考查考查回归直线方程，统计，概率，均值的综合问题，意在考查分析数据，应用数据，解决问题的能力，属于中档题型.19、（1）m(t)ln,11,01tt tt（2）a222.（3）a222.【答案解析】（1）是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进行求解（2）注意到函数 h(x)的图像上任意不同两点 A，B 连线的斜率总大于 1，等价于 h(x1)h(x2)x1x2(x1x2)恒成立，从而构造函数 F
28、(x)h(x)x 在(0，)上单调递增，进而等价于 F(x)0 在(0，)上恒成立来加以研究（3）用处理恒成立问题来处理有解问题，先分离变量转化为求对应函数的最值，得到 a22ln1xxxx，再利用导数求函数 M(x)22ln1xxxx的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值【题目详解】（1）f(x)11x，x0，令 f(x)0，则 x1.当 t1 时，f(x)在t，t1上单调递增，f(x)的最小值为 f(t)tlnt；当 0t1 时，f(x)在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t1)上为增函数，f(x)的最小值为 f(1)1.综上，m(t)ln,11,01tt t
29、t （2）h(x)x2(a1)xlnx，不妨取 0 x1x2，则 x1x20，则由1212()()1h xh xxx，可得 h(x1)h(x2)x1x2，变形得 h(x1)x1h(x2)x2恒成立 令 F(x)h(x)xx2(a2)xlnx，x0，则 F(x)x2(a2)xlnx 在(0，)上单调递增，故 F(x)2x(a2)1x0 在(0，)上恒成立，所以 2x1xa2 在(0，)上恒成立 因为 2x1x22，当且仅当 x22时取“”，所以 a222.（3）因为 f(x)()ag xx，所以 a(x1)2x2xlnx.因为 x(0,1，则 x1(1,2，所以x(0,1，使得 a22ln1xx
30、xx成立 令 M(x)22ln1xxxx，则 M(x)2223ln1(1)xxxx.令 y2x23xlnx1，则由 y(1)(41)xxx0 可得 x14或 x1(舍)当 x1(0,)4时，y0，则函数 y2x23xlnx1 在14上单调递减；当 x1(,)4时，y0，则函数 y2x23xlnx1 在1(,)4上单调递增 所以 yln4180，所以 M(x)0 在 x(0,1时恒成立，所以 M(x)在(0,1上单调递增 所以只需 aM(1)，即 a1.所以实数 a 的最大值为 1.【答案点睛】本题考查了函数与导数综合问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算能力，属于难题.20、（）,13
31、,.（）135m.【答案解析】详解：（）133,21212211,2,233,2.x xf xfxxxxxxx 当12x 时，由3 36x，解得1x；当122x时，16x 不成立；当2x 时，由336x，解得3x.所以不等式 6f x 的解集为,13,.（）因为1,0aba b，所以4141445529bab aababababab.由题意知对xR，229xmx ，即max229xmx ，因为 22224xmxxmxm ，所以949m，解得135m.【答案点睛】绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：绝对值定义法；平方法；零点区域法 不等式的恒
32、成立可用分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围这种方法本质也是求最值一般有：()()(f xg a a为参数）恒成立max()()g af x ()()(f xg a a为参数）恒成立max()()g af x 21、（1）,1；（2）证明见解析【答案解析】（1）将函数整理为分段函数形式可得3,1()21,123,2xf xxxx ,进而分类讨论求解不等式即可；（2）先利用绝对值不等式的性质得到 f x的最大值为 3,再利用均值定理证明即可.【题目详解】（1）()12f xxx 3,1()21,123,2xf xxx
33、x 当1x时，31 恒成立，1x；当12x 时，21 1x，即1x，11x；当2x 时，31显然不成立，不合题意；综上所述，不等式的解集为,1.（2）由（1）知max()3f xs，于是3abc 由基本不等式可得2222242222a bb ca b cab c（当且仅当ac时取等号）2222224222b cc aa b cabc（当且仅当ba时取等号）2222422222c aa ba b ca bc（当且仅当cb时取等号）上述三式相加可得 22222222()a bb cc aabc abc（当且仅当abc时取等号）3abc，2222223a bb cc aabc，故得证.【答案点睛】本
34、题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用，解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.22、(1)45；（2）37AB.【答案解析】（1）由两角差的正弦公式计算；（2）由正弦定理求得AD，再由余弦定理求得AB【题目详解】（1）因为2cos10ADB，所以227 2sin 11010ADB.因为4CAD，所以4CADB，所以sinsinsincoscossin444CADBADBADB7 222241021025.（2）在ACD中，由sinsinADACCADC，得74sin252 2sin7 210ACCADADC，在ABD中，由余弦定理可得2222cosABBDADBD ADADB22252 22 5 2 23710 ，所以37AB.【答案点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查正弦定理和余弦定理，属于中档题