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1、 考点 12 函数模型及其应用 1、某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()A.pq2 B（p1）（q1）12 C.pq D（p1）（q1）1【答案】D【解析】设第一年年初生产总值为 1，则这两年的生产总值为(p1)(q1)设这两年生产总值的年平均增长率为 x，则(1x)2(p1)(q1)，解得 x（p1）（q1）1，故选 D.2、在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位 mol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作OH)的乘积等于常数1014.已知pH值的定义为pHlg H，
2、健康人体血液的 pH 值保持在 7.357.45 之间，那么健康人体血液中的HOH可以为(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)()A.12 B13 C16 D110【答案】C【解析】HOH1014，HOHH21014，7.35lg H7.45，107.45H107.35，100.9HOH1014H2110，lg(100.7)0.7lg 3lg 2，100.732，100.71312，110HOH0)若不管资金如何投入，经销这两种 商品或其中的一种商品所获得的纯利润总不少于 5 万元，则 a 的最小值应为()A.5 B5 C 2 D2【答案】A【解析】设投入 x 万元经销甲商品，则经销
3、乙商品投入(20 x)万元，总利润 yPQx4a220 x.令y5，则x4a220 x5 对 0 x20 恒成立a 20 x10 x2，a1220 x对 0 x20 恒成立f(x)1220 x的最大值为 5，且 x20 时，a 20 x10 x2也成立，amin 5.故选 A.6、某市家庭煤气的使用量 x(m3)和煤气费 f(x)(元)满足关系 f(x)C，0 xA，CB（xA），xA.已知某家庭 2018 年前三个月的煤气费如表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m3 4 元 二月份 25 m3 14 元 三月份 35 m3 19 元 若四月份该家庭使用了 20 m3的煤气，则其煤气费为()
4、A11.5 元 B11 元 C10.5 元 D10 元【答案】A【解析】根据题意可知 f(4)C4，f(25)CB(25A)14，f(35)CB(35A)19，解得 A5，B12，C4，所以 f(x)4，0 x5，412（x5），x5，所以 f(20)412(205)11.5.7、某校甲、乙两食堂某年 1 月营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同 已知本年 9 月份两食堂的营业额又相等，则本年 5 月份()A甲食堂的营业额较高 B乙食堂的营业额较高 C甲、乙两食堂的营业额相同 D不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高【答案】A【解
5、析】设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m，甲食堂的营业额每月增加 a(a0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为 x，由题意可得，m8am(1x)8，则 5 月份甲食堂的营业额 y1m4a，乙食堂的营业额 y2m(1x)4 m（m8a），因为 y21y22(m4a)2m(m8a)16a20，所以 y1y2，故本年 5 月 份甲食堂的营业额较高 8、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”在特定条件下，可食用率 p与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 pat2btc(a，b，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为
6、_分钟【答案】3.75【解析】由实验数据和函数模型知，二次函数 pat2btc 的图象过点(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)，分别代入解析式，得0.79a3bc，0.816a4bc，0.525a5bc，解得a0.2，b1.5，c2.所以 p0.2t21.5t20.2(t3.75)20.812 5，所以当 t3.75 时，可食用率 p 最大，即最佳加工时间为 3.75 分钟 9、某商店按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件若要获得最大利润，销售价应定为每件_元【答案】190 元【解析】设售价提
7、高 x 元，则依题意 y(1 0005x)(20 x)5x2900 x20 0005(x90)260 500.故当 x90 时，ymax60 500，此时售价为每件 190 元 10、现有含盐 7%的食盐水 200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐 5%以上且在 6%以下(不含 5%和 6%)的食盐水，设需要加入 4%的食盐水 x g，则 x 的取值范围是_【答案】(100,400)【解析】设 y2007%x4%200 x，令 5%y6%，即(200 x)5%2007%x4%(200 x)6%，解得 100 x400.11、某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超
8、过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_km.【答案】9【解析】由已知可得 y 81，0 x3，82.15x31，38，9，08.由 y22.6 解得 x9.12、某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过 0.1%.若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤_次才能达到市场要求(已知 lg 20.301 0，lg 30.477 1)【答案】8【解析】设过滤 n
9、 次才能达到市场要求，则 2%113n0.1%，即23n120，所以 nlg231lg 2，所以n7.39，所以 n8.13、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P(毫克/升)与时间 t(小时)的关系为PP0ekt.如果在前 5 小时消除了 10%的污染物，那么污染物减少 19%需要花费的时间为_小时【答案】10【解析】由题设可得(10.1)P0P0e5k，即 0.9e5k，故5kln 0.9；又(10.19)P0P0ekt，即 0.81ekt，故ktln 0.812ln 0.910k，故 t10，应填 10.14、渔场中鱼群的最大养殖量为 m，为保证鱼群的生长空间，实
10、际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量 y 吨和实际养殖量 x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为 k(k0)，则鱼群年增长量的最大值是_【答案】km4【解析】由题意，空闲率为 1xm，ykx1xm，定义域为(0，m)，ykx1xmkmxm22km4，x(0，m)，k0，当 xm2时，ymaxkm4.15、拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由 f(m)1.06(0.5m1)给出，其中 m0，m是不超过 m 的最大整数(如33，3.73，3.13)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为_元【答案】4.24【解析】m6.5，m6，则 f(m)1.06(
11、0.561)4.24.16、某人根据经验绘制了 2018 年春节前后，从 12 月 21 日至 1 月 8 日自己种植的西红柿的销售量 y(千克)随时间 x(天)变化的函数图象，如图所示，则此人在 12 月 26 日大约卖出了西红柿 _千克【答案】1909【解析】前10天满足一次函数关系，设为ykxb，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得10kb，3010kb，解得 k209，b709，所以 y209x709，则当 x6 时，y1909.17、候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度 v(单位：m/s)与其耗氧量 Q 之间的关系为：va
12、blog3Q10(其中 a，b 是实数)据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30 个单位，而其耗氧量为 90 个单位时，其飞行速度为 1 m/s.(1)求出 a，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？【答案】(1)a1，b1.(2)270【解析】(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s，此时耗氧量为 30 个单位，则 ablog330100，即 ab0；当耗氧量为 90 个单位时，速度为 1 m/s，则 ablog390101，整理得 a2b1.解方程组ab0，a2b1，得a1，b1.(2)由(1)知，vablog
13、3Q101log3Q10.所以要使飞行速度不低于 2 m/s，则 v2，所以1log3Q102，即 log3Q103，解得Q1027，即 Q270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要 270 个单位 18、某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲线 (1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 yf(t)；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间 【答案】(1)y4t，0t1，12
14、t3，t1.(2)7916【解析】(1)由题图，设 ykt，0t1，12ta，t1，当 t1 时，由 y4 得 k4，由121a4 得 a3.所以 y4t，0t1，12t3，t1.(2)由 y0.25 得 0t1，4t0.25或t1，12t30.25，解得116t5.因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 51167916(小时)19、已知一容器中有 A，B 两种菌，且在任何时刻 A，B 两种菌的个数乘积为定值 1010，为了简单起见，科学家用 PAlg(nA)来记录 A 菌个数的资料，其中 nA为 A 菌的个数，现有以下几种说法：PA1；若今天的 PA值比昨天的 PA值增加 1，则今天的 A 菌
15、个数比昨天的 A 菌个数多了 10 个；假设科学家将 B 菌的个数控制为 5 万个，则此时 5PA5.5.其中正确的说法为_(写出所有正确说法的序号)【答案】【解析】当 nA1 时 PA0，故错误；若 PA1，则 nA10，若 PA2，则 nA100，故错误；设 B 菌的个数为 nB5104，nA101051042105，PAlg(nA)lg 25.又lg 20.3，5PA5.5，故正确 20、某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆车每年减少它的价值的 10%)，那么，大约使
16、用_年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到 14.4 万元【答案】4【解析】设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元，依题意可得，14.4(10.9x)2.4x14.4.化简得：x60.9x0，令 f(x)x60.9x.因为 f(3)1.3740，f(4)0.063 40，所以函数 f(x)在(3，4)上应有一个零点 故大约使用 4 年后，花费在该车上的费用达到 14.4 万元 21、某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续 5 个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌现有三种价格模拟函数：f(x)pqx；f(x)px2
17、qx1；f(x)x(xq)2p(以上三式中 p，q 均为常数，且 q1)(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若 f(0)4，f(2)6.求出所选函数 f(x)的解析式(注：函数定义域是0，5，其中 x0 表示 8 月 1 日，x1 表示 9 月 1 日，以此类推)；为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌【答案】(1)f(x)x(xq)2p (2)f(x)x36x29x4(0 x5)9 月、10 月两个月【解析】(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函
18、数中应选模拟函数 f(x)x(xq)2p.(2)对于 f(x)x(xq)2p，由 f(0)4，f(2)6，可得 p4，(2q)21，又 q1，所以 q3，所以 f(x)x36x29x4(0 x5)因为 f(x)x36x29x4(0 x5)，所以 f(x)3x212x9，令 f(x)0，得 1x3.所以函数 f(x)在(1，3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在 9 月、10 月两个月内价格下跌 22、我校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形 ABC 的空地上修建一个占地面积为 S(平方米)的AMPN 矩形健身场地如图，点 M 在 AC 上，点N 在 AB 上，且 P 点在斜边 BC 上已
19、知ACB60，|AC|30 米，|AM|x 米，x10,20设矩形 AMPN 健身场地每平方米的造价为37kS元，再把矩形 AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪，每平方米的造价为12kS元(k 为正常数)(1)试用 x 表示 S，并求 S 的取值范围；(2)求总造价 T 关于面积 S 的函数 Tf(S)；(3)如何选取|AM|，使总造价 T 最低(不要求求出最低造价)?【答案】选取|AM|为 12 米或 18 米时总造价 T 最低【解析】(1)在 RtPMC 中，显然|MC|30 x，PCM60，|PM|MC|tanPCM 3(30 x)，矩形 AMPN 的面积 S|PM|AM|3x(30 x)
20、，x10,20，200 3S225 3.(2)矩形 AMPN 健身场地造价 T137k S，又ABC 的面积为 450 3，草坪造价 T212kS(450 3S)总造价 TT1T225kS216 3S，200 3S225 3.(3)S216 3S126 3，当且仅当 S216 3S，即 S216 3时等号成立，此时 3x(30 x)216 3，解得 x12 或 x18.23、某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y 13x380 x25 040 x，x120，144，12x2200 x80 000，x144，500，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为 200 元，若该项目不获利，政府将给予补贴(1)当 x200,300时，判断该项目能否获利如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【答案】(1)5 000 元 (2)400 吨【解析】(1)当 x200,300时，该项目获利为 S，则 S200 x12x2200 x80 000 12(x400)2，当 x200,300时，S200，当每月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低