专题八_与万有引力有关的问题47886.pdf
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1、 .下载可编辑 .专题一 万有引力相关问题 一、地球表面物体随地球自转 地球表面上的物体随地球自转,物体受到的重力G只是地球对物体的万有引力F的一个分力。万有引力的另一个分力是使物体随地球自转的向心力fn。即 F=G+fn 由于fnG,可以认为重力近似等于万有引力,即mgRGMm2,方向可以认为是竖直向下。重力G的平衡力是地面对物体的支持力N。由于地球自转因素的影响,地球两极表面重力加速度g最大,赤道表面重力加速度g 最小,两者的差就是赤道处物体随地球自转的向心加速度an,即RTgg22(R为地球半径,T为地球自转周期。)二、重力加速度与物体离地面高度h或地面下深度d的关系 若忽略地球自转。设
2、地球半径为R,地球表面A处重力加速度为g0。设地面上空高h的B处重力加速度为g1;由mgrGMm2,21rg 因此0221ghRRg 设地面下方深h的C处重力加速度为g2。由于质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零,因此上图中,C点以下白色部分地球对物体的引力就是该物体受到的重力,不同深度处对应的引起重力的地球质量3334rrM,因此rrGMg2,得02gRdRg 综上所述,重力加速度g与离地心距离r的函数关系图线如右。*联想:均匀带正电的实心球体,各处场强E与到球心距离r的图线与上图完全相同!但要注意,如果是均匀带正电金属球,内部场强就处处为零了!图线R左侧为零,只有R右侧才与上面图线相
3、同。三、人造卫星和宇宙速度 绕地球做匀速圆周运动的人造卫星所受的万有引力就是向心力,也就是重力,即 F=G=fn。由此可推出二级公式:rGMv、GMrT32、2rGMa,注意r、v、t、a是一一对应的。当r=R时,对应的速度就是第一宇宙速度9.71gRRGMvkm/s 若给出了引力势能的表达式rGMmEp,则可推出第二宇宙速度2.112212vRGMvkm/s*联想:若某星球的第二宇宙速度大于光速,意味着任何物质都无法离开该星球,连光子都无法射出,即F G fn N A B C h d O O g r R g0 .下载可编辑 .外界无法观测到该星球,这就是黑洞。形成黑洞的条件是cRGMv22
4、人造卫星的变轨,分渐变和突变两类。渐变问题首先要分析是做离心运动还是做向心运动,即首先要判定轨道半径r的变化是增大或减小。渐变过程的每一周仍可视为圆周运动,因此上述人造卫星的二级公式都能用。在分析渐变后能量变化时要注意,卫星的机械能可能不再守恒。动能、势能和机械能的变化要分别用不同的方法判定:动能看速度大小的改变;势能看引力做功的正负;机械能看有无其它能参与转化。比如:由于稀薄空气阻力而变轨,卫星将做向心运动,r减小,v增大,动能增加;引力做正功,势能减少;有摩擦生热,即有机械能转化为内能,因此机械能减少。又如:按某种假说,万有引力常量G在逐渐变小,引起太阳系中地球到太阳距离会发生变化,这种变
5、轨是离心运动。突变往往发生在需要改变卫星轨道高度的时候。比如由近地圆轨道卫星经过两次点火加速,变轨成为圆轨道同步卫星;或者航天器要从太空返回地球时,由较高圆轨道变轨回地球,需要将发动机喷口改为向前,向前喷出燃气,使卫星减速。*联想:与玻尔理论对照,卫星轨道的突变与电子在不同轨道间跃迁遵从同样的规律。四、双星问题 双星的最大特点有两个:由于向心力是由双星间万有引力F提供的,因此两星所受的向心力大小F一定相等。双星都绕空间同一个固定点做圆周运动,因此双星与该点总保持三点共线,在相同时间内转过的角度必相等,即双星做匀速圆周运动的角速度相等,周期T也相等。由F=mr2,得mr1,得LmmmrLmmmr
6、21122121,;线速度v=rmr1。列方程时特别注意:万有引力部分的表达式中的r应该是双星间的距离,往往用L表示;某一星球所需向心力的表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径,应分别记为r1、r2,r1+r2=L。*联想:如果是三星系统,则其中每颗星做圆周运动的向心力由另外两颗星对它的万有引力的合力提供。五、利用万有引力定律可以求中心星球的质量和密度 设中心星球质量为M,半径为R,环绕星球质量为m,线速度为v,公转周期为T,两星球相距r,根据万有引力定律:222TmrrGMm,得2324GTrM,由r、T可求出中心星球的质量。若将中心星球看做均匀球体,由334RM,可得中心星球的平均密度3
7、233RGTr;如果环绕星球离中心星球表面很近,满足rR,那么中心星球的平均密度23GT。六、开普勒定律 .下载可编辑 .1所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上。2 对任意一个行星,它与太阳连线在相等时间内扫过相等的面积(如右图,在远地点和近地点处vr-1)。3 所有行星轨道长半轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等(T 2a3)。万有引力练习题 1假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动,己知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离,那么 A地球公转周期大于火星的公转周期 B地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C地球公转的加速度小于火星公转的加速度 D地球公转的角速度大
8、于火星公转的角速度 2假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g、在赤道的大小为g,地球自转的周期为T。则地球的半径为 A2204()gg T B202()4gg T C.2024g T D202()4gg T 3静止在地面上的物体随地球自转做匀速圆周运动。下列说法正确的是 A物体受到的万有引力和支持力的合力总是指向地心 B物体做匀速圆周运动的周期与地球自转周期相等 C物体做匀速圆周运动的加速度等于重力加速度 D物体对地面压力的方向与万有引力的方向总是相同 4 理论上已经证明:质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球
9、体,O为球心,以O为原点建立坐标轴Ox,如图甲所示。一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示,则图乙所示的四个F随x的变化关系图正确的是 5.木星绕太阳的公转,以及卫星绕木星的公转,均可以看做匀速圆周运动。已知万有引力常量,并且已经观测到木星和卫星的公转周期。要求得木星的质量,还需要测量的物理量是 A太阳的质量 B卫星的质量 C木星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径 D卫星绕木星做匀速圆周运动的轨道半径 r1 r2 v2 v1 O x 甲 R .下载可编辑 .6(18分)万有引力定律揭示了天体运动规律与地球上物体运动规律具有内在一致性。(1)用一弹簧秤称
10、量一个相对于地球静止的小物体的重量,随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M,自转周期为T,万有引力常量为G。将地球视为半径为R,质量均匀分布的球体,不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时,弹簧秤的读数是0F。a 若在北极上空高出地面h处称量,弹簧秤读数为1F,求比值01/FF的表达式,并就Rh%0.1的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字);b若在赤道地面称量,弹簧秤的读数为2F,求比值02/FF的表达式;(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径为r,太阳的半径为SR和地球的半径R三者均减小为现在的%0.1,而太阳和地球的密度均匀且不变。仅考虑太阳和地球间的相互作用,以现实
11、地球的1 年为标准,计算“设想地球”的一年将变为多长?7利用万有引力定律可以测量天体的质量。(1)测地球的质量 英国物理学家卡文迪许,在实验室里巧妙地利用扭秤装置,比较精确地测量出了引力常量的数值,他把自己的实验说成是“称量地球的质量”。已知地球表面重力加速度为g,地球半径为R,引力常量为G。若忽略地球自转的影响,求地球的质量。(2)测“双星系统”的总质量 所谓“双星系统”,是指在相互间引力的作用下,绕连线上某点做匀速圆周运动的两个星球A和B,如图所示。已知A、B间距离为L,A、B绕O点运动的周期均为T,引力常量为G,求A、B的总质量。(3)测月球的质量 若忽略其它星球的影响,可以将月球和地球
12、看成“双星系统”。已知月球的公转周期为T1,月球、地球球心间的距离为L1。你还可以利用(1)、(2)中提供的信息,求月球的质量。A B O .下载可编辑 .8万有引力定律是科学史上最伟大的定律之一,利用它我们可以进行许多分析和预测。2016 年 3 月 8日出现了“木星冲日”。当地球位于太阳和木星之间且三者几乎排成一条直线时,天文学称之为“木星冲日”。木星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动,木星到太阳的距离大约是地球到太阳距离的5倍。下列说法正确的是 A木星运行的加速度比地球的大 B木星运行的周期比地球的小 C下一次的“木星冲日”时间肯定在2017年 D下一次的“木星冲日
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