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1、 专题 2.5 二次函数与幂函数 1.了解幂函数的概念；结合函数 yx，yx2，yx3，yx12，y1x的图象，了解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识点一 幂函数(1)幂函数的定义 一般地，形如 yx的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，为常数.(2)常见的 5 种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 幂函数在(0，)上都有定义；当 0 时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当 0)yax2bxc(a0，0，当 a0，0时，恒有 f(x)0 时，第一象限图象是上坡递增；当 0 时，第一象限图象是下坡递
2、减然后根据函数的奇偶性确定 y 轴左侧的增减性即可(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键【变式 1】(2018上海卷)已知 2，1，12，12，1，2，3.若幂函数 f(x)x为奇函数，且在(0，)上递减，则 _.【答案】1【解析】由题意知 可取1，1，3.又 yx在(0，)上是减函数，0 且 a1)与二次函数 y(a1)x2x 在同一坐标系内的图象可能是()【答案】A【解析】若 0a1，则 yloga x 在(0
3、，)上是增函数，y(a1)x2x 图象开口向上，且对称轴在 y 轴右侧，因此 B 项不正确，只有选项 A 满足.【方法技巧】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与 x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【变式 3】（2019河北唐山一中模拟）设函数 f(x)x2xa(a0)，已知 f(m)0 D.f(m1)0，所以 f(x)的大致图象如图所示.由 f(m)0，得1m0，所以 f(m1)f
4、(0)0.考点四 二次函数的单调性【典例 4】（2019浙江绍兴一中模拟）已知函数 f(x)ax2(a3)x1 在区间1，)上是递减的，则实数 a 的取值范围是()A3,0)B(，3 C2,0 D3,0【答案】D 【解析】当 a0 时，f(x)3x1 在1，)上递减，满足题意 当 a0 时，f(x)的对称轴为 x3a2a，由 f(x)在1，)上递减知 a0，3a2a1，解得3a0.综上，a 的取值范围为3,0【方法技巧】研究二次函数的单调性问题，二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论。【变式 4】（2019河北保定一中模拟）函数 f
5、(x)x2bxc 满足 f(x1)f(1x)，且 f(0)3，则f(bx)与 f(cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx)Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx)D与 x 有关，不确定【答案】A【解析】由题意知，函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，b2，又 f(0)3，c3，则 bx2x，cx3x.易知 f(x)在(，1)上单调递减，在1，)上单调递增若 x0，则 3x2x1，f(3x)f(2x)；若x0，则 3x2x1，f(3x)f(2x)f(3x)f(2x)，即 f(bx)f(cx)故选 A.考点五 二次函数的最值问题【典例 5】（2019河北唐山一中模拟）若函数 f(x)a
6、x22ax1 在1,2上有最大值 4，则 a 的值为_【答案】38【解析】f(x)a(x1)21a.当 a0 时，函数 f(x)在区间1,2上的值为常数 1，不符合题意，舍去；当 a0 时，函数 f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为 f(2)8a14，解得 a38；当 a0 时，函数 f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为 f(1)3a14，解得 a1，不符合题意，舍去 综上可知，a 的值为38.【方法技巧】研究二次函数的最值问题对于含参数的二次函数最值问题，无论对称轴还是区间含有参数，都把对称轴看作静止不动的参照物，即“动兮定兮对称轴，看作静止参照物”。【变式 5】（2019长春市实验
7、中学模拟）已知 yf(x)是偶函数，当 x0 时，f(x)(x1)2，若当x2，12时，nf(x)m 恒成立，则 mn 的最小值为()A.13 B.12 C.34 D1【答案】D 【解析】设 x0，则x0.有 f(x)(x1)2(x1)2，又f(x)f(x)，当 x0 时，f(x)(x1)2，该函数在2，12上的最大值为 1，最小值为 0，依题意，nf(x)m 恒成立，则 n0，m1，即 mn1，故 mn 的最小值为 1.考点六 二次函数中的恒成立问题【典例 6】（2019北京 101 中学模拟）已知函数 f(x)x2x1，在区间1,1上，不等式 f(x)2xm恒成立，则实数 m 的取值范围是
8、_【答案】(，1)【解析】f(x)2xm 等价于 x2x12xm，即 x23x1m0，令 g(x)x23x1m，要使 g(x)x23x1m0 在1,1上恒成立，只需使函数 g(x)x23x1m 在1,1上的最小值大于 0 即可 g(x)x23x1m 在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1.由m10，得 m1.因此满足条件的实数 m 的取值范围是(，1)【方法技巧】由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.【变式 6】（2019 东北育才中学模拟）已知在(，1上递减的函数 f(x)x22tx1，且对任意的 x1，x20，t1，总有|f(x1)f(x2)|2，则实数 t 的取值范围是()A.2，2 B.1，2 C.2，3 D.1，2【答案】B【解析】由于 f(x)x22tx1 的图象的对称轴为 xt，又 yf(x)在(，1上是减函数，所以，t1.则在区间0，t1上，f(x)maxf(0)1，f(x)minf(t)t22t21t21，要使对任意的 x1，x20，t1，都有|f(x1)f(x2)|2，只需 1(t21)2，解得 2t 2.又 t1，1t 2.