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1、 第四章 导数应用 1 利用导数研究函数单调性常见题型 1运用导数求函数的单调区间 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)在定义域内解不等式f(x)0 或f(x)0，得单调区间 例 1 求函数f(x)x(ex1)12x2的单调区间 解 由已知，得当f(x)(ex1)(x1)0 时，有x0 或x1.当x0；当1x0 时，f(x)0 时，f(x)0.故f(x)的递增区间是(，1)，(0，)，递减区间是(1,0)点评 单调区间开闭不扣分，但定义域不取的数一定不能取；断开的单调区间一般不合写，也不用“”连接，中间用“，”或“和”连接 例 2 已知函数f(
2、x)x23x2ln x，则函数f(x)的单调递减区间为_ 分析 先求函数f(x)的定义域和导数，再结合定义域解f(x)0 即可 解析 函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x32x.令f(x)0，即 2x32x2x23x2x0，且 2x23x20，解得 0 x1 时，ln x12x22.分析 可构造函数f(x)ln x(12x22)，由于f(1)0，故若能证明f(x)为(1，)上的增函数，即证明在(1，)上，导函数f(x)0 恒成立即可 证明 令f(x)ln x(12x22)，则有f(1)0.因为f(x)1xx1x2x0，x(1，)，所以函数f(x)为(1，)上的增函数，又f(1)0，所以
3、当x(1，)时，f(x)0 恒成立，即 ln x12x22.点评 证明不等式f(x)g(x)，x(a，b)的一般方法：构造函数F(x)f(x)g(x)，x(a，b)，分析F(x)在区间(a，b)上的单调性及最小值与 0 的大小，进而说明F(x)0 在(a，b)内恒成立即可 3求参数的取值范围 例 4 已知函数f(x)x3ax21.(1)若函数f(x)的单调递减区间是(0,2)，求实数a的值；(2)若函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，求实数a的取值范围 分析 注意正确区分“在某区间单调”和“单调区间”的概念，避免混淆 解(1)由f(x)的单调递减区间为(0,2)可知 0 与 2 是方程f(
4、x)3x22ax0 的两根，故有 3222a20，解得a3.(2)因为函数f(x)在区间(0,2)上是减少的，所以f(x)3x22ax0 在(0,2)上恒成立，即 2a3x在区间(0,2)上恒成立 因为x(0,2)，所以 3x(0,6)，故 2a6，即a3.经验证a3 时满足题意，故a的取值范围为3，)点评 若函数f(x)在区间D上是增(减)函数，则有f(x)0(f(x)0)对xD恒成立，这类问题，通常利用导数转化为不等式在某区间上的恒成立问题，进而把恒成立问题转化为求一个函数在某区间上的最大(小)值问题求解也可根据所给区间是单调递增(减)区间的子区间求解.2 巧用导数求极值 1函数的极值点的
5、判定方法 设函数f(x)在x0处连续，判定f(x0)是极大(小)值点的方法是：(1)如果在x0两侧f(x)符号相同，则x0不是函数f(x)的极值点；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(3)如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值也就是说，极大值点可以看成是函数递增区间与递减区间的分界点，极大值是极大值点附近曲线由上升到下降的过渡点的函数值极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的函数值 2极值常见题型详解(1)利用导数求函数的极值 例 1 求函数f(x)xln x的极值点 解 f(x)ln x1，x0.而f(x)0ln x101e
6、x，f(x)0ln x100 x0，f(x)在(0，)上是增加的，无极值；若a0，令f(x)0，得x1a.当x(0，1a)时，f(x)0，f(x)是增加的；当x(1a，)时，f(x)0 时，f(x)的递增区间为(0，1a)，递减区间为(1a，)，极大值为ln a1，无极小值 点评 本题通过求导，把问题转化为含参数的不等式问题，需要对问题进行讨论，讨论时需要全面，避免遗漏(3)极值问题的逆向考查 例 3 已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1 处取得极大值 10，则ab的值为()A23 B2 C2 或23 D不存在 解析 由题意知f(x)3x22axb.所以 32ab0，1aba27a10
7、.解得 a2，b1，或 a6，b9.经检验 a6，b9，满足题意，所以ab23.故选 A.答案 A 点评 本题是已知极值求参数，逆向考查了极值的含义，解题关键是需要对所求参数进行讨论，是否满足极值的条件如果不满足，需要舍去 3 分类讨论思想在导数中的应用 分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？1按导数为零的根的大小来分类 例 1 设函数f(x)x(xa)2(xR)，其中aR 且a0，求函数f(x)的极大值和极小值 解 f(x)(3xa)(xa)，令f(x)0，解得xa或xa3.当aa3，即a0，x(，a3)时，f
8、(x)0，x(a，)时，f(x)0，因此，函数f(x)在xa3处取得极小值427a3，在xa处取得极大值 0.当aa3，即a0，x(，a)时，f(x)0，x(a3，)时，f(x)0，此时f(x)0，函数f(x)是减少的；当x(1，)时，h(x)0，函数f(x)是增加的(2)当a0 时，由f(x)0，解得x11，x21a1，当a12，即x1x2时，h(x)0 恒成立，此时f(x)0，f(x)在(0，)上是减少的；当 0a10，x(0,1)时，h(x)0，f(x)0，f(x)是减少的，x(1，1a1)时，h(x)0，f(x)是增加的，x(1a1，)时，h(x)0，f(x)0，f(x)是减少的；当a
9、0 时，1a100，f(x)0，f(x)是减少的，x(1，)时，h(x)0，f(x)是增加的 综上所述：当a0 时，函数f(x)在(0,1)上是减少的，在(1，)上是增加的；当a12时，函数f(x)在(0，)上是减少的；当 0a2 时，方程g(x)0 的根为x1ln aa2420，此时，若x(0，x2)，则g(x)0，故g(x)在区间(0，x2)内为减函数 所以x(0，x2)时，g(x)g(0)0，即f(x)ax，与题设f(x)ax相矛盾 综上所述，满足条件的实数a的取值范围为(，2 点评 本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a进行分类讨论 小结 通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行分类讨论的一般步骤为：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论