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1、2018 年河南省南阳市镇平县中考数学二模试卷 一.选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）下列各数中，比2 小的数是（）A3 B1 C0 D1 2（3 分）每到四月，许多地方杨絮、柳絮如雪花般漫天飞舞，人们不堪其扰，据测定，杨絮纤维的直径约为 0.0000105m，该数值用科学记数法表示为（）A1.05105 B1.05105 C0.105105 D10.5104 3（3 分）甲是某零件的直观图，则它的俯视图为（）A B C D 4（3 分）下列计算正确的是（）Ab3b3=2b3 B（2a）2=4a2 C（a+b）2=a2+b2 D（x+2）（x2）=x22 5（3 分）已知命题”
2、关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+1=0 没有实数根“是假命题，则 k 的取值范围是（）Ak5 Bk5，且 k1 Ck5，且 k1 Dk5 6（3 分）同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是（）A B C D 7（3 分）如图，在ABC 中，BAC=90，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，作直线 MN，交 BC 于点 D，连结 AD，若 AB=AD=3，则 AC 的长为（）A6 B8 C2 D3 8（3 分）已知一组数据为 5，7，x，3，4，6若这组数据的平均数为 5，则这组数据的方差为（）A B C D10 9（3 分
3、）如图，在正方形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，APC 的面积 y 与点 P 运动的路程 x 之间形成的函数关系图象如图所示，则正方形 ABCD 的边长是（）A2 B4 C D2 10（3 分）在平面直角坐标系中，边长为的正方形 OABC 的两顶点 A，C 分别在 y 轴、x 轴的正半轴上，点 O 在原点 现将正方形 OABC 绕 O 点顺时针旋转，AC 与 x 轴相交于点 D，如图，当AOD 为等边三角形时，点 B 的坐标为（）A（，）B（，）C（，）D（，）二.填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）化简（）的结果是 12（3 分）不等
4、式组的解集是 13（3 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y1=ax+b（a，b 为常数，且 a0）与反比例函数 y2=（m 为常数，且 m0）的图象交于点 A（2，1）、B（1，n）当 y1y2时，自变量 x 的取值范围是 14（3 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 2cm，以点 O 为圆心，OA 长为半径的经过点 C，作 CEOD，垂足为点 E，则阴影部分面积为 15（3 分）已知：RtABC 中，B=90，AB=4，BC=3，点 M、N 分别在边 AB、AC 上，将AMN 沿直线 MN 折叠，点 A 落在点 P 处，且点 P 在射线 CB 上，当PNC 为直角三角形时，
5、PN 的长为 三.解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分）16（8 分）若（+）的值为，求 a 的值 17（9 分）某社区随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费，数据整理成如图所示的不完整统计图已知 A、B 两组户数直方图的高度比为 1：5，请结合图中相关数据回答下列问题 月消费额分组统计表 组别 消费额（x 元）A 10 x100 B 100 x200 C 200 x300 D 300 x400 E x 400（1）求 A 组的频数和本次调查样本的容量；（2）补全直方图（需标明各组频数）；（3）若该社区有1500户住户，请估计月信息消费额不少于300元的户数是多少？18（9 分）如图，
6、O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为点 E，过点 C 作O 的切线，交 AB 的延长线于点 P，连结 PD（1）求证：OCPODP；（2）连接 CO 并延长交O 于点 F，如果 CF=10，cosAPC=，求 BE 的长 19（9 分）如图，一楼房 AB 后有一假山，其坡度为 i=1：，山坡坡面上 E 点处有一休息亭，测得假山坡脚 C 与楼房水平距离 CE=20 米，小丽从楼房顶测得 E 点的俯角为 48，测得假山坡脚 C 点的俯角为 60，求楼房 AB 的高（结果保留整数）20（9 分）如图，在直角坐标系 xOy 中，一直线 y=x+b 经过点 A（3，0）与y 轴正半轴交于 B 点，在
7、 x 轴正半轴上有一点 D，且 OA=OD，过 D 点作 DCx 轴交直线 y=x+b 于 C 点，反比例函数 y=（x0）经过点 C（1）求这条直线和反比例函数的解析式；（2）反比例函数图象上是否存在点 P，使四边形 BCPD 为菱形？如果存在，求出P 的点坐标；如果不存在，说明理由 21（10 分）某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，已知 5 件甲种玩具的进价与3 件乙种玩具的进价的和为 231 元，2 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 141 元（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）近期批发商有优惠活动，如图所示，如果超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种，且数
8、量超过 20 件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱 22（10 分）如图 1，在 RtABC 中，BAC=90，AB=AC，D，E 两点分别在 AC，BC 上，且 DEAB，将CDE 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为 （1）问题发现：当=0时，的值为 ；（2）拓展探究：试判断：当 0 360时，的大小有无变化？请仅就图 2 的情况给出证明（3）问题解决：设 CE=13，AC=12，当EDC 旋转至 A，B，E 三点共线时，直接写出线段 BE 的长 23（11 分）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（3，0），点 C（0，3），点 D为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，点
9、 E 在 x 轴上（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）在抛物线 ADC 段上有一点 F，使FAC 的面积最大，求该点坐标；（3）P 为直线 DE 上的动点，若点 P 到直线 AD 的距离与到 x 轴的距离相等，则称 P 为直线 AD 和 x 轴的“等距点”请直接写出直线 AD 和 x 轴的“等距点“的坐标 2018 年河南省南阳市镇平县中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（每小题 3 分，共 30 分）1【分析】根据题意，结合实数大小的比较，从符号和绝对值两个方面分析可得答案【解答】解：比2 小的数是应该是负数，且绝对值大于2 的数；分析选项可得，只有A 符合 故选：A【
10、点评】本题考查实数大小的比较，是基础性的题目 2【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0 的个数所决定【解答】解：0.0000105=1.05105，故选：B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 3【分析】根据俯视图的定义判断可得【解答】解：该几何体的俯视图为：故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图，注意看不到的线用虚线表示，
11、看到的线用实线表示 4【分析】根据整式的乘法、乘方及完全平方公式、平方差公式计算即可得【解答】解：A、b3b3=b6，此选项错误；B、（2a）2=4a2，此选项正确；C、（a+b）2=a2+2ab+b2，此选项错误；D、（x+2）（x2）=x24，此选项错误；故选：B【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握单项式乘法、乘方的运算法则及完全平方公式、平方差公式 5【分析】根据一元二次方程根的判别式计算，判断即可【解答】解：命题”关于 x 的一元二次方程（k1）x2+4x+1=0 没有实数根“是假命题，=424（k1）1=4k+200，解得：k5，且 k1，故选：C【点评】本题考查的是命题
12、和定理，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可 6【分析】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率【解答】解：由题意可得，所有的可能性为：至少有两枚硬币正面向上的概率是：=，故选：D【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，写出所有的可能性 7【分析】如图设 MN 交 AC 于 H只要证明 BD=CD=AB=3，再利用勾股定理即可解决问题；【解答】解：如图设 MN 交 AC 于 H MN 垂直平分线段 C，AH=HC，DHAC，BAC=CHD=90，DHBC，BD=DC=AB=3，AC=3，故选：D【点评】
13、本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，平行线等分线段定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型 8【分析】直接根据题意得出 x 的值，再利用方差公式进而得出答案【解答】解：一组数据为 5，7，x，3，4，6，这组数据的平均数为 5，5+7+x+3+4+6=56，解得：x=5，则这组数据的方差为：S2=（55）2+（75）2+（55）2+（35）2+（45）2+（65）2=（0+4+0+4+1+1）=故选：B【点评】此题主要考查了方差以及算术平方根，正确记忆方差公式是解题关键 9【分析】观察图象，点 P 分别到点 B、D 时APC 的面积最大，等于正方形面积一半【解答
14、】解：观察点 P 运动可知，函数图象中第一个最大值是点 P 到点 B 时形成的 APC 的面积为 AB=2 故选：A【点评】本题是动点问题的函数图象，考查学生对动点位置变化时的函数图象变化趋势的判断解题关键是注意动点到达临界点前后的图象变化 10【分析】过点 A 作 AEx 轴，作 BFAE，垂足分别是 E，F，可证AFBAEO，所以 AF=OE，BF=AE，根据 OA=，根据含有 30的直角三角形性质可求 OE，AE 的长度，即可求 B 点坐标【解答】解：过点 A 作 AEx 轴，作 BFAE，垂足分别是 E，F如图 AOD 为等边三角形 AO=，AOD=60 AEOD OAE=30 OE=
15、OA=，AE=OE=OAE+AOE=90，OAE+EAB=90 AOE=AFB，且AEO=AFB=90，OA=OB AOEAFB AF=OE=，BF=AE=EF=B（，）故选：C【点评】本题考查了全等三角形性质，正方形的性质，含有 30 度的直角三角形的性质，解题的关键是构造全等三角形 二.填空题（每小题 3 分，共 15 分）11【分析】根据相反数的定义作答【解答】解：（）=故答案是：【点评】考查了相反数 求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“”，如 a 的相反数是a，m+n 的相反数是（m+n），这时 m+n 是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号 12【分析】分别解两个不等式
16、得到 x1 和 x3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集【解答】解：，解得 x1，解得 x3，所以不等式组的解集为3x1 故答案为3x1【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 13【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出 n，然后写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可【解答】解：A、B 两点在反比例函数图象上，1（n）=21，解得 n=2，B（1，2），当2x0 或 x1 时，y1y2
17、故答案为2x0 或 x1【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点 14【分析】连接 OC，根据等边三角形的判定得出DOC 是等边三角形，求出DOC=60，OE=1cm，CE=cm，根据扇形和三角形面积公式求出即可【解答】解：连接 OC，菱形 ABCD 的边长为 2cm，以点 O 为圆心，OA 长为半径的经过点 C，DC=OD=OC=2cm，DOC 是等边三角形，COE=60，CEOD，CEO=90，OE=DE=1cm，CE=OCsin60=2=（cm），阴影部分的面积
18、 S=S扇形DOCSCEO=（）cm2 故答案为：（）cm2【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的性质和判定、扇形的面积等知识点，能把不规则图形的面积转化成规则图形的面积是解此题的关键 15【分析】先根据勾股定理得到 AC 的长，再证明NPCABC 列比例式，得方程，解方程即可得结果【解答】解：在 RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，AC=5，设 AN=PN=x，则 CN=5=x 当NPC=90时，如图 1，NPC=B=90，C=C，NPCABC，x=，即 PN=；当PNC=90时，如图 2，PNC=ABC=90，C=C NPCABC，x=，即 PN=；综上，PN 的长为或
19、故答案为：或 【点评】本题考查翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是正确找到点 P 位置，属于中考常考题型 三.解答题（本大题共 8 个小题，共 75 分）16【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据原分式的值得出关于 a 的方程，解之可得【解答】解：（+）=，由题意知=，解得：a=2+【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则 17【分析】（1）由 A、B 两组户数直方图的高度比为 1：5 且 B 组频数为 10 可得 A的频数，再用 B 组频数除以 B 组的频率可得样本容量；（2）用样本容量乘以对应百分比可求得 C、D、E 组频数，
20、据此即可补全条形图；（3）用总户数乘以样本中消费额不少于 300 元的户数所占百分比可得【解答】解：（1）A 组的频数为 10=2，调查的样本容量为（2+10）（18%28%40%）=50；（2）C 组的频数为 5040%=20，D 组频数为 5028%=14，E 组频数为 508%=4，补全图形如下：（3）估计月信息消费额不少于 300 元的户数是 1500=540 户【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体解题的关键是能从条形统计图，扇形统计图准确找出数据 18【分析】（1）连接 OD，在圆中根据半径相等，利用等边对等角得到一对角相等，利用 SAS 即可得证；（2）由
21、PC 为圆的切线，利用切线的性质得到OCP 为直角，利用锐角三角函数定义确定出 BE 的长【解答】（1）证明：连接 OD，在圆 O 中，OD=OC，ABCD，COP=DOP，在OCP 和ODP 中，OCPODP（SAS）；（2）解：PC 为圆 O 的切线，OCP=90，CEOP，OCE=APC，在 RtOCE 中，OF=OC=CF=5，cosOCE=cosAPC=，CE=4，OE=3，BE=OBOE=53=2 【点评】此题考查了切线的性质，全等三角形的判定与性质，垂径定理，以及解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解本题的关键 19【分析】过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EHAB 于点 H
22、，根据 CE=20 米，坡度为 i=1：，分别求出 EF、CF 的长度，在 RtAEH 中求出 AH，继而可得楼房AB 的高【解答】解：过点 E 作 EFBC 的延长线于 F，EHAB 于点 H，在 RtCEF 中，i=tanECF，ECF=30，EF=CE=10 米，CF=10米，设楼房的高度为 x，ACB=60，BC=x，BF=HE=10，AH=x10，在 A 处测得点 E 的俯角是 48，在 RtAEH 中，tan48=，即，解得：x82，答：楼房 AB 约为 82 米 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键 20【分析】（1）利用待
23、定系数法求出 b=4，进而求出点 D 的坐标，即可求出点 C 坐标，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）利用菱形的性质判断出点 P 的坐标，即可得出结论【解答】解：（1）直线 y=x+b 经过 A（3，0），4+b=0，b=4，直线的解析式为 y=x+4，OA=OD=3，D（3，0），把 x=3 代入 y=x+4=8，C（3，8），反比例函数 y=经过点 C，k=38=24，反比例函数解析式为 y=；（2）当四边形 BCPD 是菱形时，C（3，8），D（3，0），CDx 轴，点 P 和点 B 关于 CD 对称，点 P 的坐标为（6，4），46=24=k，点 P 在反比例函数图象上，反比
24、例函数图象上存在点 P，使四边形 BCPD 为菱形，此时点 P（6，4）【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，对称的性质，求出点 P 的坐标是解本题的关键 21【分析】（1）设每件甲种玩具的进价是 x 元，每件乙种玩具的进价是 y 元，分别利用 5 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 231 元，2 件甲种玩具的进价与 3 件乙种玩具的进价的和为 141 元，得出等式求出答案；（2）分别利用当 27m=21m+180，当 27m21m+180，当 27m21m+180，求出答案即可【解答】解：（1）设每件甲种玩具的进价是 x 元，每件乙种玩具的进价是 y
25、 元，由题意得，解得：，答：件甲种玩具的进价是 30 元，每件乙种玩具的进价是 27 元；（2）设当 m20 时，购进 m（m0）件甲种玩具需要：3020+（m20）21=21m+180 乙种玩具需要 27m 元 当 27m=21m+180，则 x=30，所以当购进玩具正好 30 件，选择购其中一种即可；当 27m21m+180，则 m30，所以当购进玩具超过 30 件，选择购甲种玩具省钱；当 27m21m+180，则 m30，所以当购进玩具少于 30 件，选择购乙种玩具省钱【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确分类讨论是解题关键 22【分析】（1）先判断出，
26、再求出，即可得出结论；（2）先判断出 DE=CD，BC=AC，进而得出=，进而判断出ACDBCE，即可得出结论；（3）分两种情况，当点 E 落在线段 AB 上时，利用勾股定理求出 AE=5，即可得出结论；当点 E 落在线段 AB 上时，求出 AE=5，即可得出结论【解答】解：（1）当=0时，DEAB，在 RtABC 中，AB=AC，C=45，cosC=cos45=，故答案为：；（2）当 0 360时，的大小无变化，理由：DEAB，CDE=CAB=90，C=45，CD=DE，DE=CD，AB=AC，BC=AC，=，由旋转知，ACD=BCE，ACDBCE，=；（3）当点 E 落在线段 AB 上时，
27、如图 1，AC=12，AB=AC=12，在 RtACE 中，AC=12，CE=13，根据勾股定理得，AE=5，BE=ABAE=7，当点 E 落在线段 AB 上时，如图 2，AC=12，AB=AC=12，在 RtACE 中，AC=12，CE=13，根据勾股定理得，AE=5，BE=AB+AE=17，当EDC 旋转至 A，B，E 三点共线时，线段 BE 的长为 7 或 17 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，正确画出图形是解本题的关键 23【分析】（1）把 A 点和 C 点坐标代入 y=x2+bx+c 得到关于 b、c 的方程
28、组，然后解方程组求出 b、c 即可得到抛物线解析式，再把解析式配成顶点式可得 D点坐标；（2）如图 2，作 FQy 轴交 AC 于 Q，先利用待定系数法求出直线 AC 的解析式为 y=x+3，设 F（x，x22x+3），则 Q（x，x+3），则可表示出 FQ=x23x，根据三角形面积公式得到 SFAC=x2x，然后利用二次函数的性质求解；（3）先利用勾股定理计算出 AD=2，设 P（1，t），则 PE=PH=|t|，DP=4t，再证明 RtDHPRtDEA，利用相似比得到，即，最后分两种情况求解即可得出结论【解答】解：（1）把 A（3，0），C（0，3）代入 y=x2+bx+c 得，解得 抛物
29、线的解析式为 y=x22x+3=（x+1）2+4，D（1，4）；（2）如图 1，作 FQy 轴交 AC 于 Q，设直线 AC 的解析式为 y=mx+n，把 A（3，0），C（0，3）代入得，解得，直线 AC 的解析式为 y=x+3，设 F（x，x22x+3），则 Q（x，x+3），FQ=x22x+3（x+3）=x23x，SFAC=3FQ=（x23x）=x2x=（x+）2+，当 x=时，FAC 的面积最大，此时 F 点坐标为（，）；（3）如图 2，D（1，4），A（3，0），E（1，0），AD=2，设 P（1，t），则 PE=PH=|t|，DP=4t，HDP=EDA，RtDHPRtDEA，当 t0 时，解得 t=1；当 t0 时，解得 t=1，综上所述，满足条件的 P 点坐标为（1，1）或（1，1）【点评】本题是二次函数综合题：主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质相似三角形的判定和性质，会利用待定系数法求函数解析式，判断出 RtDHPRtDEA 是解本题的关键