《概率论与数理统计习题解答(第8章)23549.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计习题解答(第8章)23549.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第八章 假 设 检 验三、解答题 1.某种零件的长度服从正态分布，方差2=1.21，随机抽取 6 件，记录其长度（毫米）分别为 32.46，31.54，30.10，29.76，31.67，31.23 在显著性水平=0.01 下，能否认为这批零件的平均长度为 32.50 毫米？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设该种零件的长度),(2NX，则需要检验的是：00:H 01:H 由于2已知，选取nXZ0为检验统计量，在显著水平=0.01 下，0H的拒绝域为：|005.02ZzZz 查表得2.575829005.0Z，现由 n=6,31.1266711niixnx,1.1,50.320 计算得：
2、3.0581561.132.5-31.126670nXz 005.0Zz 可知，z 落入拒绝域中，故在 0.01 的显著水平下应拒绝0H，不能认为这批零件的平均长度为 32.50 毫米。EXCEL 实验结果：2.正常人的脉搏平均每分钟 72 次，某医生测得 10 例“四乙基铅中毒”患者的脉搏数如下：54，67，68，78，70，66，67，65，69，70 已知人的脉搏次数服从正态分布，问在显著水平=0.05 下，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有无显著差异？解：这是单个正态总体均值比较的问题，若设“四乙基铅中毒”患者的脉搏数),(2NX，则需要检验的是：00:H 01:H 由于方差未
3、知，选取nsXT0为检验统计量，在显著水平=0.05 下，0H的拒绝域为：)9(|)1(|2/05.02ttntt 查表得2.26215716)9(025.0t，现由 n=10,67.411niixnx,35.155555611122niixxns，计算得 2.45335761035.1555556724.670nsXt)9(025.0tt 可知，t 落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应拒绝0H，“四乙基铅中毒”患者的脉搏和正常人的脉搏有显著差异。3.从某种试验物中取出 24 个样品，测量其发热量，算得平均值11958x，样本均方差316s设发热量服从正态分布，在显著性水平=0.05
4、下，是否可认为该试验物发热量的平均值不大于 12100？解：这是单个正态总体均值比较的问题，该试验物发热量),(2NX，则需要检验的是：00:H 01:H 此为右边检验，由于方差未知，应选用 t 统计量检验，在显著水平=0.05 下，H0 的拒绝域为 )1(0nnsxtt=)124(05.0tt 由表得714.1)23(05.0t，现有 n=24，11958x，316s，121000计算得到 -2.201440nsxt-1.7531 可知，t 未落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下不能拒绝 H0，可以认为元件的平均寿命显著不小于 225 小时。5.设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随
5、机的抽取 36 位考生的成绩，算得平均 成绩为 66.5，标准差为 15 分 (1)问在显著水平=0.05 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分？(2)在显著水平=0.05 下，是否可以认为这次考试考生的成绩的方差为 162？解:(1):按题意需检验 H0：70 H1：70 此为双边检验，由于方差未知，应选用 t 检验，在显著水平为=0.05 下，H0 的拒绝域为 )1(20nnsxtt=)136(025.0tt=0301.2t 现有 n=36，5.66x，s=15，700计算得到 4.10nsxt2.0301 可知，t 为落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应接受 H
6、0，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70 分。（2）按题意需检验 H0：2216 H1：2216 取检验统计量2022)1(sn，在显著水平为=0.05 下，H0 的拒绝域为)1()1(2222212nn 即)35()35(2025.022975.02 计算得 569.20)35(2975.0，203.53)35(2025.0 由 n=36，5.66x，s=15，22016，而2022)1(sn=1616151535=30.76172，由于20.56930.7617240.64647 落入了H0的拒绝域，应该拒绝 H0，即认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化。7.对 7 岁儿童
7、作身高调查结果如下所示，设身高服从正态分布，能否说明性别对 7 岁儿童的身高有显著影响（显著性水平=0.05）？（提示：先做方差齐性检验，再做均值检验.）性别 人数(n)平均身高(x)标准(S)男 384 118.64 4.53 女 377 117.86 4.86 解：设男孩的身高服从),(2111NX，女孩身高服从),(2222NX。根据题意需对量总体的均值进行比较，由于两总体方差未知，需要首先进行方差的齐性检验，即检验21和22是否有显著差异，然后再检验1和2是否有显著差异。（1）检验假设 H0：2221 H1：2221 由于1，2未知，选取统计量 F=ss2221，在显著水平=0.05
8、下，拒绝域为：)11()11(2122121nnFnnFFF，即)376383(F)76,3383(F025.0975.0，FF 计算得 817555.0)376383(975.0，F，223391.1)76,3383(025.0F 拒绝域为223391.1817555.0FF。由观测数据得到 n1=384，n2=377，64.1181x，86.1172x，s1=4.53，s2=4.86，F=868808.086.486.453.453.42221ss未落入拒绝域，不能拒绝 H0 ，在 0.05 的显著水平下，可以认为性别对儿童身高的方差无显著差异。（2）根据（1）的结论，可以在2221的条件
9、下检验假设 H0：21 H1：21 选 t=nnSxx212111为检验统计量，在显著水平=0.05 下，H0的拒绝域为：)759()2(025.0212tnnttt计算得963094.1)759(025.0t。计算s再求出 t 得 37713841237738486.486.4)1377(35.435.4)1384(86.11764.118112)1()1(212122221121nnnnsnsnxxt=2.290739963094.1 t 可知，t 落入 H0的拒绝域中，故在 0.05 显著水平下应拒绝 H0，认为性别对儿童身高有显著差异。8.某自动车床生产的产品尺寸服从正态分布，按规定产
10、品尺寸的方差2不得超过 0.1，为检验该自动车床的工作精度，随机的取 25 件产品，测得样本方差 S2=0.1975，86.3x 问该车床生产的产品是否达到所要求的精度（显著性水平=0.05）?解：按题意需检验 H0：1.02 H1：1.02 取统计量2022)1(sn，在显著性水平=0.05 下，H0的拒绝域为：)125()1(205.0222n计算得41503.36)24(205.0 由观测数据 n=25，2s=0.1975，86.3x，1.020，得4.471.0)125()1(22022ssn36.41503 落入 H0的拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应拒绝 H0，认为床生产的
11、产品没有达到所要求的精度。9.一台机床大修前曾加工一批零件，共1n=10 件，加工尺寸的样本方差为)(25221mms.大修后加工一批零件，共122n件，加工尺寸的样本方差为)(4222mms.设加工尺寸服从正态分布，问此机床大修后，精度有无明显提高（显著性水平=0.05）？解：按题意需检验 H0：2221 H1：2221 取检验统计量SSF2221，在显著性水平=0.05 下，H0 的拒绝域为：)119()11(95.0211，FnnFFF计算得 2735.2)119(95.0，F。由观测数据 n1=10，n2=12，2521S，422S，则25.64252221SSF-2.2735 未落在
12、 H0的拒绝域中，故在 0.05 显著水平下，应接受 H0，可认为此机床大修后，精度有明显提高。10.由 10 名学生组成一个随机样本，让他们分别采用 A 和 B 两套数学试卷进行测试，成绩如下表:试卷 A 78 63 72 89 91 49 68 76 85 55 试卷 B 71 44 61 84 74 51 55 60 77 39 假设学生成绩服从正态分布，试检验两套数学试卷是否有显著差异（显著性水平=0.05）解：本题中的每一行数据虽然是同一张试卷的成绩，但 10 个数据的差异是由 10 个不同学生造成的，因此表中的每一行都不能看成是一个样本的观察值，再者，对每一对数据而言，他们是同一个
13、学生做不同试卷的成绩，因此它们不是两个独立随机变量的观察结果，因此,我们不能用两独立样本均值的 t 检验法作检验。而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两套试卷本身的差异所引起的。所以，构造 新 的 随 机 变 量,YXZ有),(2NZ其 中,2221221则niYXZiii,.,2,1,为Z的简单随机样本，可以看成是来自一个总体的样本观察值。如果两种方法测量结果无显著差异，则各对数据的差异nZZZ.,21属于随机误差，随机误差可以认为服从标准正态分布，且其均值为零。故问题可以转化为检验假设 0:,0:10HH 设nZZZ.,21的样本均值为,z样本方差为2s，采用单个正态分布均值的 t 检
14、验，拒绝域为：,2622.2)9()9(/0 025.02/ttnszt 由667.42,11,102szn 可得 2622.2325.5t，所以拒绝0H，在显著性水平=0.05 下，可以认为两套数学试卷有显著差异。错误解法：设试卷 A 的成绩服从),(211NX，试卷 B 的成绩服从),(222NX，根据题意，需要进行两总体的均值比较，但由于两总体方差未知，需要首先进行方差齐性检验，即21和22是否有显著差异，然后再检验21和是否有显著差异。（1）检验假设 H0:2221 H1:2221 由于21和未知，选取统计量SSyxF22，在显著性水平=0.05 下，拒绝域为：)11()11(2122
15、121nnFnnFFF，即)99(F)9,9(F025.0975.0，FF 计算得 248386.0)99(975.0，F，025994.4)99(025.0，F。拒绝域为025994.4248386.0FF。由观测数据得到 n1=10，n2=10，6.72x，6.61y，0444.1982Sx，8222.2172Sy，909202.08222.2170444.19822SSyxF，由 于0.2483860.9092024.025994 则 F 未落入 H0的拒绝域中，不能拒绝 H0，在 0.05 的显著水平下，可以认为两试卷成绩的方差无显著差异。（2）根据（1）的结论，可以在2221的条件下
16、检验假设 H0：21 H1：21 选统计量nnSyxt2111为检验统计量，在显著性水平=0.05 下，H0 的拒绝域为：)18()2(025.0212tnnttt，计算得 100922.2)18(025.0t 计算得 705751.1112)1()1()(21212221nnnnSnSnyxyxt2.100922 可知，t 为未落入 H0的拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应接受 H0，认为两套试卷的成绩无显著差异。四、应用题 1.某部门对当前市场的价格情况进行调查以鸡蛋为例，所抽查的全省 20 个集市上，售价分别为（单位：元/500 克）3.05 3.31 3.34 3.82 3.30
17、 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30 已知往年的平均售价一直稳定在 3.25 元/500 克左右，假设鸡蛋的销售价格服从正态分布，能否认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年（显著水平=0.05）？解法一：设鸡蛋的平均售价为，若设鸡蛋的销售价),(2NX，按题意需检验 25.3:0H 25.3:0H 这是右边检验问题,由于方差未知，应选用 t 检验，在显著水平=0.05 下，拒绝域为：729.1)19()1(/05.00tttntnsxtn 由样本观测值计算得到,40.311niixnx
18、 0724.0)(11122niixxnsn 729.1476.22026901.025.340.3/0nsxtn 由于476.2t落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应拒绝0H，可以认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年。解法二：这是单个正态总体均值比较的问题，若设鸡蛋的销售价),(2NX，则需要检验的是：00:H 01:H 这是左边检验问题，由于方差未知，选取nsXT0为检验统计量，在显著水平=0.05下，拒绝域为：)19()1(05.0ttntt 查表得-1.72913)19(05.0t，现由 n=20,3.39911niixnx,0.07240911122niixxns，计算得 2.
19、476302200.07240925.33.3990nsXt)19(05.0tt 可知，t 未落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下不能拒绝0H，可以认为全省当前的鸡蛋售价明显高于往年。注意：本题方法二没有方法一好，想一想为什么？2.有若干人参加一个减肥锻炼，在一年后测量了他们的身体脂肪含量，结果如下表所示：男生组：13.3 19 20 8 18 22 20 31 21 12 16 12 24 女生组：22 26 16 12 21.7 23.2 21 28 30 23 假设身体脂肪含量服从正态分布，试比较男生和女生的身体脂肪含量有无显著差异（显著水平=0.05）解：依题意，男女生的脂肪含量
20、是分别来自正态总体),(211N和),(222N，222121,均未知，故首先要验证方差齐性，对两组数据做假设检验 .:,:2221122210HH 拒绝域为：87.3)9,12(025.02121FSSF 或2907.0)9,12(025.012221FSSF 由样本观测值计算得 ,10,1321nn299.28,390.362221SS 29.1299.28390.362221SSF 87.329.12907.0 F 故不能拒绝0H，可以认为两总体方差相等。接下来进行两独立正态总体的均值比较：若设男生脂肪含量),(21NX，女生脂肪含量),(22NX，则需要检验的是：210:H 211:H
21、 选2111nnSYXTw为检验统计量，在显著水平=0.05 下，H0 的拒绝域为：)21(|)2(|025.0212ttnntt 查表得07961.2)21(025.0t，现由 n1=13，n2=10，18.17691111niixnx，22.291212niiyny，36.390311112121niixxns，28.298811212222niiyyns，5.737812101328.2988)110(36.3903)113(2)1()1(21222211nnsnsnsw 计算得到 2.079611.704231011315.7378129.221769.181121nnsyxtw 可知
22、，t未落入拒绝域中，故在 0.05 的显著水平下应接受 H0，可以认为男生和女生的身体脂肪含量无显著差异。3.装配一个部件时可以采用不同的方法，所关心的问题是哪一个方法的效率更高劳动效率可以用平均装配时间反映现从不同的装配方法中各抽取 12 件产品，记录下各自的装配时间（单位：分钟）如下表所示：甲法：31 34 29 32 35 38 34 30 29 32 31 26 乙法：26 24 28 29 30 29 32 26 31 29 32 28 假设装配时间服从正态分布，问两种方法的装配时间有无显著不同（显著水平=0.05）？解：这是两独立正态总体的均值比较问题，设甲法的装配时间),(21N
23、X，乙法的装配时间),(22NX，由于222121,均未知，故首先要验证方差齐性，需要检验假设 .:,:2221122210HH 拒绝域为：58.3)11,11(025.02121FSSF或2793.0)11,11(025.012221FSSF 由样本观测值计算得：,1221 nn 061.6,205.102221SS 68.1061.6205.102221SSF 58.368.12793.0 F 故不能拒绝0H，可以认为这两种方法的装配时间的方差相等。第二步，进行均值检验，需检验假设211210:,:HH 取检验统计量,1121nnSYXtw 其中.2)1()1(212222112nnSnS
24、nSw 拒绝域为：0739.2)22()2(11)(|025.0212/21tnntnnsyxtw 现由 n1=12，n2=12，31.751111niixnx，28.66671212niiyny 10.204511112121niixxns，6.0606111212222niiyyns，85177.2212126.06061)112(10.2045)112(2)1()1(21222211nnsnsnsw 计算得到 2.073872.648391211212.8517728.6667-31.751121nnsyxtw 落入拒绝域，故在 0.05 的显著水平下，可以认为这两种方法的装配时间有显著
25、不同。4.为了考察两种测量萘含量的液体层析方法：标准方法和高压方法的测量结果有无显 著差异，取了 10 份试样，每份分为两半，一半用标准方法测量，一半用高压方法测量，每个试样的两个结果（单位：mg）如下表，假设萘含量服从正态分布，试检验这两种化验方法有无显著差异（显著水平=0.05）标准 14.7 14.0 12.9 16.2 10.2 12.4 12.0 14.8 11.8 9.7 高压 12.1 10.9 13.1 14.5 9.6 11.2 9.8 13.7 12.0 9.1 解：本题中的每一行数据虽然是同一方法测量的结果，但 10 个数据的差异是由 10 个不同试样引起的，因此表中的每
26、一行都不能看成是一个样本的观察值，再者，对每一对数据而言，他们是同一试样用不同方法测得的结果，因此它们不是两个独立随机变量的观察结果，因此,我们不能用两独立样本均值的 t 检验法作检验。而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两中方法本身的差异所引起的。所以，构造 新 的 随 机 变 量,YXZ有),(2NZ其 中,2221221则niYXZiii,.,2,1,为Z的简单随机样本，可以看成是来自一个总体的样本观察值。如果两种方法测量结果无显著差异，则各对数据的差异nZZZ.,21属于随机误差，随机误差可以认为服从标准正态分布，且其均值为零。故问题可以转化为检验假设 0:,0:10HH 设nZZZ.,21的样本均值为,z样本方差为2s，采用单个正态分布均值的 t 检验，拒绝域为：,2622.2)9()9(/0 025.02/ttnszt 由269.1,27.1,102szn 可得 2622.2565.3t，所以拒绝0H，在显著性水平=0.05 下，可以认为两种测试方法有显著差异。