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1、 专题 5.1 平面向量的概念及线性运算 1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.知识点一 向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量 零向量 长度为 0 的向量 记作 0，其方向是任意的 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为a|a|平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)0 与任一
2、向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0 的相反向量为 0 知识点二 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则(1)交换律：abba；(2)结合律：(ab)ca(bc)减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做 a 与 b的差 三角形法则 aba(b)数乘 求实数与向量|a|a|，当 0 时，a 的方(a)()a；()aa a 的积的运算 向与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a0 a；(ab)ab 知
3、识点三 共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使得 ba.,向量概念的 4 点注意(1)注意 0 与 0 的区别，0 是一个实数，0 是一个向量，且|0|0.(2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性 比如：命题“若 ab，bc，则 ac”是假命题，因为当 b 为零向量时，a，c 可为任意向量，两者不一定平行(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上【特别提醒】向量线性运算的 3 点提醒(1)两个向量的和仍然是一个向量(2)利用三角形法则时，两向量要
4、首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点(3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用【拓展提升】共线向量定理的深解读 定理中限定了 a0，这是因为如果 a0，则 a0，(1)当 b0 时，定理中的 不存在；(2)当 b0 时，定理中的 不唯一 因此限定 a0 的目的是保证实数 的存在性和唯一性 知识点四 必备结论 1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A1A2A2A3A3A4An1AnA1An.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量 2.在ABC 中，AD，BE，CF 分别为三角形三边上的中线，它们
5、交于点 G(如图所示)，易知 G 为ABC的重心，则有如下结论：(1)GA GB GC0；(2)AG13(AB AC)；(3)GD12(GB GC)16(AB AC)3若 OA OB OC(，为常数)，则 A，B，C 三点共线的充要条件是 1.4对于任意两个向量 a，b，都有：|a|b|ab|a|b|；|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)当 a，b 不共线时：的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系 考点一 平面向量的有关概念【典例 1】（河北衡水二中 2019 届高三调研）给出下列四个命
6、题：若|a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则“ABDC”是“四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中正确命题的序号是()A.B.C.D.【答案】A【解析】不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.正确.ABDC，|AB|DC|且ABDC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则|AB|DC|，ABDC且AB，DC方向相同，因此ABDC.正确.ab，a，b 的长度相等且方向相同，又 bc，b，c 的长度相等且方向相同，a，c的
7、长度相等且方向相同，故 ac.不正确.当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件.综上所述，正确命题的序号是.【归纳总结】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度(5)零向量的关键是长度是 0，规定零向量与任意向量共线【变式 1】（山东泰安一中 2019 届高三模拟）给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 ab，则
8、 a 与 b 共线 其中错误的命题的个数为()A0 B.1 C2 D3【答案】D 【解析】错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点错误，当 a0 时，不论 为何值，a0.错误，当 0 时，ab0，此时，a 与 b 可以是任意向量故错误的命题有 3 个，故选 D.考点二 向量的线性运算【典例 2】(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 EB()A.34AB14AC B.14AB34AC C.34AB14AC D14AB34AC【答案】A【解析】作出示意图如图所示EB ED DB12AD12CB1212(AB AC)12(AB AC)34AB14AC
9、.【方法技巧】向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则 【变式 2】（山西平遥中学 2019 届期末）在ABC 中，ABc，ACb，若点 D 满足 BD2 DC，则 AD等于()A.23b13c B.53c23b C.23b13c D13b23c【答案】A 【解析】BD2 DC，AD AB BD2 DC2(AC AD)，3 AD2 AC AB，AD23AC13AB23b13c.考点三 根据向量线性运算求参数【典例 3】（湖南长郡中学 2019 届期中）在ABC 中，AB2，BC3，ABC60
10、，AD 为 BC 边上的高，O 为 AD 的中点，若 AO AB BC，其中，R，则 等于()A1 B.12 C.13 D23【答案】D【解析】由题意易得 AD AB BD AB13BC，则 2 AO AB13BC，即 AO12AB16BC.故 121623.【方法技巧】解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.【变式 3】（四川省百校 2019 届高三模拟冲刺）已知向量，若，则实数（）A2 B-2 C D【答案】D【解析】向量（2，1），（1，），则（4，1+2），（3，2），又（）（），所以 4（2）3（1+2）0，解得 故选 D。考点四 线向
11、量定理的应用【典例 4】(2019河南郑州第一次质量预测)已知 A，B，C 是直线 l 上不同的三个点，点 O 不在直线 l 上，则使等式 x2OAxOBBC0 成立的实数 x 的取值集合为()A.0 B.C.1 D.0，1 【答案】C【解析】方法一 若要 x2OAxOBBC0 成立，BC必须与 x2OAxOB共线，由于OAOBBA与BC共线，所以OA和OB的系数必须互为相反数，则 x2x，解得 x0 或 x1，而当 x0 时，BC0，此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去.故 x1.方法二 BCOCOB，x2OAxOBOCOB0，即OCx2OA(x1)OB，A，B，C 三点共线，x2(x1)
12、1，即 x2x0，解得 x0 或 x1.当 x0 时，x2OAxOBBC0，此时 B，C 两点重合，不合题意，舍去.故 x1.【方法技巧】利用共线向量定理解题的方法(1)abab(b0)是判断两个向量共线的主要依据注意待定系数法和方程思想的运用(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线即 A，B，C 三点共线 AB，AC共线(3)若 a 与 b 不共线且 ab，则 0.(4)OA OB OC(，为实数)，若 A，B，C 三点共线，则 1.【变式 4】(2019安徽合肥市第二次质量检测)设两个非零向量 a 与 b 不共线，若 a 与 b 的起点相同，且a，tb，13(ab)的终点在同一条直线上，则实数 t 的值为_【答案】12【解析】a，tb，13(ab)三个向量的终点在同一条直线上，且 a 与 b 的起点相同，atb 与 a13(ab)共线，即 atb 与23a13b 共线，存在实数，使 atb 23a13b，123，t13，解得 32，t12.