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1、 专题 2.2 函数的单调性与最值 1.（2019江苏南通一中期中）下列函数中，在区间(0，)内单调递减的是()Ay1xx Byx2x Cyln xx Dyexx【答案】A【解析】对于 A，y11x在(0，)内是减函数，y2x 在(0，)内是增函数，则 y1xx 在(0，)内是减函数；B，C 选项中的函数在(0，)上均不单调；选项 D 中，yex1，而当 x(0，)时，y0，所以函数 yexx 在(0，)上是增函数 2（2019安徽黄山一中月考）函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)【答案】D【解析】由 x22x80，得 x4 或 x2.因
2、此，函数 f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)，注意到函数 yx22x8 在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)3（2019山东济宁一中期末）已知函数 f(x)loga(x22x3)(a0 且 a1)，若 f(0)0，可得3x1，故函数的定义域为x|3x1根据f(0)loga30，可得 0a0；对定义域内的任意 x，都有 f(x)f(x)，则符合上述条件的函数是()Af(x)x2|x|1 Bf(x)1xx Cf(x)ln|x1|Df(x)cos x【答案】A【解析】依题意知，f(x)是偶函数，且 f(x)在(0，)上是增函
3、数，显然，B 中 f(x)是奇函数，C 中是非奇非偶函数，D 中，f(x)cos x 在(0，)上不单调，只有 A 满足 12（2019山西太原五中模拟）设 f(x)（xa）2，x0，x1xa，x0.若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a 的取值范围为()A1，2 B1，0 C1，2 D0，2【答案】D【解析】因为当 x0 时，f(x)(xa)2，f(0)是 f(x)的最小值，所以 a0.当 x0 时，f(x)x1xa2a，当且仅当 x1 时取“”要满足 f(0)是 f(x)的最小值，需 2af(0)a2，即 a2a20，解得1a2，所以 a 的取值范围是 0a2.故选 D.13（2019江
4、苏金陵中学模拟）如果函数 yf(x)在区间 I 上是增函数，且函数 yf（x）x在区间 I 上是减函数，那么称函数 yf(x)是区间 I 上的“缓增函数”，区间 I 叫做“缓增区间”若函数 f(x)12x2x32是区间 I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为()A1，)B0，3 C0，1 D1，3【答案】D【解析】因为函数 f(x)12x2x32的对称轴为 x1，所以函数 yf(x)在区间1，)上是增函数，又当 x1 时，f（x）x12x132x，令 g(x)12x132x(x1)，则 g(x)1232x2x232x2，由 g(x)0 得 1x 3，即函数f（x）x12x132x在区间1，
5、3上单调递减，故“缓增区间”I 为1，3 14（2019湖北 黄冈中学模拟）已知函数 f(x)a22x1.(1)求 f(0)；(2)探究 f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若 f(x)为奇函数，求满足 f(ax)f(2)的 x 的范围【解析】(1)f(0)a2201a1.(2)因为 f(x)的定义域为 R，所以任取 x1，x2R 且 x1x2，则 f(x1)f(x2)a22x11a22x21 2（2x12x2）（12x1）（12x2），因为 y2x在 R 上单调递增且 x1x2，所以 02x12x2，所以 2x12x20，2x110，2x210.所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1
6、)f(x2)所以 f(x)在 R 上单调递增(3)因为 f(x)是奇函数，所以 f(x)f(x)，即 a22x1a22x1，解得 a1(或用 f(0)0 去解)所以 f(ax)f(2)即为 f(x)f(2)，又因为 f(x)在 R 上单调递增，所以 x2.所以不等式的解集为(，2)15（2019四川树德中学模拟）已知函数 f(x)lg(xax2)，其中 a 是大于 0 的常数(1)当 a(1，4)时，求函数 f(x)在2，)上的最小值；(2)若对任意 x2，)恒有 f(x)0，试确定 a 的取值范围【解析】(1)设 g(x)xax2，当 a(1，4)，x2，)时，g(x)1ax2x2ax20.
7、因此 g(x)在2，)上是增函数，所以 f(x)在2，)上是增函数则 f(x)minf(2)ln a2.(2)对任意 x2，)，恒有 f(x)0.即 xax21 对 x2，)恒成立 所以 a3xx2.令 h(x)3xx2，x2，)由于 h(x)x32294在2，)上是减函数，所以 h(x)maxh(2)2.故 a2 时，恒有 f(x)0.因此实数 a 的取值范围为(2，)1(2017全国卷)函数 f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2)B(，1)C(1，)D(4，)【答案】D 【解析】由 x22x80，得 x4 或 x2.因此，函数 f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数 yx22x8 在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)2(2017全国卷)已知函数 f(x)在(，)单调递减，且为奇函数若 f(1)1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是()A2，2 B1，1 C0，4 D1，3【答案】D【解析】因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)因为 f(1)1，所以 f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得 f(1)f(x2)f(1)又 f(x)在(，)单调递减，所以1x21，所以 1x3.