《专题05函数的单调性与最值(教学案)(解析版)43999.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题05函数的单调性与最值(教学案)(解析版)43999.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师整理，助你成功 1.利用函数的单调性求单调区间，比较大小，解不等式；2.利用函数单调性求最值和参数的取值范围；3.与导数交汇命题，以解答题形式考查 1函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 设函数 yf(x)的定义域为 A，区间 MA，如果取区间M 中任意两个值 x1，x2，改变量 xx2x10，则当 yf(x2)f(x1)0 时，就称函数yf(x)在区间M上是增函数 yf(x2)f(x1)0 时，就称函数 yf(x)在区间 M 上是减函数 图象 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2.单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间 M 上是增函数或是减函数就说这个函数在这个区间 M
2、 上具有单调性，区间 M称为单调区间【特别提醒】1函数的单调性是局部性质 函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调 2函数的单调区间的求法 函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于名师整理，助你成功 基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间 3单调区间的表示 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表
3、示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结 高频考点一 确定函数的单调性(区间)例 1、求下列函数的单调区间：(1)yx22|x|1；(2)ylog12(x23x2)【解析】(1)由于y x22x1，x0，x22x1，x0，即y x122，x0，x122，x0，则x2.名师整理，助你成功 函数ylog12(x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2 的对称轴x32，且开口向上，ux23x2 在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数 而ylog12 u在(0，)上是单调减函数，ylog12(x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，
4、1)【变式探究】(1)函数f(x)log12(x24)的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(2，)D(，2)(2)试讨论函数f(x)axx1(a0)在(1，1)上的单调性(1)【解析】由x240，得x2 或x0)tx24 在(，2)上是减函数，且ylog12t在(0，)上是减函数，函数f(x)在(，2)上是增函数，即f(x)单调递增区间为(，2)【答案】D(2)【解析】法一 设1x1x21，f(x)ax11x1a11x1，f(x1)f(x2)a11x11a11x21 a（x2x1）（x11）（x21），由于1x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2
5、)，函数f(x)在(1，1)上递减；当a0 时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0 时，f(x)0，函数f(x)在(1，1)上递减；当a0，函数f(x)在(1，1)上递增.【方法规律】(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间(2)函数单调性的判断方法有：定义法；图象法；利用已知函数的单调性；导数法(3)函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则【变式探究】判断函数f(x)xax(a0)在(0，)上的单调性，并给出证明【解析】f(x)在(0，a上是减函数，在a，)上是增函数 证明如下：法一 设x1，x2是任意两
6、个正数，且 0 x1x2，则f(x1)f(x2)x1ax1x2ax2x1x2x1x2(x1x2a)当 0 x1x2a时，0 x1x2a，又x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，a上是减函数 当ax1a，又x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)0)在(0，a上是减函数，在a，)上为增函数 法二 f(x)1ax2，令f(x)0，则 1ax20，解得xa或xa(舍)令f(x)0，则 1ax20，解得ax0，0 x0，f(x)在1,2上为增函数，又f(1)5，f(2)7.f(x)3x2x，x1,2的值域为5,7 【变式探究】(1)已知函数f(x)log13x，x1，
7、x22x，x1，则f(f(3)_，函数f(x)的最大值是_(2)已知函数f(x)x22xax，x1，)且a1.当a12时，求函数f(x)的最小值；若对任意x1，)，f(x)0 恒成立，试求实数a的取值范围(1)【解析】由于f(x)log13x，x1，x22x，x1.所以f(3)log1331，则f(f(3)f(1)3，当x1 时，f(x)log13x是减函数，得f(x)0 恒成立 则x22xa0 对x1，)上恒成立 即a(x22x)在x1，)上恒成立 令g(x)(x22x)(x1)21，x1，)，g(x)在1，)上是减函数，g(x)maxg(1)3.又a1，当30 在x1，)上恒成立 故实数a
8、的取值范围是(3，1【方法规律】(1)求函数最值的常用方法：单调性法；均值不等式法；配方法；图象法；导数法(2)利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解若函数f(x)在闭区间a，b上是增函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(b)，最小值为f(a)若函数f(x)在闭区间a，b上是减函数，则f(x)在a，b上的最大值为f(a)，最小值为f(b)【变式探究】如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1x)f(x)，且当x12时，f(x)log2(3x1)，那么函数f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为()A2 B3 C4 D1【解析】根据f(1x)f(x)，可知函数f(x)的图象关
9、于直线x12对称 又函数f(x)在12，上单调递增，故f(x)在，12上单调递减，名师整理，助你成功 则函数f(x)在2，0上的最大值与最小值之和为 f(2)f(0)f(12)f(10)f(3)f(1)log28log224.【答案】C 高频考点三 函数单调性的应用 命题角度 1 利用函数的单调性比较大小 例 1、已知函数f(x)的图象关于直线x1 对称，当x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab Bcba Cacb Dbac【答案】D【解析】f(x)的图象关于x1 对称，f12f52，又 由 已 知 可 得f(x)在(1，)上 单 调 递 减，f(2)f52f(e)，即f(2)f
10、12f(e)选 D.命题角度 2 利用函数的单调性解不等式 例 2、f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2 时，x的取值范围是()A(8，)B(8,9 C8,9 D(0,8)【答案】B【解析】211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有 x0，x80，xx89.解得 80，00，cos x，x0，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数 Bf(x)是增函数 Cf(x)是周期函数 Df(x)的值域为1，)【答案】D【解析】由函数 f(x)的解析式
11、知，f(1)2，f(1)cos(1)cos 1，f(1)f(1)，则 f(x)不是偶函数；当 x0 时，令 f(x)x21，则 f(x)在区间(0，)上是增函数，且函数值 f(x)1；当 x0 时，f(x)cos x，则 f(x)在区间(，0上不是单调函数，且函数值 f(x)1，1；函数 f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为1，)（2014四川卷）设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x2，aR)有最大值，则 f(x)B.其中的真命题有_(写出所有真命题的序号)【答案】【解析】若 f(x)A，则 f(x)的值域为 R，于
12、是，对任意的 bR，一定存在 aD，使得 f(a)b，故正确取函数 f(x)x(1x1)，其值域为(1，1)，于是，存在 M1，使得 f(x)的值域包含于M，M1，1，但此时 f(x)没有最大值和最小值，故错误当 f(x)A 时，由可知，对任意的 bR，存在 aD，使得 f(a)b，所以，当 g(x)B 时，对于函数 f(x)g(x)，如果存在一个正数 M，使得 f(x)g(x)的值域包含于M，M，那么对于该区间外的某一个 b0R，一定存在一个 a0D，使得 f(a0)bg(a0)，即 f(a0)g(a0)b0M，M，故正确对于 f(x)aln(x2)xx21(x2)，当 a0 或 a0 时，
13、函数 f(x)都没有最大值要使得函数 f(x)有最大值，只有 a0，此时 f(x)xx21(x2)易知f(x)12，12，所以存在正数 M12，使得 f(x)M，M，故正确（2014四川卷）已知函数 f(x)exax2bx1，其中 a，bR，e2.718 28为自然对数的底数(1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函数 g(x)在区间0，1上的最小值；(2)若 f(1)0，函数 f(x)在区间(0，1)内有零点，求 a 的取值范围【解析】(1)由 f(x)exax2bx1，得 g(x)f(x)ex2axb.所以 g(x)ex2a.当 x0，1时，g(x)12a，e2a 当 a12时，g(
14、x)0，所以 g(x)在0，1上单调递增，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当 ae2时，g(x)0，所以 g(x)在0，1上单调递减，因此 g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab；名师整理，助你成功 当12ae2时，令 g(x)0，得 xln(2a)(0，1)，所以函数 g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，于是，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当 a12时，g(x)在0，1上的最小值是 g(0)1b；当12ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(ln(2a)2a2aln(2a
15、)b；当 ae2时，g(x)在0，1上的最小值是 g(1)e2ab.(2)设 x0为 f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由 f(0)f(x0)0 可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减 则 g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负 故 g(x)在区间(0，x0)内存在零点 x1.同理 g(x)在区间(x0，1)内存在零点 x2.故 g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点 由(1)知，当 a12时，g(x)在0，1上单调递增，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点；当 ae2时，g(x)在0，1上单调递减，故 g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意 所
16、以12a0，g(1)e2ab0.由 f(1)0 得 abe10，g(1)1a0，解得 e2a1.当 e2a1 时，g(x)在区间0，1内有最小值 g(ln(2a)若 g(ln(2a)0，则 g(x)0(x0，1)，从而 f(x)在区间0，1内单调递增，这与 f(0)f(1)0 矛盾，所以 g(ln(2a)0，g(1)1a0.故此时 g(x)在(0，ln(2a)和(ln(2a)，1)内各只有一个零点 x1和 x2.由此可知 f(x)在0，x1上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在x2，1上单调递增 名师整理，助你成功 所以 f(x1)f(0)0，f(x2)f(1)0，故 f(x)在(x1，x
17、2)内有零点 综上可知，a 的取值范围是(e2，1)（2013四川卷）已知函数 f(x)x22xa，x0，其中 a 是实数设 A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)为该函数图像上的两点，且 x1x2.(1)指出函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)的图像在点 A，B 处的切线互相垂直，且 x20，求 x2x1的最小值；(3)若函数 f(x)的图像在点 A，B 处的切线重合，求 a 的取值范围【解析】(1)函数 f(x)的单调递减区间为(，1)，单调递增区间为1，0)，(0，)(2)由导数的几何意义可知，点 A 处的切线斜率为 f(x1)，点 B 处的切线斜率为 f(x2)，故当点
18、 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时，有 f(x1)f(x2)1.当 x0 时，对函数 f(x)求导，得 f(x)2x2.因为 x1x20，所以，(2x12)(2x22)1，所以 2x120.因此 x2x112(2x12)2x22（2x12）（2x22）1，当且仅当(2x12)2x221，即 x132且 x212时等号成立 所以，函数 f(x)的图像在点 A，B 处的切线互相垂直时，x2x1的最小值为 1.(3)当 x1x2x10 时，f(x1)f(x2)，故 x10 x2.当 x10 时，函数 f(x)的图像在点(x2，f(x2)处的切线方程为 yln x21x2(xx2)，即 y1x2x
19、ln x21.两切线重合的充要条件是 1x22x12，ln x21x21a.由及 x10 x2，知1x10.名师整理，助你成功 由得，ax21ln12x121x21ln(2x12)1.设 h(x1)x21ln(2x12)1(1x10)，则 h(x1)2x11x110.所以，h(x1)(1x1h(0)ln 21，所以 aln 21.又当 x1(1，0)且趋近于1 时，h(x1)无限增大，所以 a 的取值范围是(ln 21，)故当函数 f(x)的图像在点 A，B 处的切线重合时，a 的取值范围是(ln 21，)（2013四川卷）设函数 f(x)exxa(aR，e 为自然对数的底数)若曲线 ysin
20、x 上存在(x0，y0)使得 f(f(y0)y0，则 a 的取值范围是()A1，e Be11，1 C1，e1 De11，e1【答案】A【解析】因为 y0sin x01，1，且 f(x)在1，1上(有意义时)是增函数，对于y01，1，如果 f(y0)cy0，则 f(f(y0)f(c)f(y0)cy0，不可能有 f(f(y0)y0.同理，当 f(y0)dy0时，则 f(f(y0)f(d)f(y0)dy0，也不可能有 f(f(y0)y0，因此必有 f(y0)y0，即方程 f(x)x 在1，1上有解，即 exxax 在1，1上有解显然，当 x0 时，方程无解，即需要 exxax 在0，1上有解当 x0
21、 时，两边平方得 exxax2，故 aexx2x.记 g(x)exx2x，则 g(x)ex2x1.当 x0，12时，ex0，2x10，故 g(x)0，当 x12，1 时，ex e1，02x11，故 g(x)0.综上，g(x)在 x0，1上恒大于 0，所以 g(x)在0，1上为增函数，值域为1，e，从而 a 的取值范围是1，e（2013四川卷）函数 yx33x1的图像大致是()名师整理，助你成功 图 15【答案】C【解析】函数的定义域是xR|x0，排除选项 A；当 x0 时，x30，3x10，排除选项 B；当 x时，y0 且 y0，故为选项 C 中的图像（2013新课标全国卷 已知函数 f(x)x3ax2bxc，下列结论中错误的是()Ax0R，f(x0)0 B函数 yf(x)的图像是中心对称图形 C若 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间(，x0)单调递减 D若 x0是 f(x)的极值点，则 f(x0)0【答案】C 【解析】x 时，f(x)0，f(x)连续，x0R，f(x0)0，A 正确；通过平移变换，函数可以化为 f(x)x3c，从而函数 yf(x)的图像是中心对称图形，B 正确；若 x0是 f(x)的极小值点，可能还有极大值点 x1，则 f(x)在区间(x1，x0)单调递减C 错误D 正确故答案为 C。