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1、名师整理，助你成功 考点 09 函数与方程 （1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.一、函数的零点 1函数零点的概念 对于函数(),yf xxD，我们把使()0f x 成立的实数 x 叫做函数(),yf xxD的零点 2函数的零点与方程的根之间的联系 函数()yf x的零点就是方程()0f x 的实数根，也就是函数()yf x的图象与 x 轴的交点的横坐标即方程()0f x 有实数根函数()yf x的图象与 x 轴有交点函数()yf x有零点【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数
2、f(x)=x21，由于方程 x21=0 无实数根，故该函数无零点 3二次函数2)(0yaxbxc a的零点 0 0 0 二次函数2)(0yaxbxc a的图象 与 x 轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点 零点个数 2 1 0 4零点存在性定理 如果函数()yf x在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f af b，那么，函数()yf x在区间(,)a b内有零点，即存在 c(a，b)，使得()0f c，这个c也就是方程()0f x 的根.名师整理，助你成功【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.5常用结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函
3、数，则至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数()()()F xf xg x有零点方程()0F x 有实数根函数()yf x与()yg x的图象有交点；(4)函数()()F xf xa有零点方程()0F x 有实数根函数()yf x与ya的图象有交点|()ay yf x，其中a为常数.二、二分法 1二分法的概念 对于在区间a，b上连续不断且()()0f af b的函数()yf x，通过不断地把函数()f x的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 2用二分法求函数()f x零点近似值的步骤 给定精
4、确度，用二分法求函数()f x零点近似值的步骤如下：确定区间a，b，验证()()0f af b，给定精确度；求区间(a，b)的中点 c；计算 f(c)；a若 f(c)=0，则 c 就是函数的零点；b若 f(a)f(c)0，则令 b=c(此时零点 x0(a，c)；c若 f(c)f(b)0，则令 a=c(此时零点 x0(c，b)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复.【速记口诀】定区间，找中点；中值计算两边看，同号丢，异号算，零点落在异号间 重复做，何时止，精确度来把关口 名师整理，助你成功 考向一 函数零点（方程的根）所在区间的判断 函数零点的判定方法(1)定
5、义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数()yf x必须在区间a，b上是连续的，当()()f af b 0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点(2)方程法：判断方程()0f x 是否有实数解(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如()()()f xg xh x，作出()yg x和()yh x的图象，其交点的横坐标即为函数 f(x)的零点.典例 1 函数 exf xx的零点所在的区间为 A11,2 B1,02 C10,2 D1,12【答案】D【解析】易知函数 exf xx的图象是连续的，且通过计算可得 11e1e 10f ，12111ee02
6、22f，00e010f，121111e0222ef，111e110ef ，由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为1,12.本题选择 D 选项.【规律总结】首先确定函数是连续函数，然后结合函数零点存在性定理求解函数零点所在的区间即可.判断函数零点所在区间的方法：一般而言，判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论 此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断 名师整理，助你成功 典例 2 在用二分法求方程3210 xx 的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为_.【答案】3,22【解析
7、】令 321f xxx，32753 10288f ，120f ，28 530f ，故下一步可以断定根所在区间为3,22.故填3,22.1已知函数()1fxmx=+的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围是 A1(,)2 B11,2 C1,D1(,1)(,)2 U 2已知函数 32113f xxx（1）证明方程 f（x）=0 在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程 f（x）=0，x0，2的实数解 x0在哪个较小的区间内 考向二 函数零点个数的判断 判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令 f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法
8、：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质 名师整理，助你成功(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.典例 3 函数2()(2)4f xxx的零点个数是 A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】要使函数有意义，则240 x，即2x 或2x，由()02f xx或2x ，则函数的零点个数为 2.故选 B 典例 4 函数 f(x)=2xlg(x1)2 的零点有
9、 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个【答案】B【解析】解法一：因为 f(0)=102=10，所以由函数零点存在性定理知，f(x)在(0,2)上必定存在零点 又 f(x)=2xlg(x1)2 在(1，)上为增函数，故 f(x)=0 有且只有一个实根，即函数 f(x)仅有一个零点 故选 B.解法二：在同一坐标系中作出 h(x)=22x和 g(x)=lg(x1)的图象，如图所示，由图象可知 h(x)=22x和 g(x)=lg(x1)有且只有一个交点，即 f(x)=2xlg(x1)2 与 x 轴有且只有一个交点，即函数 f(x)仅有一个零点 故选 B.名师整理，助你成功 3已知函数2,(),xxa
10、f xx xa，若函数()f x存在零点，则实数 a 的取值范围是 A,0 B,1 C1,D0,考向三 函数零点的应用问题 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略 1已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围 根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围在求解时，注意函数图象的应用 2已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函
11、数图象的交点问题 3借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系 要比较 f(a)与 f(b)的大小，通常先比较 f(a)、f(b)与 0 的大小若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：求出零点，直接比较大小；确定零点所在区间；同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.典例 5 对任意实数 a，b 定义运算“”：,1,1b ababa ab,设 21()(4)f xxx，若函数 yf xk恰有三个零点，则实数 k 的取值范围是 A(2,1)B0,1 C2,0)D2,1)【答案】D 名师整理，助你成功【解析】由新定义可得2224,(1)(4)1()1,(1)(4)1x xx
12、f xxxx，即24,23()1,23x xxf xxx 或.其图象如图所示，所以由 yf xk恰有三个零点可得，1k2，所以2k1.故选 D.4已知函数()=ln,12,1，若函数()=()13恰有 2个零点，则 a 的取值范围为_ 1下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 A21yx Blgyx Ccosyx De1xy 2函数()23xf xx的零点所在的一个区间是 A（-2，-1）B（-1,0）C（0,1）D（1,2）3命题7:12pa，命题:q函数 12xf xax在1,2上有零点，则p是q的 A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 4已知曲线2()
13、2lnf xxaxbx在点1,(1)f处的切线方程为3yx，则函数 fx的零点所在的大致区间为 A10,e B1,1e 名师整理，助你成功 C(1,e)D(e,)5若定义在上的函数()满足(+2)=()且 1,1时，()=|，则方程()=log3|的根的个数是 A4 B5 C6 D7 6已知函数()=+2,0+1,0，若函数=()2有 3 个零点，则实数的取值范围是_.15 已知函数2122,01()2,10 xxxmxf xxmx，若在区间 1,1上方程()1f x 只有一个解，则实数m的取值范围为_ 16已知函数 210f xaxmxma.（1）若 10f，判断函数 f x的零点个数；（2
14、）若对任意实数m，函数 f x恒有两个相异的零点，求实数a的取值范围；（3）已知12,x x R且12xx，12f xf x，求证：方程 1212f xf xf x在区间12,x x上有实数根.名师整理，助你成功 1（2019 年高考全国卷理数）设函数()f x的定义域为 R，满足(1)2()f xf x，且当(0,1x时，()(1)f xx x若对任意(,xm，都有8()9f x ，则 m 的取值范围是 A9,4 B7,3 C5,2 D8,3 2（2019 年高考浙江）已知,a bR，函数32,0()11(1),032x xf xxaxax x 若函数()yf xaxb恰有 3 个零点，则
15、Aa1，b0 Ba0 Ca1，b1，b0 3（2019 年高考江苏）设(),()f xg x是定义在 R 上的两个周期函数，()f x的周期为 4，()g x的周期为 2，且()f x是奇函数.当2(0,x时，2()1(1)f xx，(2),01()1,122k xxg xx，其中 k0.若在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 .4（2018 年高考新课标 I 卷理科）已知函数 e0ln0 xxf xxx，g xf xxa若 g（x）存在 2个零点，则 a 的取值范围是 名师整理，助你成功 A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）5
16、（2017 年高考新课标卷理科）设函数(3cos)f xx，则下列结论错误的是 A()f x的一个周期为2 B()yf x的图象关于直线83x 对称 C()f x 的一个零点为6x D()f x在(2,)单调递减 6（2017 年高考新课标卷理科）已知函数211()2(ee)xxf xxxa 有唯一零点，则 a=A12 B13 C12 D1 7(2016 年高考天津卷理科)已知函数 24330log110axaxa xfxxx,(a0，且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|2f xx恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 A7 2(,4 3 B2 3,3 4 C1 23,3
17、34U D1 23,)3 34U 8（2018 年高考新课标卷理科）函数 cos 36fxx在0，的零点个数为_ 9（2018 年高考浙江卷）已知 R，函数 f(x)=24,43,xxxxx，当=2 时，不等式 f(x)0，当 e时，()13，当 0时，易知不满足题意；当=0时，满足题意；当 0时，如图所示，由图象可知，13 0，所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是（-1,0）.故选 B.【名师点睛】本题考查函数的单调性和零点存在性定理，属于基础题.3【答案】C【解析】由题意得函数 12xf xax在1,2上单调递增，又函数 f x在1,2上有零点，所以 712102ffaa，解得712a
18、 考点冲关 名师整理，助你成功 7,127,12，p是q的必要不充分条件 故选 C 4【答案】C【解析】由题意，函数2()2lnf xxaxbx，可得 22fxaxbx，则 112fab，在点 1,1f处的切线方程为3yx，切线斜率为1，则121ab，又由 12f，得2ab，解得4b ，2a，22ln24f xxxx，则 12ln12420f ，2e2lne2 e4 e0f ，1e0ff，故函数 fx的零点所在的大致区间为1,e 故选C【名师点睛】本题主要考查了导数的几何意义，以及函数零点的存在性定理的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，熟练利用零点的存在性定理是解答的关键，着重考查了推理与运
19、算能力，属于基础题 5【答案】A【解析】因为函数()满足(+2)=()，所以函数()是周期为2的周期函数.又 1,1时，()=|，所以函数()的图象如图所示.再作出=log3|的图象，如图，易得两函数的图象有4个交点，所以方程()=log3|有4个根 故选 A【名师点睛】本题考查函数与方程，函数的零点、方程的根、函数图象与轴交点的横坐标之间是可以等价转化的.名师整理，助你成功 6【答案】B【解析】由题意，令()1=0，得()=1，令()=,由()=1，得=1或=22，作出函数()的图象，如图所示，结合函数()的图象可知，()=1有1个解，()=22有2个解，故=()1的零点个数为3.故选 B
20、【名师点睛】本题主要考查了函数的零点问题，其中令()=,由()=1，得到=1或=22，作出函数()的图象，结合函数()的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题 7【答案】A【解析】作出函数10,lgxyyx的图象，由图象可知，两个根一个小于1，一个区间1,0内，不妨设121,10 xx ，则12121210lglg,10lglgxxxxxx，两式相减得：12121212lg(lg)lglglg10100 xxxxxxx x，即1201x x，故选 A 8【答案】D【解析】由题意可知函数 f x是周期为2的偶函数，结合当1,0 x 时，2fxx，绘制函数 f
21、 x的图象如下图所示，函数 g x有 4 个零点，则函数 f x与函数log2ayx的图象在区间1,3内有 4 个交点，结合函数图象可得：当3x 时，log321a，求解对数不等式可得：5a，即实数a的取值范围是5,.名师整理，助你成功 本题选择 D 选项.【名师点睛】由题意确定函数 f x的性质，然后将原问题转化为两个函数的图象有 4 个交点的问题求解实数 a 的取值范围即可.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质
22、(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点 9【答案】D【解析】由题意得，2f xf x，42f xf xf x，即函数 fx的周期 4.()()2fxfx+=-，fx的图象关于1x 对称.作出 fx的图象如图所示，函数 21g xxf x的零点即为 yfx图象与12yx图象的交点的横坐标，四个交点分别关于点()2,0对称，则14234,4xxxx，即零点之和为 8.故选 D 10【答案】B【解析】函数()=eln(+)在(0,+)上存在零点，即eln(+)=0在(0,+)
23、上有解，令函数()=e，()=ln(+)，eln(+)=0在(0,+)上有解即函数()与函数()的图象在(0,+)上有交点，函数()的图象就是函数()=ln的图象向左平移个单位，如图所示，函数()=ln向左平移时，当函数图象过点(0,1)之后，与函数()=e的图象没有交点，此时(0)=ln(0+)=1，=e，名师整理，助你成功 故的取值范围为(,e).故选 B.11【答案】D【解析】2()(1)()0fxa f xa可变形为()()10f xaf x，即 axf或 1xf，由题可知函数()f x的定义域为(0,)，当0,1x时，函数()f x单调递增；当1,x时，函数()f x单调递减，画出函
24、数()f x的大致图象，如图所示，当且仅当1x 时，1xf，因为方程2()(1)()0fxa f xa恰有三个不同的实数根，所以 axf恰有两个不同的实数根，即,yf xya的图象有两个交点，由图可知10 a时，,yf xya的图象有两个交点，所以实数a的取值范围为(0,1).故选 D 12【答案】3【解析】由题意知：fx在0,上单调递增，f x若存在零点，则存在唯一一个零点，又 31 3510f ，334log 445log 4 10f，由零点存在性定理可知：03,4x，则3a.故答案为3.名师整理，助你成功 13【答案】2【解析】令 22110f xxxx，则21120 xx.设10tx，
25、则220tt，解得1t(舍去)或2t.所以12tx，解得1x 或3x.所以函数 fx有两个零点1,3，它们之和等于1 32.【名师点睛】本题考查函数的零点，通过解方程()0f x 来求函数()f x的零点.14【答案】1,0)(0,1【解析】由题意得方程()2=0有三个不同的实数根，即方程()=2有三个不同的实数根，所以函数=()和函数=2的图象有三个不同的交点 画出函数=()的图象如下图所示，结合图象可得，要使两函数的图象有三个不同的交点，则需满足0 2 1，解得1 0或0 1 时，令 y0 得 x(a+1，+），此时函数单调递增，令 y0 得 x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有
26、 2 个零点.根据题意，函数 yf（x）axb 恰有 3 个零点函数 yf（x）axb 在（，0）上有一个零点，在0，+）上有 2 个零点，如图：10 且 013(+1)312(+1)(+1)20，解得 b0，1a0，b 16（a+1）3，则 a1，b0.名师整理，助你成功 故选 C【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当 x0 时，yf（x）axbxaxb（1a）xb 最多有一个零点；当 x0 时，yf（x）axb=13x312（a+1）x2b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解 3【答案】12,34【解析】作出函数()f x，()g x的
27、图象，如图：由图可知，函数2()1(1)f xx的图象与1()(12,34,56,78)2g xxxxx 的图象仅有 2 个交点，即在区间(0，9上，关于 x 的方程()()f xg x有 2 个不同的实数根，要使关于x的方程()()f xg x有 8 个不同的实数根，则2()1(1),(0,2f xxx与()(2),(0,1g xk xx的图象有 2 个不同的交点，由(1,0)到直线20kxyk的距离为 1，可得2|3|11kk，解得2(0)4kk，两点(2,0),(1,1)连线的斜率13k，1234k，综上可知，满足()()f xg x在(0,9上有 8个不同的实数根的 k的取值范围为12
28、34，.【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数()f x，()g x的图象，数形结合求解是解题的关键因素.4【答案】C【解析】画出函数 f x的图象，exy 在 y 轴右侧的图象去掉，再画出直线yx，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线名师整理，助你成功 与函数的图象有两个交点，即方程 f xxa 有两个解，也就是函数 g x有两个零点，此时满足1a，即1a，故选 C 【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值
29、范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据 g（x）存在 2 个零点，得到方程 0f xxa有两个解，将其转化为 f xxa 有两个解，即直线yxa 与曲线 yf x有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数 f x的图象，再画出直线yx，并将其上下移动，从图中可以发现，当1a 时，满足yxa 与曲线 yf x有两个交点，从而求得结果.5【答案】D【解析】函数()f x的最小正周期为221T，则函数()f x的周期为
30、2 TkkZ，取1k，可得函数 f x的一个周期为2，选项 A 正确；函数()f x图象的对称轴为3xkkZ，即3xkkZ，取3k，可得 y=f(x)的图象关于直线83x 对称，选项 B 正确；coscos33f xxx，函数()f x的零点满足32xkkZ，即6xkkZ，取0k，可得()f x 的一个零点为6x，选项 C 正确；当,2x时，5 4,363x，函数()f x在该区间内不单调，选项 D 错误.故选 D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n)siyAx或(s)coyAx的 形 式，则 最 小 正 周 期 为2T；奇 偶 性 的 判 断 关 键 是 看 解 析
31、 式 是 否 为sinyAx或cosyAxb的形式.名师整理，助你成功（2）求 sin0()f xAx 的对称轴，只需令2xkkZ，求 x 即可；求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令()xkkZ即可.6【答案】C【解析】函数()f x的零点满足2112eexxxxa ，设 11eexxg x，则 21111111e1eeeeexxxxxxgx，当 0g x时，1x；当1x时，0gx，函数 g x单调递减；当1x 时，0g x，函数 g x单调递增，当1x 时，函数 g x取得最小值，为 12g.设 22h xxx，当1x 时，函数 h x取得最小值，为1，若0a，函数 h x与函数 ag x
32、没有交点；若0a，当 11agh时，函数 h x和 ag x有一个交点，即21a ，解得12a.故选 C.【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.7【答案】C 【解析】当0 x 时，f(x)单调递减，必须满足432a0，故 0a34，此时函数 f(x)在0，)上单调递减，若 f(x)在 R 上单调递减，还需31a，即13a，所以1334a 结合函数图象，当 x0 时，函数 y=|f(x)|的图象和直线
33、 y=2x 有且只有一个公共点，即当 x0 时，方程|f(x)|=2x 只有一个实数解因此，只需当 x0 时，方程|f(x)|=2x 恰有一个实数解 根据已知条件可得，当 x0 时，f(x)0，即只需方程 f(x)=2x 恰有一个实数解，即24332xaxax，即22 21320 xaxa在(，0)上恰有唯一的实数解，判别式224 214 324 47341 43aaaaaa，名师整理，助你成功 因为1334a，所以0 当 3a20，即 a23时，方程22 21320 xaxa有一个正实根、一个负实根，满足要求；当 3a2=0，即 a=23时，方程22 21320 xaxa的一个根为 0，一个
34、根为23，满足要求；当 3a20，即23a34时，因为(2a1)0，此时方程22 21320 xaxa有两个负实根，不满足要求；当 a=34时，方程22 21320 xaxa有两个相等的负实根，满足要求 综上可知，实数 a 的取值范围是1 23,3 34U 故选 C 8【答案】3【解析】0 xQ，193666x，由题可知3336262xx，或5362x，解得 4,99x 或79，故有 3 个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出36x的范围，再由函数值为零，得到36x的取值可得零点个数.9【答案】(1,4)1,34,U 【解析】由题意得240 x
35、x或22430 xxx，所以24x或12x，即14x，故不等式f(x)0 的解集是1,4,当4时，40f xx，此时 2430,1,3f xxxx，即在,上有两个零点；当4时，40,4f xxx，由 243f xxx在,上只能有一个零点得13.综上，的取值范围为1,34,U.【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：名师整理，助你成功(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化
36、成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 10【答案】4 8，【解析】分类讨论：当0 x 时，方程 f xax即22xaxaax，整理可得：21xa x，很明显1x 不是方程的实数解，则21xax；当0 x 时，方程 f xax即222xaxaax，整理可得：22xa x，很明显2x 不是方程的实数解，则22xax.令 22,01,02xxxg xxxx，其中211211xxxx ，242422xxxx，则原问题等价于函数 g x与函数ya有两个不同的交点，求a的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数 g
37、x的图象，同时绘制函数ya的图象如图所示，考查临界条件，结合0a 观察可得，实数a的取值范围是4,8.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论0 x 和0 x 两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解与判断方法包括：(1)直接求零点：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，
38、就有几个不同的零点.11【答案】8 名师整理，助你成功【解析】由于()0,1)f x，则需考虑110 x的情况，在此范围内，xQ且xD时，设*,2qxp qppN，且,p q互质，若lg xQ，则由lg(0,1)x，可设*lg,2nxm nmmN，且,m n互质，因此10nmqp，则10()nmqp，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg xQ，因此lg x不可能与每个周期内xD对应的部分相等，只需考虑lg x与每个周期xD的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD的部分，且1x 处11(lg)1ln10ln10 xx，则在1x 附近仅有一个交点，因此方程()lg0f xx的解的个数为 8 【名师点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等 12【答案】(3，)【解析】函数 f x的大致图象如图所示，根据题意知只要24mmm即可，又 m0，解得 m3，故实数 m 的取值范围是(3，)