《2023年新高考数学大一轮复习专题26数列的通项公式(原卷版)43500.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年新高考数学大一轮复习专题26数列的通项公式(原卷版)43500.pdf（29页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 专题 26 数列的通项公式 【考点预测】类型 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项 类型 公式法：若已知数列的前项和与na的关系，求数列 na的通项na可用公式 11,(1),(2)nnnSnaSSn构造两式作差求解 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a和na合为一个表达，（要先分1n和2n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）类型 累加法：形如1()nnaaf n型的递推数列（其中()f n是关于n的函数）可构造：11221(1)(2)(1).nnnnaaf n
2、aaf naaf 将上述2m个式子两边分别相加，可得：1(1)(2).(2)(1),(2)naf nf nffan 若()f n是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若()f n是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若()f n是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若()f n是关于n的分式函数，累加后可裂项求和 类型 累乘法：形如1()nnaaf n1()nnaf na型的递推数列（其中()f n是关于n的函数）可构造：11221(1)(2)(1).nnnnaf naaf naafa 将上述2m个式子两边分别相乘，可得：1(1)(2).(2)(1),(2)naf nf n
3、ffan 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解 类型 构造数列法：（一）形如1nnapaq（其中,p q均为常数且0p）型的递推式：（1）若1p时，数列na为等差数列；nnS （2）若0q时，数列na为等比数列；（3）若1p且0q 时，数列na为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求方法有如下两种：法一：设1()nnap a，展开移项整理得1(1)nnapap，与题设1nnapaq比较系数（待 定 系 数 法）得1,(0)()111nnqqqpap appp1()11nnqqap app，即1nqap构成以11qap为首项，以p为公比的等比数列再利用等比数列的通
4、项公式求出1nqap的通项整理可得.na 法二：由1nnapaq得1(2)nnapaq n两式相减并整理得11,nnnnaapaa即1nnaa构成以21aa为首项，以p为公比的等比数列求出1nnaa的通项再转化为类型（累加法）便可求出.na（二）形如1()nnapaf n(1)p型的递推式：（1）当()f n为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设1(1)nnaAnBp aA nB，通过待定系数法确定、A B的值，转化成以1aAB为首项，以!！mnnAnm为公比的等比数列naAnB，再利用等比数列的通项公式求出naAnB的通项整理可得.na 法二：当()f n的公差为d时，由递推式得：1()n
5、napaf n，1(1)nnapaf n两式相减得：11()nnnnaap aad，令1nnnbaa得：1nnbpbd转化为类型求出 nb，再用类型（累加法）便可求出.na（2）当()f n为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设1()(1)nnaf np af n，通过待定系数法确定的值，转化成以1(1)af为首项，以!！mnnAnm为公比的等比数列()naf n，再利用等比数列的通项公式求出()naf n的通项整理可得.na 法二：当()f n的公比为q时，由递推式得：1()nnapaf n，1(1)nnapaf n，两边同时乘以q得1(1)nna qpqaqf n，由两式相减得11()n
6、nnnaa qp aqa，即11nnnnaqapaqa，在转化为类型便可求出.na 法三：递推公式为1nnnapaq（其中 p，q 均为常数）或1nnnaparq（其中 p，q，r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以1nq，得：111nnnnaapqq qq，引入辅助数列 nb（其中nnnabq），得：11nnpbbqq再应用类型的方法解决（3）当()f n为任意数列时，可用通法：在1()nnapaf n两边同时除以1np可得到111()nnnnnaaf nppp，令nnnabp，则11()nnnf nbbp，在转化为类型（累加法），求出nb之后得nnnap b 类型 对数变换法：形如
7、1(0,0)qnnapapa型的递推式：在原递推式1qnapa两边取对数得1lglglgnnaqap，令lgnnba得：1lgnnbqbp，化归为1nnapaq型，求出nb之后得10.nbna（注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择）类型 倒数变换法：形如11nnnnaapaa（p为常数且0p）的递推式：两边同除于1nnaa，转化为111nnpaa形式，化归为1nnapaq型求出1na的表达式，再求na；还有形如1nnnmaapaq的递推式，也可采用取倒数方法转化成111nnmmaq ap形式，化归为1nnapaq型求出1na的表达式，再求na 类型 形如21nnnapaqa型的递推式：用
8、待定系数法，化为特殊数列1nnaa的形式求解方法为：设211()nnnnakah aka，比较系数得,hkphkq，可解得、h k，于是1nnaka是公比为h的等比数列，这样就化归为1nnapaq型 总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na 【题型归纳目录】题型一：观察法 题型二：叠加法 题型三：叠乘法 题型四：待定系数法 题型五：同除以指数 题型六：取倒数法 题型七：取对数法 题型八：已知通项公式na与前n项的和nS关系求通项问题 题型九：周期数列 题型十：前 n项积型 题型十一：“和”型求通项 题
9、型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型 题型十三：因式分解型求通项 题型十四：其他几类特殊数列求通项 题型十五：双数列问题 题型十六：通过递推关系求通项 【典例例题】题型一：观察法 例 1（2022山东聊城高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列 1，2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列1,2,2,4,2,，则第 5行从左数起第 6个数的值为_.用nA表示第n行所有项的乘积，若数列 nB满足2lognnBA，则数列 nB的通项公式为_.例 2（2022河南商丘高三阶段练习
10、（理）将数列 2n与31n的公共项从小到大排列得到数列 na，则其通项na _.例 3（2022云南昆明一中高三阶段练习（文）2022 北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在 1904 年构造的能够描述雪花形状的图案图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案设原正三角形（图）的边长为 3，把图二中的，图形的周长依次记为1a，2a，3a，4a，得到数列 na (1
11、)直接写出2a，3a的值；(2)求数列 na的通项公式 例 4（2022宁夏六盘山高级中学高二阶段练习（文）一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图，分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数构成的数列记为an (1)写出2a，3a，4a，5a的值；(2)猜想数列na的表达式，并写出推导过程；(3)求证：23422221(2)1111nnaaaa 例 5（2022安徽合肥市第六中学高二期末）如图，第 1 个图形需要 4 根火柴，第 2 个图形需要 7 根火柴，设第 n个图形需要na根火柴 (1)试写出4a，并求na；(2)记前 n 个图形所需的火柴
12、总根数为nS，设2nnnbS，求数列1nb的前 n 项和nT 例 6（2022全国高二课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派将 1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列 na，写出56,a a以及na.例 7（2022全国高二课时练习）观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：(1)1，3，7，_，31，_，127；(2)2，5，_，17，26，_，50；(3)12，14，_，116，132，_，1128；(4)1，2，_，2，5，_，7 例 8（2022广东广州市培正中
13、学三模）设na是集合22|0tsst且s tZ,中所有的数从小到大排列成的数列，即13a，25a，36a，49a，510a，612a，将na各项按照上小下大、左小右大的原则写成如下的三角形数表 （1）写出该三角形数表的第四行、第五行各数（不必说明理由）；（2）设 nb是该三角形数表第n行的n个数之和所构成的数列，写出 nb的通项公式；（3）求100a的值.【方法技巧与总结】观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项使用观察 法时要注意：观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n或者1(1)n 部分考虑各项的变化规律与序号的关系应特别注意自然数列、正
14、奇数列、正偶数列、自然数的平方 2n、2n与(1)n有关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列 题型二：叠加法 例 9（2022全国高三专题练习）已知10a，121nnaan，求通项na _.例 10（2022内蒙古乌兰浩特一中模拟预测（文）已知数列 na满足112,nnaaan则求100a_ 例 11（2022全国高三专题练习）已知数列 na满足112,22Nnnaaan n，则数列1na的前2022 项的和为_.例 12（2022全国高三专题练习）数列 na中，11211,nnaaann，则5a _.例 13（2022湖北华中师大一附中模拟预测）在数列na中，已知11ap，11nn
15、naana，*0,pnN.(1)若1p，求数列na的通项公式；(2)记nnbna，若在数列 nb中，*4()nbb nN，求实数p的取值范围.【方法技巧与总结】数列有形如1()nnaaf n的递推公式，且(1)(2)()fff n的和可求，则变形为1()nnaaf n，利用叠加法求和 题型三：叠乘法 例 14（2022浙江浙江二模）已知等差数列 na的前n项和为nS，满足36a，420S 数列 nb满足11b，21221(1)1nnnbbn，*nN(1)求数列 na，nb的通项公式；(2)设数列 nc满足11nnncSb，*nN，记数列 nc的前n项和为nT，若111112nT，求n的最小值
16、例 15（2022全国高三专题练习（理）已知数列 na的前 n项和为nS，且满足213nnSna，n+N.(1)求 na的通项公式；(2)若 231nnnbna，求 nb的前 n项和nT.例 16（2022全国高三专题练习）在数列na中，11a，111nnaan(n2)，求数列an的通项公式.例 17（2022全国高三专题练习）记nS为数列 na的前 n项和，已知11,nnSaa是公差为13的等差数列(1)求 na的通项公式；(2)证明：121112naaa 例 18（2022福建南平三模）已知数列 na满足11a，11nnanan.(1)求数列 na的通项公式；(2)若 nb满足2224nn
17、ba，21222nnba.设nS为数列 nb的前n项和，求20S.例 19（2022全国高三专题练习）数列 na满足：123a，21*12122Nnnnnaan，则 na的通项公式为_.例 20（2022山西太原二模（理）已知数列 na的首项为 1，前 n 项和为nS，且12nnnSnS，则数列数列2112nnnnaa a的前 n项和nT _ 例 21（2022全国高三专题练习）已知数列 na的首项为 1，前 n 项和为nS，且12nnnSnS，则数列 na的通项公式na _.例 22（2022全国高三专题练习）数列 na中，11a，当2n时，12nnnaa，则数列 na的通项公式为_ 例 2
18、3（2022全国模拟预测）在数列 na中，114a，122nnnaan，若12111231nnTaana，且对任意*nN，24nnT恒成立，则实数的取值范围是（）A,1 B1,2 C1,12 D1,【方法技巧与总结】数列有形如1()nnaf na的递推公式，且(1)(2)()fff n的积可求，则将递推公式变形为1()nnaf na，利用叠乘法求出通项公式na 题型四：待定系数法 例 24（2022全国高三专题练习）已知数列 na满足：12121,4,430nnnaaaaa，设3311log21 log21nnnbaa，nN则122022bbb_ 例 25（2022四川宜宾二模（理）在数列na
19、中，11a，213a，且满足1112(3)nnnnna aaaa(2)n，则na _.例 26（2022全国高三专题练习）已知数列 na中，11511,2nnaaa，若12nnba，则数列 nb的前n 项和nS _.例 27（2022全国高三专题练习）已知数列的递推公式1341nnnaaa，且首项15a，求数列 na的通项公式.例 28（2022全国高三专题练习）已知数列 na满足：12a，1221nnana，求数列 na的通项公式.例 29（2022全国高三专题练习）已知数列 na中，111423,1nnnaaaa，求 na的通项.例 30（2022全国高三专题练习）已知195nnnaaa，
20、11a，求na的通项公式.例 31（2022全国高三专题练习）已知数列 na的递推公式123nnnaaa，且首项10aa a，求数列 na的通项公式.例 32（2022全国高三专题练习）(1)已知数列 na，其中11a，22a，且当3n时，1221nnnaaa，求通项公式na；(2)数列 na中，10a，22a，21652nnnnaaa，求na 例 33（2022江苏高三阶段练习）已知数列 na满足113,21nnaaan，（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nc满足121 21nnnnanc，求数列 nc的前n项和nT 例 34（2022全国高三专题练习）数列 na中，11a ，11
21、2nnaa，求na的通项公式.【方法技巧与总结】形如1nnapaq（,p q为常数，0pq且1p）的递推式，可构造1()nnap a，转化为等比数列求解也可以与类比式1nnapaq作差，由11()nnnnaap aa，构造1nnaa为等比数列，然后利用叠加法求通项 题型五：同除以指数 例 35（2022河南高三阶段练习（文）已知数列 na的首项13a，且满足11221nnnaa，（1）设12nnnab，证明 nb是等差数列；（2）求数列1na 的前n项和nS.例 36（2022天津二模）记nS是公差不为 0 的等差数列 na的前n项和，已知3451543,aaS a aS，数列 nb满足*11
22、322,Nnnnbbnn，且111ba.(1)求 na的通项公式；(2)证明数列12nnb是等比数列，并求 nb的通项公式；(3)求证：对任意的*Nn，1132niib.例 37（2022全国高三专题练习）已知数列na中，1*113,32 3,nnnaaanN，求数列na的通项公式；例 38（2022全国模拟预测）已知数列 na满足11a，142nnnaa.(1)求证：数列 na是等比数列；(2)求数列nna的前 n项和nT.【方法技巧与总结】形如 1nnnapad(0且p1p，1d）的递推式，当pd时，两边同除以1nd转化为关于nnad的等差数列；当pd时，两边人可以同除以1nd得111nn
23、nnaapdd dd，转化为11nnpbbdd 题型六：取倒数法 例 39（2022全国高三专题练习）已知数列 na满足112a，且131nnnaaa，则数列na _ 例 40（2022全国高三专题练习）数列 na中，156a，1251056515nnnnaannan，则99a（）A12019 B20182019 C12020 D20192020 例 41（2022江苏南京模拟预测）已知数列 na满足1121nnnnaaa若112a，则512iiia_；若1012046a，则1a _ 【方法技巧与总结】对于1(0)nnnaaaacbca，取倒数得111nnnnbcabcaaaa aa 当ab时
24、，数列1na是等差数列；当ab时，令1nnba，则1nnbcbbaa，可用待定系数法求解 题型七：取对数法 例 42已知数列na的首项为 9，且2112(2)nnnaaan，若1112nnnbaa，则数列nb的前n项和nS 例 43（2022蚌埠三模）已知数列na满足111,2256nnaaa，若2log2nnba，则12nb bb的最大值为 例 44（2022全国高三专题练习）已知数列na满足1122211,24nnnnanaaanan，则8a _ 【方法技巧与总结】形如1(0,0)knnnacaca的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解 题型八：已知通项公式na与前n项的和nS关系
25、求通项问题 例 45（2022全国高三专题练习）已知正项数列 na的前n项和nS满足：22,(N)nnSan.求数列 na的通项公式；例 46（2022全国高三专题练习）已知正项数列 na的前n项和为nS，满足222nnnSaa.求数列 na的通项公式；例 47（2022江西九江三模（理）已知数列 na的前n项和为nS，且满足12a，1436nnnaaS.(1)求na；(2)求数列21nnn na的前n项和.例 48（2022福建福州三中高三阶段练习）已知数列 na的前n项和为11,1,2nnnnaSaS.(1)求数列 na的通项公式；(2)若112nnnba，求数列 nb的前n项和nT.例
26、49（2022全国高三专题练习）已知数列 na的前 n 项和为nS，14a，28a，且2124nnnSSS(1)求证：数列 na是等差数列；(2)若ma，mS，114ma成等比数列，求正整数 m 例 50（2022青海海东市第一中学模拟预测（理）设数列 na的前 n项和为nS，24nnSan(1)证明：数列1na 是等比数列(2)若数列12nnna a的前 m 项和170513mT，求 m的值 例 51（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）已知正项数列 na满足2123232naaanann，且211nnnnabnn(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列 nb的前n项和nS 例 52（
27、2022全国南京外国语学校模拟预测）已知数列 na的前n项和为nS，且211122nSnn，*Nn(1)求 na的通项公式；(2)若数列 nb满足11223113322nnnbbbaaa，*Nn，求数列 nb的前n项和nT 例 53（2022福建三明一中模拟预测）设数列 na的前 n 项和为nS，若111,1nnaSa(1)求数列 na的通项公式；(2)设1nnnba，求数列 nb的前 n项和nT 例 54（2022全国高三专题练习）记nS为数列 na的前 n项和已知221nnSnan(1)证明：na是等差数列；(2)若479,a a a成等比数列，求nS的最小值 例 55（2022福建厦门一
28、中模拟预测）已知数列na的前n项和nS，11a，0na，141nnna aS(1)计算2a的值，求na的通项公式；(2)设1(1)nnnnba a，求数列 nb的前2n项和2nT 例 56（2022福建省福州第一中学三模）设数列 na的前 n项和为nS，10a，21a，11(21)(1)10(2)nnnnSnSnSn.(1)证明：na为等差数列；(2)设2nanb，在nb和1nb之间插入 n 个数，使这2n个数构成公差为nd的等差数列，求1nd的前 n项和.（2022全国高三专题练习）已知数列 na满足12a，121(nnaSnnN），令1.nnba(1)求证：nb是等比数列；(2)记数列nn
29、b的前n项和为nT，求nT.例 57（2022全国高三专题练习）已知数列 na的前n项和为nS，且有2312322222nnnaaaan(1)求数列 na的通项公式；(2)设11nnnnbTa a，为数列 nb的前n项和，证明：2nT 例 58（2022江西高三阶段练习（理）已知首项为 1的数列na的前n项和为nS，且11(2)(1)(2)3nnnSnSn nn(1)求证：数列(1)nSn n是等差数列；(2)求数列na的通项公式；(3)若数列 nb满足212nnnaba，求证：1231.1nb b bbn 例 59（2022贵州贵阳一中高三阶段练习（理）设数列 na前 n项和为nS，若11a
30、，2*2202,NnnnnSS aann，则11niiS_.例 60（2022四川宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理）已知数列 na满足12123521nnaaan，则12naaa_.例 61（2022全国模拟预测（理）已知数列 na的前n项和为nS若12a，1nnaS，则100a（）A972 B982 C992 D1002 例 62（2022陕西省神木中学高一期末）已知数列 na的前n项和为111,2,2nnnnSaSa，则nS（）A1 2nn B11 2nn C12nn D2nn 例 63（2022内蒙古赤峰二中模拟预测（理）在数列 na中，11a，142nnSa，则2019a的值为()A
31、20207572 B20197572 C20187572 D无法确定 【方法技巧与总结】对于给出关于na与nS的关系式的问题，解决方法包括两个转化方向，在应用时要合理选择一个方向是转化nS为na的形式，手段是使用类比作差法，使nS1nS=na（2n，*nN），故得到数列 na的相关结论，这种方法适用于数列的前n项的和的形式相对独立的情形；另一个方向是将na转化为nS1nS（2n，*nN），先考虑nS与1nS的关系式，继而得到数列 nS的相关结论，然后使用代入法或者其他方法求解 na的问题，这种情形的解决方法称为转化法，适用于数列的前n项和的形式不够独立的情况 简而言之，求解na与nS的问题，方
32、法有二，其一称为类比作差法，实质是转化nS的形式为na的形式，适用于nS的形式独立的情形，其二称为转化法，实质是转化na的形式为nS的形式，适用于nS的形式不够独立的情形；不管使用什么方法，都应该注意解题过程中对n的范围加以跟踪和注意，一般建议在相关步骤后及时加注n的范围 题型九：周期数列 例 64（2022河南安阳模拟预测（理）已知数列 na满足*1211N,3nnnaaana ，若 na的前n 项积的最大值为 3，则2a的取值范围为（）A 1,0)(0,1 B 1,0)C(0,1 D,1(),)1(例 65（2022广东深圳高三阶段练习）已知数列 na中，11a，22a，1212nnnaa
33、，则1819aa（）A3 B113 C213 D219 例 66（2022海南省直辖县级单位三模）已知数列 na中，12a，24a，122nnnaaa，则2022a（）A4 B2 C-2 D-4 例 67（2022江苏扬州中学高三阶段练习）在数列 na中，11a，112nnnaa，Nn，则3a _；na的前 2022 项和为_ 例 68（2022上海静安二模）数列na满足12a，2111aa，若对于大于 2 的正整数n，111nnaa，则102a_.例 69（2022云南师大附中模拟预测（理）已知数列 na的前n项和为nS，且112a，11nnnaaa，则2022S_.例 70（2022重庆一
34、中高三阶段练习）已知数列 na满足：12a，111nnnaaa，则2022a_ 例 71（2022全国模拟预测）在数列 na中，11a，1,231,nnnnnaaaaa为偶数为奇数，则1232021aaaa_ 例 72（2021全国高三专题练习（文）已知正整数数列 na满足131,2nnnnnaaaaa为奇数为偶数,则当18a 时，2021a_.【方法技巧与总结】（1）周期数列型一：分式型（2）周期数列型二：三阶递推型（3）周期数列型三：乘积型（4）周期数列型四：反解型 题型十：前 n项积型 例 73（2022徐州模拟）已知数列na的前n项积为nT，若对2n，*nN，都有2112nnnTTT成
35、立，且11a，22a，则数列na的前 10项和为 例 74（2022重庆模拟）若数列na满足其前n项的积为11n，则na 例 75（2022全国高三专题练习）已知正项数列 na的前项积为nT，且满足31nnnTanNT.(1)求证：数列12nT为等比数列；(2)若12.10naaa，求 n的最小值.例 76（2022全国高三专题练习）已知数列 na中，1212,nnnnSaaa TSSS，且1.nnST(1)求证：数列11nS是等差数列；(2)求证：对于任意的正整数,nn T是na与nS的等比中项 例 77（2022全国模拟预测）数列 na满足11a，122311111nnaaanaaa(1)
36、求数列na的通项公式；(2)数列45nna中是否存在最大项和最小项？若存在，求出相应的最大项或最小项；若不存在，说明理由 例 78（2022全国高三专题练习（理）已知数列 na前 n项积为nT，且*1()nnaTnN(1)求证：数列11na为等差数列；(2)设22212nnSTTT，求证：112nnSa 【方法技巧与总结】类比前n项和求通项过程：（1）1n，得1a（2）2n时，1nnnTaT 题型十一：“和”型求通项 例 79（2022 秋河南月考）若数列na满足211(nnnnaak kaa为常数），则称数列na为等比和数列，k称为公比和，已知数列na是以 3 为公比和的等比和数列，其中11
37、a，22a，则2108a 例 80（2022 秋南明区校级月考）若数列na满足122nnaann，则2nS 例 81（2022青海西宁二模（理）已知nS为数列 na的前n项和，11a，1221nnaSn，则2022S（）A2020 B2021 C2022 D2024 例 82（2022全国高三专题练习）数列 na满足1aZ，123nnaan，且其前n项和为nS.若13mSa，则正整数m（）A99 B103 C107 D198 例 83（2022黑龙江哈师大附中高三阶段练习（理）已知数列 na的前n项和为nS，若2*12nnSSnnN，且10a，1028a，则1a的值为 A8 B6 C5 D4
38、例 84（2022浙江省春晖中学模拟预测）已知数列 na满足*1:27Nnnaann，且14a.(1)求数列 na的通项公式；(2)已知数列 nb满足*21,1log,2.Nnnnnba nn，定义使*123Nkb bbbk为整数的k叫做“幸福数”，求区间1,2022内所有“幸福数的和.例 85（2022河南方城第一高级中学模拟预测（理）已知数列na满足111,4.nnaaan(1)求数列na的通项公式；(2)设14 cos,nnnnnba a，求数列nb的前 n项和nS，并求nS的最大值.【方法技巧与总结】满足1()nnaaf n，称为“和”数列，常见如下几种：（1）“和”常数型（2）“和”
39、等差型（3）“和”二次型（4）“和”换元型 题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型 例 86数列na满足12(1)31nnnaan，前 16项和为 540，则2a 例 87（2022夏津县校级开学）数列na满足2(1)31nnnaan，前 16 项和为 508，则1a 例 88（2022 秋舒城县校级月考）已知数列na满足：*1(1)()nnnaan nN，则数列na的前 40 项和40S 例 89（2022 春漳州期末）已知数列na满足1(1)()nnnaan，则na的前 40 项和为 例 90（2022 秋普陀区校级期末）已知数列na的首项12a，且满足*12()nnna anN，则20a 例
40、 91（2022鼓楼区校级模拟）已知数列na中，11a，*1(1)()nnnaan nN，则20a 例 92（2022 春东安区校级期中）已知数列na满足：*1(1)31,()nnnaannN，则na的前 40 项的和为()A860 B1240 C1830 D2420 例 93（2022全国高三专题练习）设数列 na的前 n项和为nS，已知1222,(1)2nnnaaa，则60S_.例 94（2022辽宁盘锦市高级中学高三阶段练习）已知数列 na，满足1aa且*1*121,N222,Nnnnankkaank k，设nS是数列 na的前n项和，若20201S，则a的值为（）A13030 B120
41、20 C11515 D1 例 95（2022全国模拟预测）已知数列 na满足11a，且1221,N32,N2nnnankkaa nk k(1)求 na的通项公式；(2)在1nnnbaa，1nnnbaa，1nnnba a这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答 若数列 nb满足_，求 nb的前2n项和2nS 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 【方法技巧与总结】（1）利用 n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律（2）分段数列（3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列 题型十三：因式分解型求通项 例 96（2022 秋安徽月考）已知正项数列na满足：1aa，2211420nnnnaaa
42、a，*nN（）判断数列na是否是等比数列，并说明理由；（）若2a，设nnabn*nN，求数列nb的前n项和nS 例 97（2022怀化模拟）已知正项数列na满足11a，2211260(2,*)nnnnaaaannN设2lognnba（1）求1b，2 3b b；（2）判断数列nb是否为等差数列，并说明理由；（3）nb的通项公式，并求其前n项和为nS 例 98（2022 秋仓山区校级月考）已知正项数列na满足12a 且22*11(1)0()nnnnnaa ananN（）证明数列na为等差数列；（）若记14nnnba a，求数列nb的前n项和nS 例 99已知正项数列na的前n项和nS满足：22*(
43、1)(1)0()nnSnnSn nnN，数列nb满足112ab，且*10()nnbbnN（1）求1a的值及数列na的通项公式；（2）设(21)nnnnbcS，数列nc的前n项和为nT，求nT 例 100（2022四川模拟）已知数列na的各项均为正数，且满足22(1)20nnanann（1）求1a，2a及na的通项公式；（2）求数列 2na的前n项和nS 【方法技巧与总结】利用十字相乘进行因式分解 题型十四：其他几类特殊数列求通项 例 101（2022内蒙古赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理）设数列na的前 n项和为nS，满足2*12nnnaSnNa，则下列说法正确的是（）A202120221aa
44、 B202120221aa C20222 2022a D20222 2022a 例 102（2022辽宁三模）在数列na中，已知各项都为正数的数列na满足21540nnnaaa（1）证明数列1nnaa为等比数列；（2）若115a，2125a，求na的通项公式 例 103（2022全国模拟）已知各项都为正数的数列na满足2123nnnaaa（1）证明：数列1nnaa为等比数列；（2）若112a，232a，求na的通项公式 例 104（2022虹口区一模）（1）定义：若数列nd满足21nndd，则称nd为“平方递推数列”已知：数列na中，12a，2122nnnaaa 求证：数列21na 是“平方递
45、推数列”；求证：数列(21)nlga 是等比数列；求数列na的通项公式（2）已知：数列nb中，11b，232133(0)nnnnbp bpbbp，求：数列nb的通项 例 105（2022 秋上城区校级月考）已知正项数列na满足11a，22*1142()nnnnaaaanN（1）证明：数列1na 是等比数列；（2）证明：*234111112()3nnNaaaa 例 106（2022湖南一模）在数列na中，已知11a，23a，2132nnnaaa （）证明数列 1nnaa是等比数列，并求数列na的通项公式；（）设2log(1)nnba，nb的前n项和为nS，求证12311112nSSSS 【方法技
46、巧与总结】（1）二次型：形如21nnnaAaBaC（2）三阶递推：形如21mannntapa型，多在大题中，有引导型证明要求（3）“纠缠数列”：两个数列，多为等差和等比数列，通项公式组成“方程组”（4）数学归纳型：可以通过数学归纳法，猜想，证明（小题省略证的过程）题型十五：双数列问题 例 107（2022河北秦皇岛三模）已知数列 na和 nb满足111113,434,43422nnnnnnabaabbba (1)证明：nnab是等比数列，nnab是等差数列；(2)求 na的通项公式以及 na的前n项和nS 例 108（2022全国高三专题练习）两个数列 na nb满足12a，11b，1537n
47、nnaab，135nnnbab（其中*nN），则 na的通项公式为na _.例 109（2022全国高三专题练习）已知数列 na和 nb满足12a，11b，1nnnabb，114nnnaba.则20211008ba_.例 110（2022全国高三专题练习）数列 na,nb满足11266nnnnnnaabbab,且12a,14b.(1)证明:12nnaa为等比数列;(2)求 na,nb的通项.例 111（2022吉林长春模拟预测（文）已知数列 na和 nb满足12a，10b，1231nnabn，1231nnabn，则nnab_，nnab_ 例 112（2022河南洛阳三模（文）若数列 na和 n
48、b满足12a，10b，1232nnnaab，1232nnnbab，则20222021ab（）A20202 31 B20203 21 C20203 21 D20213 21 【方法技巧与总结】消元法 题型十六：通过递推关系求通项 例 113（2022青海西宁一模）如图所示，矩形nnnnA B C D的一边nnA B在x轴上，另外两个顶点,nnCD在函数 10f xxxx的图象上.若点nB的坐标为,02,nnnN，记矩形nnnnA B C D的周长为na，则2310aaa A220 B216 C212 D208 例 114（2022全国高三专题练习）如图，曲线 y2x（y0）上的点 P1与 x轴的
49、正半轴上的点 Qi及原点O 构成一系列正三角形，OP1Q1，Q1P2Q2，Qn1PnQn设正三角形 Qn1PnQn 的边长为 an，nN*（记 Q0为 O），Qn（Sn，0）.数列an的通项公式 an_.例 115（2022全国高三专题练习）英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列 nx满足 1nnnnf xxxfx，则称数列 nx为牛顿数列如果函数 228f xx，数列 nx为牛顿数列，设2ln2nnnxax，且11a，2nx 数列 na的前n项和为nS，则nS _ 例 116（2022山东日照青山学校高三阶段练习）有一种被称为汉诺塔
50、的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号 A，B，C），在 A杆自下而上由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把 A 杆上的金盘全部移到 C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于 A，B，C 任一杆上.记 n个金盘从 A杆移动到 C杆需要的最少移动次数为na.则4a _.例 117（2022安徽马鞍山二模（理）为保护长江流域渔业资源，2020 年国家农业农村部发布长江十年禁渔计划.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选