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1、1类型四抛物线形问题例 1、已知平面直角坐标系xOy（如图1），直线mxy的经过点)0,4(A和点)3,(nB.（1）求m、n的值；（2）如果抛物线cbxxy2经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求ABPsin的值；（3）设点Q在直线mxy上，且在第一象限内，直线mxy与y轴的交点为点D，如果DOBAQO，求点Q的坐标.【答案】：（1）1n（2）1010sin ABP（3）（4,8）【解析】：（1）直线mxy的经过点)0,4(A04m4m直线mxy的经过点)3,(nB34 n1n（2）由可知点B的坐标为)3,1(抛物线cbxxy2经过点A、B310416cbcb6b，8c抛物线cbxxy2的表
2、达式为862xxy抛物线862xxy的顶点坐标为)1,3(P23AB,2AP,52PB222PBBPAB90PAB图 1Oxy2PBAPABP sin1010sin ABP（3）过点Q作xQH轴，垂足为点H，则QHy轴DOBAQO,QBOOBDOBDQBOOBDBQBOB直线4 xy与y轴的交点为点D点D的坐标为)4,0(,4OD又10OB，2DB25QB，24DQ23AB28AQ,24DQQHy轴AQADQHOD28244QH8QH即点Q的纵坐标是8又点Q在直线4 xy上点Q的坐标为)8,4(例 2、如图在直角坐标平面内，抛物线32bxaxy与 y 轴交于点A，与x 轴分别3交于点B（-1，
3、0）、点C（3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）联结AD、DC，求ACD的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP，若以O、P、C 为顶点的三角形与ABC 相似，求点 P 的坐标【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）)518,56(1P或)2,2(2P【解析】：（1）点 B（-1，0）、C（3，0）在抛物线32bxaxy上033903baba，解得21ba抛物线的表达式为322xxy，顶点D 的坐标是（1，-4）（2）A（0，-3），C（3，0），D（1，-4）23AC，52CD，2AD222ADACCD90CAD.32232121ADACSACD
4、（3）90AOBCAD，2AOACBOAD，CAD AOB，OABACD OA=OC，90AOC45OCAOACACDOCAOABOAC，即BCDBAC若以O、P、C 为顶点的三角形与ABC 相似，且ABC 为锐角三角形备用图第 2 题图4则POC也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD 的表达式是62 xy，设)62,(ttP（30 t）过 P 作 PH OC，垂足为点H，则tOH，tPH26当ABCPOC时,由ABCPOCtantan得BOAOOHPH，326tt，解得56t，)518,56(1P当ACBPOC时,由145tantantanACBPOC得1
5、OHPH，126tt，解得2t，)2,2(2P综上得)518,56(1P或)2,2(2P例 3、已知抛物线经过点、（1）求抛物线的解析式；（2）联结AC、BC、AB，求的正切值；（3）点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P 的坐标【答案】：（1）解得（2）（3）点的坐标为或【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为，将（,）、（，）、（,）代入，得（第3 题图）yxABCO5解得所以，这个二次函数的【解析】式为（2）（,）、（，）、（,），（3）过点P 作，垂足为H设，则（,），当APG 与ABC 相似时，存在以下两种可能：则即解得点的坐
6、标为则6即解得点的坐标为例 4、已知抛物线2yxbxc经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；（2）求ABD 的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH 对称轴，垂足为H，若DPH与AOB 相似，求点P 的坐标.【答案】：（1）抛物线的表达式为243yxx（2）1（3）点 P 的坐标为（5,8），78,39.【解析】：（1）由题意得：013bcc 得：43bc，所以抛物线的表达式为243yxx.（2）由（1）得D（2，1），作 DT y轴于点T,则ABD 的面积=1112 41 31211222 .（3）令P2,432p ppp.由DP
7、H 与AOB 相似，易知AOB=PHD=90，7所以243 132ppp 或243 1123ppp，解得：5p 或73p，所以点P 的坐标为（5,8），78,39.例 5、平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2yxbxc经过点A（1,0）和B（3,0），与 y轴相交于点C，顶点为P（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA=EC，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，MEQ=NEB，求点Q 的坐标【答案】：（1）P 的坐标是（2，-1）（2）m=2（3）5t，点E 的坐标为（5，8
8、）【解析】：（1）二次函数2yxbxc的图像经过点A（1，0）和B（3，0），10930bcbc，解得：4b ，3c这条抛物线的表达式是243yxx.顶点P 的坐标是（2，-1）（2）抛物线243yxx的对称轴是直线2x，设点E 的坐标是（2，m）图 58根据题意得：2222(2 1)(0)(2 0)(3)mm，解得：m=2，点E 的坐标为（2，2）（3）解法一：设点Q 的坐标为2(,43)t tt，记MN 与 x轴相交于点F作 QD MN，垂足为D，则2DQt，2243241DEtttt,QDE=BFE=90，QED=BEF，QDE BFE，DQDEBFEF，224112ttt，解得11t（
9、不合题意，舍去），25t 5t，点E 的坐标为（5，8）解法二：记MN 与 x轴相交于点F联结AE，延长AE 交抛物线于点Q，AE=BE，EF AB，AEF=NEB，又AEF=MEQ，QEM=NEB，点 Q 是所求的点，设点Q 的坐标为2(,43)t tt，作 QH x轴，垂足为H，则QH=243tt，OH=t，AH=t-1，EF x轴，EF QH，EFAFQHAH，221431ttt，解得11t（不合题意，舍去），25t 5t，点E 的坐标为（5，8）例 6、在平面直角坐标系xOy 中，已知点B（8,0）和点C（9，3）抛物线caxaxy82（a，c是常数，a0）经过点B、C，且与x轴的另一
10、交点为A对称轴上有一点M，满足MA=MC（1）求这条抛物线的表达式；（2）求四边形ABCM的面积；（3）如果坐标系内有一点D，满足四边形ABCD是等腰梯形，且 AD/BC，求点D 的坐标y9【答案】：（1）抛物线的表达式：xxy38312（2）3（3）点 D 的坐标)539,513(【解析】：（1）由题意得：抛物线对称轴aax28，即4x点 B（8,0）关于对称轴的对称点为点A（0,0）0c，将 C（9，-3）代入axaxy82，得31a抛物线的表达式：xxy38312（2）点M 在对称轴上，可设M（4，y）又MA=MC，即22MCMA2222)3(54yy,解得y=-3,M（4，-3）MC/
11、AB 且 MC AB,四边形ABCM为梯形，,AB=8,MC=5,AB 边上的高h=yM=32393)58(21)(21MHMCABS(3)将点B（8,0）和点C（9，3）代入bkxyBC可得3908bkbk，解得243bk由题意得，AD/BC,3BCk3ADk，xyAD3又AD 过（0,0），DC=AB=8，设 D(x,-3 x)2228)33()9(xx,解得11x(不合题意，舍去)，5132x5393xy点D 的坐标)539,513(例 7、如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22yaxxc与 x轴交于OBCyAMxCyD10点 A 和点B（1，0），与y轴相交于点C（0，3）（
12、1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（2）求证：DAB=ACB；（3）点Q 在抛物线上，且ADQ 是以AD 为底的等腰三角形，求Q 点的坐标【答案】：（1）顶点坐标D（1，4）（2）DABACB（3）点 Q 的坐标是341 1141,48，3411141,48【解析】：（1）把B（1，0）和C（0，3）代入22yaxxc中，得9603acc，解得13ac 抛物线的解析式是：223yxx 顶点坐标D（1，4）（2）令0y，则2230 xx，13x ，21x，A（3，0）3OAOC，CAO=OCA 在Rt BOC中，1tan3OBOCBOC3 2AC，2DC，2 5AD，2220ACDC，220
13、AD；222ACDCAD，ACD是直角三角形且90ACD，1tan3DCDACAC，又DAC 和OCB 都是锐角，DAC=OCB DACCAOBCOOCA ，即DABACB（3）令(Q x，)y且满足223yxx，(3A,0)，(1D，4）ADQ是以AD 为底的等腰三角形，22QDQA，即2222(3)(1)(4)xyxy，化简得：220 xy由222023xyyxx，11解得11341411418xy，22341411418xy 点Q 的坐标是341 1141,48，3411141,48 例 8、如图8，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是
14、点（1）求和的值；（2）点是轴上一点，且以点、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由【答案】：（1）b=1（2）点有两个，其坐标分别是和（3）点的坐标是或【解析】：（1）由直线经过点，可得.由抛物线的对称轴是直线，可得.（2）直线与轴、轴分别相交于点、，点的坐标是，点的坐标是.抛物线的顶点是点，点的坐标是.图 8xy11O12点是轴上一点，设点的坐标是.BCG 与BCD 相似，又由题意知，BCG 与相似有两种可能情况：如果，那么，解得，点的坐标是.如果，那么，解得，点的坐标是.综上所述，符合要
15、求的点有两个，其坐标分别是和（3）点的坐标是或.例 9、已知：如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23yaxbx的图像与x 轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，顶点C 在直线2x 上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y轴上的点D 处时，点B 落在点E 处（1）求这个抛物线的【解析】式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在 x轴上，点G 在坐标平面内，且以点C、E、F、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标【答案】：（1）抛物线的解析式为243yxx（2）12（3）有152F（,0），252F（-,0），35F（,0），45F（-,0）备用图图
16、 913【解析】：（1）顶点C 在直线2x 上，22 bxa，4 ba将 A（3，0）代入23yaxbx，得933=0ab，解得1a，4 b抛物线的解析式为243yxx（2）过点C 作 CM x轴，CN y轴，垂足分别为M、N243yxx=221x，C（2，1）1CMMA，MAC=45，ODA=45，3ODOA抛物线243yxx与 y轴交于点B，B（0，3），6BD抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积，1226 2122 BCDEBCDSSBD CN（3）联结CE.四边形BCDE是平行四边形，点O是对角线CE与BD的交点，即5OEOC.（i）当CE 为矩形的
17、一边时，过点C 作1CFCE，交x轴于点1F，设点1F a（,0），在1Rt OCF中，22211=OFOCCF，即22(2)5aa，解得52a，点152F（,0）同理，得点252F（-,0）（ii）当CE 为矩形的对角线时，以点O为圆心，OC长为半径画弧分别交x轴于点3F、4F，可得34=5OFOFOC，得点35F（,0）、45F（-,0）综上所述：满足条件的点有152F（,0），252F（-,0），35F（,0），45F（-,0）例 10、如图，已知抛物线y=ax2+bx 的顶点为C（1，1），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B，直线CP 交 x轴于点A（
18、1）求该抛物线的表达式；14（2）如果点 P的横坐标为 m，试用 m的代数式表示线段 BC 的长；（3）如果ABP的面积等于ABC的面积，求点 P坐标【答案】：（1）抛物线的表达式为：y=x2-2 x（2）BC=m-2+1=m-1（3）P的坐标为（12,1）【解析】：（1）抛物线 y=ax2+bx的顶点为 C（1，1）112a bba 解得：12ab 抛物线的表达式为：y=x2-2 x；（2）点 P的横坐标为 m，P的纵坐标为：m2-2m令 BC 与 x 轴交点为 M，过点 P作 PN x 轴，垂足为点 NP是抛物线上位于第一象限内的一点，PN=m2-2m，ON=m，OM=1由PN BMON OM得221mmBMm BM=m-2 点 C的坐标为（1，1），BC=m-2+1=m-1（3）令 P(t，t2-2t)ABP的面积等于ABC的面积AC=AP(第 10 题图)yPOxCBA(第 10 题图)yPOxCBA15过点P 作 PQ BC 交 BC 于点Q CM=MQ=1 t2-2t=112t（12t 舍去）P 的坐标为（12,1）