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1、 1 2020 高考数学选填题专项练习 02（解三角形）（文理通用）第 I 卷（选择题)一、单选题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（2020福建高三期中（理）ABC中，602,3CACAB，则角A()A35 B45 C60 D75【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理求解角B,进而利用内角和为180求解A即可.【详解】由正弦定理有232sinsinsinsin232ACABBBCB.又ACAB,故BC,所以45B.故180456075A.【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用,属于基础题.2.（2020四川省金堂中学校
2、高三（文）小王同学骑电动自行车以24/km h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，20min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A4km B2 2km C4 2km D23km【答案】C【解析】依题意有20248,30,1807510560ABBASABS,45ASB，由正弦定理得sin30sin 45BSAB，解得4 2BS.3（2020河北高三月考（文）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若2 7b，3c，2BC，则cos 2C的值为()A37 B75 C97 D95【答案】D【解析】2
3、【分析】根据正弦定理、二倍角的正弦公式、余弦公式直接进行求解即可.【详解】由正弦定理可得：sinsinbcBC，即sinsin22sincos2 772coscossinsinsin33bBCCCCCcCCC，275cos22cos12199CC 故答案为：59【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了数学运算能力.4.（2020宁夏贺兰县景博中学高三（文）已知ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，若2,7,3CcABC的面积为15 34，则ABC的周长为（）A8 B12 C15 D794【答案】C【解析】【分析】根据1423,35ABCCS，解得
4、15ab，再由余弦定理得22222cos49cababCabab，求得a b即可.【详解】因为2,3CABC的面积为15 34，所以1sin1425 3abC，解得15ab.由余弦定理得22222cos49cababCabab，所以8ab，又因为7c，所以1sin1425 3abC，解得15ab.由余弦定理得22222cos49cababCabab，所以8ab，所以ABC的周长为 15.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5（2020湖南明达中学高三（理）设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(abc)(abc)=ac，s
5、inAsinC=3-14，则角 C=（）AC=15或 C=45 BC=15或 C=30 CC=60或 C=45 DC=30或 C=60【答案】A【解析】3【分析】直接利用关系式的恒等变换，把关系式变形成余弦定理的形式，求出B的值.对 sinAsinC=3-14进行变换，最后求出结果【详解】因为()()abc abcac,所以222acbac 由余弦定理得2221cos22acbBac，因此120B 所以60AC，所以cos()coscossinsinACACAC coscossinsin2sinsinACACAC cos()2sinsinACAC 13132242，故30AC或030AC，因此
6、，15C或45C 故选：A【点睛】本题主要考查三角函数关系式的恒等变换，考查余弦定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题型 6.（2019安徽省怀宁中学高三月考（文）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，120ABC，ABC的平分线交AC于点 D，且1BD，则4ac的最小值为()A9 B7 C5 D13【答案】A【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABCABDBCDSSS,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201 sin601 sin60222acac ，化简得11,1acacac，因此11444(
7、4)()5529,cacaacacacacac当且仅当23ca时取等号.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7（2020江苏金陵中学高三开学考试）在锐角ABC中，已知sin4coscosCAB，则tantanAB的最大值为()A4 B3 C6 D7【答案】A 4【解析】【分析】根据三角形内角和以及两角和的正弦展开整理得tantan4AB，再代入基本不等式即可求解 【详解】在锐角ABC中，已知sin4coscosCAB，则t
8、an0A，tan0B，sinsinsincoscossin4coscosCABABABAB，所以，tantan4AB，由基本不等式可得4tantan2 tantanABAB，可得tantan4AB.当且仅当tantan2AB时，等号成立，因此，tantanAB的最大值为4.故答案为：4.【点睛】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式以及三角形内角和，基本不等式，难度不大，属于中等题 8.（2020山西高三月考（文）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若2acb=cosCcosB，b=4，则ABC 的面积的最大值为（）A43 B23 C33 D3【答案】A【解析】【分析】由已
9、知式子和正弦定理可得3B，再由余弦定理可得16ac，由三角形的面积公式可得所求 【详解】在ABC 中2acb=coscosCB，2coscosacBbC，由正弦定理得2sinsincossin cosACBBC，2sin cossin cossin cossinsinABCBBCBCA 又sin0A，1cos2B，0B，3B在ABC 中，由余弦定理得 22222b162cos2acacBacacacacac，16ac，当且仅当ac时等号成立 ABC 的面积13sin4 324SacBac.故选 A【点睛】解三角形的基本策略 一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形
10、面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.9.（2020宜宾市叙州区第二中学校高三月考（文）ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.若6,2,3bac B，则ABC的面积为（）5 A3 B33 C36 D312【答案】C【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c的方程，应用,a c的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得2222cosbacacB，所以2221(2)2 2
11、62cccc ，即212c 解得2 3,2 3cc（舍去），所以24 3ac，113sin4 3 2 36 3.222ABCSacB【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算 10.（2020黑龙江高三期末（文）已知ABC的内角ABC，的对边分别为abc，且满足22sinsin1 cosACB 若2,2 2ac，则b（）A2 B2 2 C2 3 D3【答案】B【解析】【分析】根据题意，化简22sinsin1 cosACB 为22sinsinsinACB，再利用正弦定理将角化成边，代入数值，即可求解.
12、【详解】由题意可得222sinsin1 cossinACBB，由正弦定理得22acb，因为2,2 2ac 所以2 2b，综上，2 2b，故选：B【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦定理的应用，属于基础题.11（2020 湖北高三（文）已知ABC 的三边分别为 a，b，c，若满足 a2+b2+2c2=8，则ABC 面积的最大值为（）A55 B2 55 C3 55 D53【答案】B【解析】【分析】根据 a2+b2+2c2=8，得到22282abc，由余弦定理得到22cos83abCc，由正弦定理得到 6 2sin4abCS，两式平方相加得 22224834abcS，而222822abcab，两式结合
13、有 222222248283165Scccc，再用基本不等式求解.【详解】因为 a2+b2+2c2=8，所以22282abc，由余弦定理得222283cos22abccCabab，即22cos83abCc,由正弦定理得in12sSabC，即2sin4abCS,由，平方相加得 222222222483482abcSabc，所以 22222222221 16556448283165525ccScccc，即245S，所以2 55S，当且仅当22ab且221655cc即222128,55abc时，取等号.故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中
14、档题.12.（2020汕头市潮阳实验学校高三月考（理）如图，在平面四边形ABCD中，1AD，5BD，ABAC，2ACAB，则CD的最小值为()A5 B33 C5 D53【答案】C【解析】【分析】设ADB，在ABD中，利用正弦定理得sin5sinABBAD，利用余弦定理得262 5cosAB，从而得到与BAD的关系，再由2BADDAC可得与DAC之间的关系，利用余弦定理可得22520sin()CD，再利用三角函数的有界性可得答案.【详解】设ADB，在ABD中，由正弦定理得sinsinABBDBAD，即5sinsinABABD 7 sin5sinABBAD，由余弦定理得2222cos62 5cos
15、ABADBDAD BD，ABAC，2BADDAC，在ACD中，由余弦定理得2222cosCDADACAD ACDAC2144sinABABBAD258 5cos4 5sin 2520sin()，当sin()1时，min5CD.故答案为：5【点睛】本题考查正余弦定理在解三角形中的综合运用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意确定以什么为变量，建立函数关系.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在题中的横线上。13（2020广东高三月考（文）在ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若()(sinsin)abAB()si
16、nacC,2b，则ABC的外接圆面积为_【答案】43【解析】【分析】化简得到222abacc，根据余弦定理得1cos2B，再用正弦定理得到2 33R，得到答案.【详解】()(sinsin)()sinabABacC，故()()()ab abac c，即222abacc.根据余弦定理：2221cos22acbBac，故3sin2B.根据正弦定理：2sinbRB，解得2 33R，故243SR.故答案为：43.【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.14.（2020洪洞县第一中学高三期中（文）如图,无人机在离地面高 200m 的 A 处,观测到山顶 M 处的仰角为 15、山脚
17、C 处的俯角为 45,已知MCN=60,则山的高度 MN 为_m.【答案】300【解析】由条件，,所以,所以 8,这样在中，,在中，解得,中，故填 300.【点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.15（2020浙江高三）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知 acosB=bcosA，6A，边 BC 上的中线长为 4则 c=_；AB BC_【答案】8 217 967 【解析】【分析】由正弦定理得 sinAcosB=sinBcosA，计算可得
18、B=A6，由正弦定理可得 c3a，再结合余弦定理，可求解 c,a,从而可求解.AB BC【详解】由 acosB=bcosA，及正弦定理得 sinAcosB=sinBcosA，所以 sin（AB）=0，故 B=A6，所以由正弦定理可得 c3a，由余弦定理得 16=c2+（2a）22c2acos6，解得 c8 217；可得 a8 77，可得AB BC accosB8 78 213967727 故答案为：8 217，967【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.16（2020新沂市第一中学高三）在ABC中，三个内角,A B C的对边分别为
19、,a b c，若2 5b，4B，5sin5C，则a _.【答案】6【解析】【分析】利用正弦定理先求出c，可得C为锐角，再利用同角三角函数关系求出cosC，利用sinsin()AB C及两角和的正弦公式求出sin A，再利用正弦定理即可求出a 9【详解】在ABC中，由正弦定理得sinsinbcBC，即2 55sin45c，所以2 2cb，所以C为锐角，所以2252 5cos1 sin1()55CC，所以sinsin()sincoscossinABCBCBC 223 10222510555，由正弦定理得sinsinabAB，即2 53 102102a，解得6a 故答案为6【点睛】本题主要考查正弦定理、同角三角函数关系及两角和的正弦公式的应用，属于中档题