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1、-.z.牛吃草问题 教学目标：1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系 知识点拨：英国科学家牛顿在他的普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定“牛吃草”问题是小学应用题中的难点 解“牛吃草”问题的主要依据：草的每天生长量不变；每头牛每天的食草量不变；草的总量草场原有的草量新生的草量，其中
2、草场原有的草量是一个固定值 新生的草量每天生长量天数 同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”；草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题 例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。改养廿三只
3、，九周走他方；若养二十一，可作几周粮.（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27 头牛 6 个星期可以吃完，或者 23 头牛 9 个星期可以吃完。若是 21 头牛，要几个星期才可以吃完.（注：牧场的草每天都在生长）【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162份；23头牛吃9周共吃了23 9207份 第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245份草，这 45 份草是牧场的草963周生长出来的，所以每周生长的草量为45315，则原有草量为：1626 1572 供 21 头牛吃，若有 15 头牛去吃每周生长的草，剩下 6
4、 头牛需要72612(周)可将原有牧草吃完，即它可供 21 头牛吃 12 周【巩固】牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长 这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天 供25 头牛可吃几天.【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，10 头牛吃 20 天共吃了1020200份；15 头牛吃 10 天共吃了15 10150份第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这 50 份草是牧场的草201010天生长出来的，所以每天生长的草量为50105，则原有草量为：2005 20100 供 25 头牛吃，若有 5 头牛去吃每天生长的草，剩下 20 头牛需要100205(
5、天)可将原有牧草吃完，即它可供 25 头牛吃 5 天【例 2】牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，则它可供多少头牛吃 18 周.-.z.【解析】设 1 头牛 1 周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15，原有草量为(2715)672，可供72181519（头）牛吃 18 周【巩固】有一块匀速生长的草场，可供 12 头牛吃 25 天，或可供 24 头牛吃 10 天则它可供几头牛吃 20天.【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，则251015天生长的草量为122524 1060，所以每天生长的草量为60154；原有草量为
6、：24410200 20 天里，草场共提供草200420280，可以让2802014头牛吃 20 天【巩固】一牧场放牛 58 头，7 天把草吃完；若放牛 50 头，则 9 天吃完假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，则放多少头牛 6 天可以把草吃完【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为 1 个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22，原有草量为：509229252，(252226)664(头)【巩固】林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果要4 周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃.（假定野果生长的速度不变）【解
7、析】设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(21 1223 9)(129)15，原有的野果为(2315)972，如果要 4 周吃光野果，则需有7241533只猴子一起吃【例 3】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知*块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 15 头牛吃 6 天照此计算，可以供多少头牛吃 10 天.【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，则每天自然减少的草量为：2051566510，原有草量为：20105150；10 天吃完需要牛的头数是：15010105(头)【巩固】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速
8、度在减少。如果*块草地上的草可供 25 头牛吃 4 天，或可供 16 头牛吃 6 天，则可供多少头牛吃 12 天.【解析】设 1 头牛 1 天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少(254166)(64)2；原来牧场有草(252)4108，12 天吃完需要牛的头数是：1081227(头)或(108122)127（头）。【例 4】一块匀速生长的草地，可供 16 头牛吃 20 天或者供 100 只羊吃 12 天如果一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃草量，则这块草地可供 10 头牛和 75 只羊一起吃多少天.【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于 5 只羊一天的吃
9、草量，所以 100 只羊吃 12 天相当于 20 头牛吃 12 天则每天生长的草量为 162020 12201210，原有草量为：161020120 10 头牛和 75 只羊 1 天一起吃的草量，相当于 25 头牛一天吃的草量；25 头牛中，若有 10 头牛去吃每天生长的草，则剩下的 15 头牛需要120158天可以把原有草量吃完，即这块草地可供 10头牛和 75 只羊一起吃 8 天 巩固：有一片草场，草每天的生长速度相同。若 14 头牛 30 天可将草吃完，70 只羊 16 天也可将草吃完(4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量)。则，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完【解析
10、】“4 只羊一天的吃草量相当于 1 头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为 1，则 14头牛 30 天吃了144 301680 单位草量，而 70 只羊 16 天吃了16701120单位草量，所以草场在每天内增加了(16801120)(3016)40草量，原来的草量为112040 16480草量，所以如果安排 17 头牛和 20 只羊，即每天食草 88 草量，经过480(8840)10天，可将草吃完。【巩固】一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供 20 头牛吃 12 天，或可供 60 只羊吃 24 天。如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，则 12 头牛与 88 只羊
11、一起吃可以吃几天.【解析】设 1 头牛 1 天的吃草量为“1”，60只羊的吃草量等于15头牛的吃草量，88只羊的吃草量等于22头 牛 的 吃 草 量，所 以 草 的 生 长 速 度 为(152420 12)(2412)10，原 有 草 量 为(2010)12120，12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃120(122210)5（天）模块二、“牛吃草问题”的变形【例 5】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果 10 人淘水，3 小时淘完；如 5 人淘水，8 小时淘完.如果要求 2 小时淘完，要安排多少人淘水.-.z.【解析】设 1 人 1 小时淘出的水量是“1”，淘水速度是(5 8
12、103)(83)2，原有水量(102)324，要求2小时淘完，要安排242214人淘水【巩固】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果 3 人淘水 40 分钟可以淘完；6人淘水 16 分钟可以把水淘完，则，5 人淘水几分钟可以把水淘完.【解析】设 1 人 1 分钟淘出的水量是“1”，401624分钟的进水量为3 406 1624，所以每分钟的进水量为24241，则原有水量为：3140805 人淘水需要805120(分钟)把水淘完【例 6】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，则他走过 20 级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台
13、阶，则走过 30 级台阶到达地面 从站台到地面有级台阶【解析】本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，则他走过 20 秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，则走过 15 秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶.”采用牛吃草问题的方法，电梯20155秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：2 151 2010 阶，电梯的速度为1052阶/秒，扶梯长度为20(12)60（阶）。【巩固】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走 3 级梯级，女孩每秒可走 2 级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了
14、100 秒，女孩走了 300 秒。问：该扶梯共有多少级梯级.【解析】本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级女孩走的时间男孩每秒走的梯级男孩走的时间）（女孩走的时间男孩走的时间）(23003 100)(300100)1.5，自动扶梯的梯级总数女孩每秒走的梯级女孩走的时间自动扶梯的速度女孩走的时间2 3001.5300600450150（级）所以自动扶梯共有 150 级的梯级。【例 7】一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的
15、排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则10分钟把水池的水排完问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水.【解析】设一个排水阀 1 分钟排水量为“1”，则进水阀 1 分钟进水量为 1 302 1030100.5，水池原有水量为10.53015关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要1535(分钟)才能排完水池的水【巩固】一个蓄水池有 1 个进水口和 15 个出水口，水从进水口匀速流入当池中有一半的水时，如果打开 9 个出水口，9 小时可以把水排空如果打开 7 个出水口，18 小时可以把水排空如果是一满池水，打开
16、全部出水口放水，则经过时分水池刚好被排空【解析】本题是牛吃草问题的变形 设每个出水口每小时的出水量为 1，则进水口每小时的进水量为：(7 1899)(189)5，半池水的量为：(95)936，所以一池水的量为 72 如果打开全部 15 个出水口，排空水池所需要的时间为72(155)7.2小时，即 7 小时 12 分钟 课后练习：1、仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用 4 辆汽车，则 9 天恰好运完；如果每天用 5 辆汽车，则 6 天恰好运完。仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要多少天运完.【解析】设1辆汽车1天运货为“1”，进货速度
17、为(9456)(96)2，原有存货为(42)918，仓库里原有的存货若用 1 辆汽车运则需要181 18（天）2、一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 16 头牛可吃 15 天，或者可供 100 只羊吃 6 天，而 4 只羊的吃草量相当于 l 头牛的吃草量，则 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃多少天【解析】设头牛天的吃草量为“”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析-.z.16 头牛 15 天 1615240：原有草量15 天生长的草量 100 只羊（25 头牛）6 天 256150：原有草量6 天生长的草量 从上易发现：1 天生长的草量10；则原有草量：15010690；8
18、 头牛与 48 只羊相当于 20 头牛的吃草量，其中 10 头牛去吃新生草，则剩下的 10 头牛吃原有草，90 只需 9 天，所以 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃 9 天。3、一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5 台抽水机连续 20 天抽干，6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干，若要 6 天抽干，要多少台同样的抽水机.【解析】设1台抽水机1天的抽水量为“1”则进水速度为(205156)(2015)2，原有水量为20520260，若要 6 天抽干，要606212台同样的抽水机 4、*建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 250 个工人砌砖墙，6 天可以把砖用
19、完，如果派 160 个工人，10 天可以把砖用完，现在派 120 名工人砌了 10 天后，又增加 5 名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完.【解析】开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”所以设 1 名工人 1 天砌砖数量为“1”，则每天运来的砖为 160 10250610625，原有砖的数量为：2502561350 如果 120 名工人砌 10 天，将会砌掉 10 天新运来的砖以及 950 原有的砖，还剩1350950400的原有的砖未用，变成1205125人来砌砖，还需要：400125254(天)5、一水库原有存水量一定，
20、河水每天均匀入库.5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干.若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机.【解析】水库原有的水与 20 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天.205100(台).水库原有的水与 15 天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天.6 1590(台).每天流入的水可供多少台抽水机抽 1 天.(10090)(2015)2(台).原有的水可供多少台抽水机抽 1 天.10020260(台).若 6 天抽完，共需抽水机多少台.606212(台).设立几个检票口 55511(个)6、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶
21、的扶梯上，男孩每秒向上走 1 梯级，女孩每 3 秒钟走 2 梯级。结果男孩用 50 秒到达楼上，女孩用 60 秒到达楼上。该楼梯共有多少级.【解析】该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：(50 1603 2)(6050)1 。自动扶梯的梯级总数：50(1 1)100(级)7、食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派 5 个工人加工食品 30 天可以把面粉用完，如果派 4 个工人，40 天可以把面粉用完，现在派 4 名工人加工了 30 天后，又增加了 2 名工人一起干，还需要几天加工完.【分析】开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”设 1 名工人 1 天用掉面粉的量为“1”，则每天运来的面粉量为 44053040301，原有面粉量为：5130120如果 4 名工人干 30 天，则将会加工掉 30 天新运来的面粉量以及 90原有的面粉量，原有还剩1209030未加工，而后变成 6 名工人，还需要30616(天)可以加工完