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1、 培优点十二 数列求和 1错位相减法 例 1：已知 na是等差数列，其前n项和为nS，nb是等比数列，且112ab，4427ab，4410Sb（1）求数列 na与 nb的通项公式；（2）记11 21nnnnTa baba b，nN，求证：12210nnnTab 【答案】（1）31nan，2nnb；（2）见解析【解析】（1）设 na的公差为d，nb的公比为q，则3441127327abadb q，34411104610Sbadb q，即332322786210dqdq，解得：32dq，31nan，2nnb （2）23123422 2nnTnn，23+123123422 2nnTnn，得 1231
2、24 213123 2222 22312321nnnnnTnn 10 22 3112nn，所证恒等式左边10 22 31nn，右边2102 3110 2nnnabn ，即左边右边，所以不等式得证 2裂项相消法 例 2：设数列 na，其前n项和23nSn，nb为单调递增的等比数列，1 23512bb b，1133abab （1）求数列 na，nb的通项公式；（2）若21nnnnbcbb，求数列 nc的前n项和nT【答案】（1）63nan，12nnb；（2）11121nnT 【解析】（1）2n时，22133163nnnaSSnnn ，当1n 时，113aS 符合上式，63nan，nb为等比数列31
3、232512bb bb，28b，设 nb的公比为q，则21328,8bbbb qqqq，而315a ，113383158ababqq ，解得2q 或12q ，nb单调递增，2q，21222nnnbb（2）111112211222121 212121nnnnnnnnnc，112231111111212121212121nnnnTcc 1111111212121nn 一、单选题 1已知等差数列 na中918S，240nS，4309nan，则项数为（）A10 B14 C15 D17【答案】C【解析】199599182aaSa，52a，154230240222nnnn aan aanS，15n，故选
4、C 对点增分集训 2 在等差数列 na中，满足4737aa，且10a，nS是 na前n项的和，若nS取得最大值，则n（）A7 B8 C9 D10【答案】C【解析】设等差数列首项为1a，公差为d，由题意可知14330ad，10a，2111352233nn ndaSnann，二次函数的对称轴为358 754n .，开口向下，又nN，当9n 时，nS取最大值故选 C 3对于函数 yf x，部分x与y的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 3 7 5 9 6 1 8 2 4 数 列 nx满 足：11x，且 对 于任 意nN，点1nnxx,都 在 函 数 yf x的图 象 上，则1
5、22015xxx（）A7554 B7549 C7546 D7539【答案】A【解析】由题意可知：13f，35f，56f，61f，13f，点1nnxx,都在函数 yf x的图象上，则11x，23x，35x，46x，511xx，则数列 nx是周期为 4 的周期数列，由于20154 5033，且123415xxxx，故122015503 151357554xxx故选 A 4 设等差数列 na的前n项和nS，44a，515S，若数列11nna a的前m项和为1011，则m（）A8 B9 C10 D11【答案】C 【解析】nS为等差数列 na的前n项和，设公差为d，44a，515S，则4534155aS
6、a，解得1d，则44nann 由于1111111nna an nnn，则11111110112231111mSmmm ，解得10m 故答案为 10故选 C 5 在等差数列 na中，其前n项和是nS，若90S，100S，则在11Sa，22Sa，99Sa中最大的是（）A11Sa B88Sa C55Sa D99Sa【答案】C【解析】由于19959902aaSa，110105610502aaSaa，可得50a，60a，这样110Sa，220Sa，550Sa，660Sa，990Sa，而125SSS，125aaa，在11Sa，22Sa，99Sa中最大的是55Sa故选 C 6设数列 1n的前n项和为nS，则
7、对任意正整数n，nS（）A 112nn B 1112n C 112n D 112n【答案】D【解析】数列 1n是首项与公比均为1的等比数列 其前n项和为 1 1111112nnnS 故选 D 7 已 知 数 列 na满 足11a，121211nnnana，12212141nnnnanabn，12nnTbbb，若nmT恒成立，则m的最小值为（）A0 B1 C2 D12 【答案】D【解析】由题意知，12121nnnaabnn，由121211nnnana，得11111212121212 2121nnaannnnnn，12111111111112133521212212nnTbbbnnn，12nT 恒
8、成立，12m，故m最小值为12，故选 D 8数列 na的前n项和为nS，若 1nnan，则2018S（）A2018 B1009 C2019 D1010【答案】B【解析】由题意，数列 na满足 1nnan，2018123420172018123420172018Saaaaaa 1234201720181009 ，故选 B 9已知数列 na中，12321nnaaaanN，则2222123naaaa等于（）A1413n B1213n C41n D221n【答案】A【解析】设12321nnnSaaaanN，由1112,nnnSnaSSn，解得12nna，令214nnnba，故22221231413nn
9、aaaa故选 A 10已知函数 223sin2nf nn，且 naf n，则123200aaaa（）A20100 B20500 C40100 D10050【答案】A 【解析】naf n，当n为偶数时，2223sin2nf nnn，当n为奇数时，2223sin2nf nnn ，故222221232001234199200aaaa -21 1220019920019912319920020100 故选 A 11 已 知 数 列 na满 足：112a，21a，112nnnaaannN,，则132435111a aa aa a201820201aa的整数部分为（）A0 B1 C2 D3【答案】B【解析
10、】1111111111111111nnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 111111111111nnnnnnnnnaaaaaaaa a，原式1223201820192019202020192020111112a aa aaaaaaa，当3n时，201920202019202011121,2naaaaa ，整数部分为 1，故选 B 12对于任意实数x，符号 x表示不超过x的最大整数，例如 33，122，121已知数列 na满足2lognan，其前n项和为nS，若0n是满足2018nS 的最小整数，则0n的值为（）A305 B306 C315 D316【答案】D
11、【解析】由题意，2lognan，当1n 时，可得10a，（1 项）当1222n时，可得231aa，（2 项）当2322n时，可得4572aaa，（4 项）当3422n时，可得89153aaa，（8 项）当4522n时，可得1617314aaa，（16 项）当122nnn时，可得12212nnnaaan，（2n项）则前n项和为12341 22232422nnSn ，2345121 22232422nnSn ，两式相减得2341222222nnnSn，1112222122018nnnnSnn，此时8n，当8n 时，对应的项为83162aa，即0316n，故选 D 二、填空题 13已知数列 na满足
12、 112nnnaan n，记nS为 na的前n项和，则40S_【答案】440【解析】由 112nnnaan n 可得：当2nk时，有2212kkaak，当21nk时，有212221kkaak，当21nk时，有21221kkaak，有22241kkaak，有21211kkaa，则 40135739246840Saaaaaaaaaa 1091 1071523107 1084402 故答案为 440 14n表示不超过n的最大整数若11233S，24567810S，3910111213141521S，则nS _【答案】21nn，nN【解析】第一个等式，起始数为 1，项数为2234121，11 3S ，
13、第二个等式，起始数为 2，项数为2259432，225S，第三个等式，起始数为 3，项数为22716943，337S，第n个等式，起始数为n，项数为22121nnn，21nSnn，nN，故答案为21nSnn，nN 15已知函数 113sin22f xxx，则122018201920192019fff_；【答案】2018【解析】111113sin13sin 12222f afaaaaa 112sinsin222aa，设122018201920192019Sfff，则201820171201920192019Sfff，得1201822018403620192019Sff，2018S 故答案为 20
14、18 16定义12nnppp为n个正整数1p，2p，np的“均倒数”，若已知数列 na的前 n项的“均倒数”为15n，又5nnab，则1 22310 11111bbb bb b_；【答案】1021【解析】数列 na的前n项的“均倒数”为15n，15nnSn，解得25nSn，115aS，当2n时，221551105nnnaSSnnn，当1n 时，上式成立，则105nan，215nnabn，11111121222 2121nnb bnnnn，则1 22310 1111111111111111011233557192122121bbb bb b 故答案为1021 三、解答题 17正项等差数列 na中
15、，已知0na，12315aaa，且12a，25a，313a 构成等比数列 nb的前三项（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）求数列nna b的前n项和nT【答案】（1）21nan，15 2nnb；（2）521 21nnTn【解析】（1）设等差数列的公差为d，则由已知得：1232315aaaa，即25a，又52513100dd，解得2d 或13d （舍去），123aad，1121naandn，又1125ba，22510ba，2q，15 2nnb；（2）215 35 272212nnTn ，2325 3 25 272212nnTn ，两式相减得21532222222125 1221nnnnTn
16、n，则521 21nnTn 18已知nS为数列 na的前n项和，且12a，0na，2632nnnSaa，nN（1）求数列 na的通项公式；（2）若对n N，2(1)nnnba，求数列 nb的前2n项的和2nT【答案】（1）32nan；（2）22183nTnn【解析】（1）2632nnnSaa，nN，当2n时，221116663232nnnnnnnaSSaaaa，化为1130nnnnaaaa，0na，13nnaa，当1n 时，2111632aaa，且12a，解得11a 数列 na是等差数列，首项为 1，公差为 313132nann；（2）22(1)(1)(32)nnnnban 22212(65)(62)3 1273621nnbbnnnn，nb的前2n项的和22136 122136211832nn nTnnnnn