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1、 1 二次根式 1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根。2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变。如：-2x4，不等式两边同除以-2 得 x-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如 3、分式有意义的条件：分母0 4、绝对值：a=a（a0）；a=-a（a0）一、二次根式的概念 一般地，我们把形如 a（a0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为 2，即“2 ”，我们一般省略根
2、指数 2，写作“”。如25 可以写作 5 。（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。（3）式子 a 表示非负数 a 的算术平方根，因此 a0，a 0。其中 a0 是 a 有意义的前提条件。（4）在具体问题中，如果已知二次根式 a，就意味着给出了 a0 这一隐含条件。（5）形如 b a（a0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。要注意当 b 是分数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3，但不能写成 2 23 2。练习：一、判断下列各式，哪些是二次根式？（1）6；（2）-18；（3）x2+1；（4）3-8；（5）x2+2x+1；（6）3 x；（7）
3、1+2x（x-12）X-2 X5 的解集为-2x5。2 二、当 x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）2-5x；（2）4x2+4x+1 二、二次根式的性质：二次根式的性质 符号语言 文字语言 应用与拓展 注意 a（a0）的性质 a 0（a0）一 个 非 负数 的 算 术平 方 根 是非负数。（1）二次根式的非负性（a 0，a0）应用较多，如：a+1+b-3=0，则 a+1=0，b-3=0，即 a=-1，b=3；又如x-a+a-x，则 x 的取值范围是 x-a0，a-x0，解得x=a。（2）具有非负性的性质：a20；a0；a 0（a0）。（3）若 a2+b+c=0，则 a=0，b=0，c=0，
4、即若几个非负数的和等于 0，则这几个非负数分别等于0。a（a0）的最小值为0。（a）2（a0）的性质（a）2=a（a0）一 个 非 负数 的 算 术平 方 根 的平 方 等 于它本身。正用公式：（5）2=5；（m2+1）2=m2+1；逆用公式：若a0，则 a=（a）2如：2=（2）2，12=（12）2 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-（5）2=(a+5)(a-5)a2 的性质 a2=a=a（a0）或 a2=a=-a（a0）一 个 数 的平 方 的 算术 平 方 根等 于 这 个数 的 绝 对值。（1）正用公式：（3-2)=3-=3-（2）逆用公式：313 =3213 =3
5、化简形如 a2 的式子时，先转化为 a形式，再根据a 的符号去掉绝对值号。练习：计算（1）（35 ）2 (2)（4 3）2 (3)（-62)（4）-（-18）2 （6）x2-2x+1+x2-6x+9（1x3）（a）2（a0）与 a2 的区别与联系：3 （a）2 a2 区 别 表示的意义不同 表示非负数 a 的算术平方根的平方 表示 a2的算术平方根 取值范围不同 a0 a 为任意实数 读法不同 读作“根号 a 的平方”或“a的算术平方根的平方”读作“根号 a2”或“a 的平方的算术平方根”被开方数不同 被开方数是 a 被开方数是 a2 运算顺序不同 先开放后平方 先平方后开方 运算结果，运算依
6、据不同（a）2=a，依据平方与开平方互为逆运算得到 依据算术平方根的定义得到 作用不同（a）2 =a（a0），正向运用可化简二次根式，逆向运用可以将任意一个非负数写成一个数的平方的形式 a2=a，正向运用可以将根号内的非负因式取算术平方根移到根号外，逆用运用可以将根号外的非负因式平方后移到根号内 联 系 含有两种相同的运算，都要进行平方与开方 结果都是非负数；a0 时，（a）2=a2 三、代数式 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式。例：3，x，x+y，3x（x0），-ab，st（t0，x3都是代数式 注（1）单独一个数或字母也是代数
7、式；（2）代数式中不能含有关系符号（，=等）（1）将两个代数式用关系符号（，=等）连接起来的式子叫关系式，方程和不等式都是关系式。如 2x+33x-5 是关系式。练习：下列式子：0；22+x=4；x-23 1；2a+3b；2-x(x2)，其中是代数式的有（）4 列代数式的常用方法：（1）直接法：根据问题的语言叙述直接写出代数式。（2）公式法：根据公式列出代数式。（3）探究规律法：将蕴含在一组数或一组图形中的排列规律用代数式表示出来。练习：列代数式（1）把 a 本书平均分给若干名学生，若每人分 5 本，还余 3 本，则学生人数为（）（2）若圆 A 的半径 r 是圆 B 的半径的 5 倍，则这两个
8、圆的周长之和为（）典型例题剖析 题型一：二次根式有意义的条件 当 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）x+5-3-2x；（2）2x-11-x；（3）x-3+3+x 题型二：利用二次根式的非负性化简求值 已知 a2+b-2=4a-4，求 ab的值。题型三：二次根式非负性的简单应用 已知实数x，y满足x-4+y-8=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）题型四：利用 a2=a并结合数轴化简求值 已知实数 a，b 在数轴上的位置如图所示。试化简：a2+b2+（a-b）2+（b-1）2-（a-1）2 题型五：a2=a与三角形三边关系的综合应用 在ABC 中，a，b，c 是三角形
9、的三边长，化简（a-b+c）2-2c-a-b 题型六：逆用（a）2 =a（a0）在实数范围内分解因式 在实数范围内分解因式：（1）x4-4；（2）x4-4x2+4 5 二次根式的乘除 1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。2、单项式与单项式相除，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。一、二次根式的乘法法则 a b=ab（a0，b0）即：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变（1）进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数 a，b 均为非负数
10、这一条件。（2）推广 a b c=abc（a0，b0，c0）a b c d=ac bd 乘法交换律和结合律在二次根式的乘法中任然可应用。练习：（1）28 7；（2）14 256；（3）4 xy 1y (4)6 27 （-2 3）二、二次根式乘法法则的逆用 ab=a b（a0，b0）即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积 利用这个性质可以把二次根式化简，在进行二次根式的化简运算时，先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后再将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外。注：（1）公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足 a0，b0，实际上，公式中的 a，b 是限制公式右边的，对公
11、式的左边，只要 ab0 即可，如（-4）（-9）-4 -9。（2）在本章中如果没有特别说明，所有的字母都表示正数。推广：abcd=a b c d（a0，b0，c0，d0）练习：化简 （1）300；（2）（-14）（-112）；（3）200a5b4c3；（4）132-122；（5）16x4+32x2 三、二次根式的除法法则 a b =ab （a0，b0）即：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。6 注：（1）a 必须是非负数，b 必须是正数，式子才成立。若 a，b 都是负数，虽然ab 0，ab 有意义，但 a，b 在实数范围内无意义；若 b=0，则ab 无意义。（2）如果被开方数是带分数，应
12、先将其化成假分数，如414 必须先化成174 ，以免出现414 =4 14 这样的错误。（3）在二次根式的计算中，最后结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式。推广：（m a）（n b）=（mn）（a b），其中 a0，b0，n0。练习：计算（1）48 6；（2）-27（310 38 ）；（3）a4b 4a3b（-a4b ；（4）72a2b 6b 四、二次根式除法法则的逆用 ab =a b （a0，b0）即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。注：公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式，但必须满足 a0，b0。公式中的a，b 是限制公式右边的，对公式的左
13、边，只要ab 0 即可。例如计算-3-4 ，不能写为-3-4 =-3-4 ，而应写为-3-4 =34 =3 4 =3 2。利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为a b （a0，b0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可。当被开方数是带分数时，应先把它化成假分数。7 练习：化简（1）549 ；（2）81125144 ；（3）121b516a2 五、最简二次根式的概念 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。对于最简
14、二次根式的概念我们可作如下解释：（1）被开方数中不含分母，因此被开方数是整数或整式；（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都是 1。化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方 8=42=2 2，x3y4=x2y4x=xy2x 化 去根 号下 的分母 若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数 113=43=4333=233 或113=43=43=4 33 3=233 若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数 0.9=910=90100=31010或 0.9=910=910=9 1010 10=31010 被开方数是多项式的要先进行因式分解 X5+2x3y
15、2+xy4=x（x4+2x2y2+y4）=x（x2+y2）2=（x2+y2）x 练习：下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由。（1）0.3；（2）25 xy；（3）yx；（4）x 3；（5）a3+6a2+9a；（6）2（x2-y2）；（7）32n；（8）2 3 拓展：分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化。分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号。分母有理化因式不唯一，但
16、以运算最简便为宜。常用的有理化因式有：a与 a；a+b与 a+b；a-b与 a-b；a+b与 a-b；a b+c d与 a b-c d等。练习：把下列二次根式化成最简二次根式：（1）240；（2）1.25；（3）1720；（4）75a2b 8 典型例题剖析 题型一：二次根式乘除法法则成立的条件（1）若 x+3 x-3=（x+3）（x-3）成立，则（）A、x3 B、x-3 C、-3x3 D、x 为任意实数（2）如果xx-6=xx-6成立，那么（）A、x6 B、0 x6 C、x0 D、x6 题型二：二次根式的化简 化简：（1）12ab9a34；（2）412-402；（3）x4+x2 题型三：二次根
17、式的乘法混合运算 计算：（1）2123 28（-5227）；（2）2a2-b26aa3a+6b（45a-bb）题型四：利用二次根式的性质把根号外的非负因数（式）移到根号内 把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内：（1）535；（2）-3 2；（3）-2a12a；（4）-a-1a；（5）xyx（x0，y0）题型五：二次根式的大小比较 比较大小：（1）7 2与 3 11；（2）-2 11与-3 5 二次根式的加减 1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，例如 3ab 与-4ab 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并同类项后，所得项的系数是合
18、并前各同类项的系数和，且字母部分不变。3、整式的加减：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。4、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式（ab）2=a22ab+b2 5、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得 9 的积相加，即（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn 一、可以合并的二次根式 将二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同，则这样的二次根式可以合并。合并的方法与合并同类项类似，把括号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据是乘法分配律，如 m a+n a=（m+n）a 练习：化简下列二次根
19、式，并指出哪些是可以合并的二次根式。（1）27；（2）-15 27a；（3）13；（4）2a3b（a0，b0）；（5）b127a3；（6）2 243；（7）329ab（a0，b0）；（8）332ab（a0，b0）；二、二次根式的加减 二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。二次根式的加减法与整式的加减法类似，步骤如下：（1）将各个二次根式化成最简二次根式；（2）找出化简后被开方数相同的二次根式；（3）合并被开方数相同的二次根式将系数相加仍作为系数，根指数与被开方数保持不变，可简记为：化简判断合并。二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下：运算
20、二次根式的乘除法 二次根式的加减法 系数 系数相乘除 系数相加减 被开方数 被开方数相乘除 被开方数不变 化简 结果化成最简二次根式 先化成最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式 注：（1）化成最简二次根式后被开方数不同的二次根式不能合并，但是不能丢弃，它们也是结果的一部分；（2）整式加减运算中的交换律、结合律、去括号法则、添括号法则在二次根式运算中仍然适用；（3）根号外的因式就是这个根式的系数，二次根式的系数 10 是带分数的要化成假分数的形式。练习：计算：（1）239x+6x4-2x1x；（2）（24-0.5+223）-（18-6）二、二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的
21、混合运算顺序一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）。在二次根式的运算中，有理数的运算律、多项式乘法法则及乘法公式仍然适用。注：在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的尽量使用乘法公式，有时还需要灵活运用公式和逆用公式，这样可以使计算过程大大化简。练习：计算（1）3（6+8）；（2）（4 3-3 6）2 3；（3）（6+2）（6-3）（4）（5+7）（5-7）；（5）（5+2）2；（6）（2 3-2）2；典型例题剖析 题型一：二次根式的化简求值问题 已知 a=15-2，b=15+2，求 a2+b2+2 题型二：巧解二次根式的混合运算题 计算：（1）（2 3-18）（12+3 2）；（2）（3-1）2+（3+2）2-2（3-1）（3+2）（3）（2+3-5）2-（2-3+5）2；（4）a a-a ba-ab-a-ba+b