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1、 培优点十八 离心率 1离心率的值 例 1：设1F，2F分别是椭圆2222:10 xyCabab的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段1PF的中点在y轴上，若1230PF F，则椭圆的离心率为（）A33 B36 C13 D16【答案】A【解析】本题存在焦点三角形12PFF，由线段1PF的中点在y轴上，O为12FF中点可得2PFy轴，从而212PFFF，又因为1230PF F，则直角三角形12PFF中，1212:2:1:3PFPFF F，且122aPFPF，122cFF，所以12122323FFcceaaPFPF，故选 A 2离心率的取值范围 例 2：已知F是双曲线22221xyab0,0ab的左焦
2、点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（）A1,B1,2 C1,12 D2,12【答案】B【解析】从图中可观察到若ABE为锐角三角形，只需要AEB为锐角由对称性可得只需0,4AEF即可 且AF，FE均可用a，b，c表示，AF是通径的一半，得：2bAFa，FEac，所以222tan1112AFbcacaAEFeFEa aca aca ，即1,2e，故选 B 一、单选题 1若双曲线2222:10,0 xyCabab的一条渐近线经过点2,1，则该双曲线C的离心率为（）A10 B5 C132 D52【答案】D【解
3、析】双曲线的渐近线过点2,1，代入byxa，可得：21ba ，即12ba，2222512cbeaa，故选 D 2 倾斜角为4的直线经过椭圆222210 xyabab右焦点F，与椭圆交于A、B两点，且2AFFB，则该椭圆的离心率为（）A23 B22 C33 D32【答案】A【解析】设直线的参数方程为2222xctyt，代入椭圆方程并化简得22224112022abtb ctb，所以212222 2b cttab，412222bttab，由于2AFFB，即122tt，代入上述韦达定理，化简得2228cab，即2229ca，23ca故选 A 3 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股
4、”，讲述了“勾股定理”及一些应用，还提出了一元二次方程的解法问题直角三角形的三条边长分别称“勾”“股”“弦”设1F、2F分别是双曲线 222210,0 xyabab，的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若1PF，2PF分别是12RtFPF对点增分集训 的“勾”“股”，且124PFPFab，则双曲线的离心率为（）A2 B3 C2 D5【答案】D 【解析】由双曲线的定义得122PFPFa，所以22124PFPFa，即222121224PFPFPFPFa，由题意得12PFPF，所以222212124PFPFF Fc，又124PFPFab，所以22484caba，解得2ba，从而离心率5cea，故
5、选 D 4已知双曲线2212210,0:xyCabab的一个焦点F与抛物线2220:Cypx p的焦点相同，它们交于A，B两点，且直线AB过点F，则双曲线1C的离心率为（）A2 B3 C21 D2【答案】C【解析】设双曲线1C的左焦点坐标为,0Fc，由题意可得：,0F c，2pc，则,2pAp，,2pBp，即,2A cc，,2B cc，又：2AFAFa，2222222 2AFF FAFccc，据此有：2 222cca，即21 ca，则双曲线的离心率：12121cea本题选择 C 选项 5已知点000,P xyxa 在椭圆2222:10 xyCabab上，若点M为椭圆C的右顶点，且POPM（O为
6、坐标原点），则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A30,3 B0,1 C2,12 D20,2【答案】C 【解析】由题意POPM，所以点P在以OM为直径的圆上，圆心为,02a，半径为2a，所以圆的方程 为：22224aaxy，与椭圆方程联立得：222210bxaxba，此方程在区间0,a上有解，由于a为此方程的一个根，且另一根在此区间内，所以对称轴要介于2a与a之间，所以2222 1aaaba，结合222abc，解得221122ac，根据离心率公式可得212e故选 C 6 已知椭圆222210 xyabab，点A，B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得120APB，则该椭圆的离心率的最小值为（
7、）A22 B32 C63 D34【答案】C【解析】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得120AMBAPB，即60AMO，因为tanaOMAb，所以tan603ab，3ab，2223aac，2223ac，223e，63e，故选 C 7已知双曲线22221xyab的左，右焦点分别为1F，2F，点P在双曲线的右支上，且124PFPF，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A43 B53 C2 D73【答案】B【解析】由双曲线的定义知122PFPFa ；又124PFPF，联立解得183PFa，223PFa，在12PFF中，由余弦定理，得222212644417999cos8288233aacFPFeaa，要求
8、e的最大值，即求12cos FPF的最小值，当12cos1FPF 时，解得53e，即e的最大值为53，故选 B 解法二：由双曲线的定义知122PFPFa ，又124PFPF，联立解得183PFa，223PFa，因为点P在右支所以2PFca，即23aca故53ac，即e的最大值为53，故选 B 8已知椭圆222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，点P在椭圆上，O为坐标原点，若1212OPFF，且212PF PFa，则该椭圆的离心率为（）A34 B32 C12 D22【答案】D【解析】由椭圆的定义可得，122PFPFa，又212PFPFa，可得12PFPFa，即P为椭圆的短轴的端点，
9、OPb，且1212OPFFc，即有22cbac，即为2ac，22cea故选 D 9若直线2yx与双曲线222210 xyabab有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A1,5 B1,5 C5,D5,【答案】D【解析】双曲线222210 xyabab的渐近线方程为byxa，由双曲线与直线2yx有交点，则有2ba，即有21+145cbeaa，则双曲线的离心率的取值范围为5,，故选 D 10我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知1F，2F是一对相关曲线的焦点，1e，2e分别是椭圆和双曲线的离心率，若 为它们在第一象限的交点，1260FPF，则双曲线的离心率2e（）A
10、2 B2 C3 D3【答案】C【解析】设1,0Fc，2,0Fc，椭圆的长半轴长为a，双曲线的实半轴长为m，可得122PFPFa，122PFPFm，可得1PFam，2PFam，由余弦定理可得2221212122cos60FFPFPFPFPF，即有2222243camamamamam，由离心率公式可得2212134ee，1 21ee，即有4222430ee，解得23e，故选 C 11又到了大家最喜（tao）爱（yan）的圆锥曲线了已知直线:210l kxyk 与椭圆22122:10 xyCabab交于A、B两点，与圆222:211Cxy交于C、D两点若存在2,1k ，使得ACDB，则椭圆1C的离心
11、率的取值范围是（）A10,2 B1,12 C20,2 D2,12【答案】C【解析】直线:210l kxyk，即210k xy，直线l恒过定点2,1，直线l过圆2C的圆心，ACDB，22ACC B，2C的圆心为A、B两点中点，设11,A x y，22,B xy，22112222222211xyabxyab，上下相减可得：1212121222xxxxyyyyab，化简可得2121221212xxyybkyyaxx，222bka，221,122bka ，2220,2bea，故选 C 12已知点P为双曲线222210 xyabab右支上一点，点1F，2F分别为双曲线的左右焦点，点I是12PFF的内心（
12、三角形内切圆的圆心），若恒有121 213IPFIPFIF FSSS成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A1,2 B1,2 C0,3 D1,3【答案】D【解析】设12PFF的内切圆半径为r，由双曲线的定义得122PFPFa，122FFc，1112PFSPFr，2212PFSPFr，1 2122PF FSc rcr，由题意得12111223PFrPFrcr，故12332cPFPFa，故3cea，又1e，所以，双曲线的离心率取值范围是1,3，故选 D 二、填空题 13 已知抛物线220ypx p与双曲线222210,0 xyabab有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，若直线AF的斜率为3，则双
13、曲线的离心率为_ 【答案】723【解析】如图所示，设双曲线的另外一个焦点为1F，由于AF的斜率为3，所以60BAF，且AFAB，所以ABF是等边三角形，所以130FBF，所以12 3BFc，4BFc，所以2221164242cos12028AFcccc，所以12 7AFc，由双曲线的定义可知22 74acc，所以双曲线的离心率为723 14已知双曲线222210,0 xyabab，其左右焦点分别为1F，2F，若M是该双曲线右支上一点，满足123MFMF，则离心率e的取值范围是_【答案】1,2【解析】设M点的横坐标为x，123MFMF，M在双曲线右支上xa，根据双曲线的第二定义，可得223aae
14、 xe xcc，2exa，xa，exea，2aea，2e，1e，12e，故答案为1,2 15已知椭圆222210 xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，过1F的直线与椭圆交于A，B的两点，且2AFx轴，若P为椭圆上异于A，B的动点且14PABPBFSS，则该椭圆的离心率为_ 【答案】33【解析】根据题意，因为2AFx轴且2,0Fc，假设A在第一象限，则2,bA ca，过B作BCx轴于C，则易知121AFFBFC，由14PABPBFSS得113AFBF，所以23AFBC，1213FFCF，所以25,33bBca，代入椭圆方程得222225199cbaa，即222259cba，又222bac，
15、所以223ca，所以椭圆离心率为33cea 故答案为33 16在平面直角坐标系xOy中，记椭圆222210 xyabab的左右焦点分别为1F，2F，若该椭圆上恰好有 6 个不同的点P，使得12FF P为等腰三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是_ 【答案】1 11,13 22【解析】椭圆上恰好有 6 个不同的点P，使得12FF P为等腰三角形，6 个不同的点有两个为椭圆短轴的两个端点，另外四个分别在第一、二、三、四象限，且上下对称左右对称，设P在第一象限，11PFPF，当1122PFFFc时，21222PFaPFac，即222aac，解得12e，又因为1e，所以112e，当2122PFFFc时，
16、12222PFaPFac，即222acc且2cac，解得：1132e，综上112e或1132e 三、解答题 17已知双曲线2222:10,0 xyCabab的的离心率为3，则（1）求双曲线C的渐进线方程（2）当1a 时，已知直线0 xym与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆225xy上，求m的值【答案】（1）2yx；（2）1m 【解析】（1）由题意，得3cea，223ca，22222bcaa，即222ba，所求双曲线C的渐进线方程2byxxa （2）由（1）得当1a 时，双曲线C的方程为2212yx 设A，B两点的坐标分别为11,x y，22,xy，线段AB的中点为00,M x
17、y，由22120yxxym，得22220 xmxm（判别式0），1202xxxm，002yxmm，点00,M xy在圆225xy上，2225mm，1m 18已知椭圆2222:10 xyCabab的左焦点为1,0F，离心率22e （1）求椭圆C的标准方程；（2）已知直线l交椭圆C于A，B两点 若直线l经过椭圆C的左焦点F，交y轴于点P，且满足PAAF，PBBF求证：为定值；若OAOB，求OAB面积的取值范围【答案】（1）2212xy；（2）见解析，3222OABS【解析】（1）由题设知，22ca，1c，所以22a，1c，21b，所以椭圆C的标准方程为2212xy（2）由题设知直线l斜率存在，设直
18、线l方程为1yk x，则0,Pk 设11,A x y，22,B xy，直线l代入椭圆2212xy得2222124220kxk xk，所以2122412kxxk，21222212kx xk，由PAAF，PBBF知 111xx，221xx，2222121222121222444212124422111212kkxxx xkkkkxxx xkk 当直线OA，OB分别与坐标轴重合时，易知22OABS 当直线OA，OB斜率存在且不为 0 时，设:OA ykx，1:OB yxk，设11,A x y，22,B xy，直线ykx代入椭圆C得到222220 xk x，所以212212xk，2212212kyk，同理2222212kxk，212212yk 22242221112252122OABkkSOAOBkkkk，令211tk，则22222211112121512911242OABttSttttttt，因为10,1t，所以291192424t，故3222OABS，综上3222OABS