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1、 2017-2018 学年度 2015 级高三第二学期第三次模拟考试试题 数学（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1命题 P：2,00 xfRx则P为（）A.2,xfRx B.2,xfRx C.2,0 xfRx D.2,0 xfRx 2复数iiz1（i为虚数单位）在复平面内关于虚轴对称的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3下面是一段演绎推理：大前提：如果一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的所有直线；小前提：已知直线 b平面，直线 a 平面；结论：所以直线 b直线
2、a.在这个推理中()A.大前提正确，结论错误 B.大前提错误，结论错误 C.大、小前提正确，只有结论错误 D.小前提与结论都是错误的 4设的三内角、成等差数列，、成等比数列，则这个三角形的形状是（）A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 5运行如图所示的程序框图，若输出的S是 254，则应为（）A.5?n B.6?n C.7?n D.8?n 6已知函数 2sin0,2fxx的部分图像如图所示，将函数 f x的图像向左平移12个单位长度后，所得图像与函数 yg x的图像重合，则（）A.2sin 23g xx B.2sin 26g xx C.2sin2g xx D.2s
3、in 23g xx 7某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为 1，则该几何体的外接球的表面积为（）B.C.D.8已知变量，满足约束条件，则的概率是（）A.B.C.D.9已知倾斜角为的直线 交双曲线于两点，若线段的中点为，则双曲线的离心率是（）A.B.C.D.10在三棱锥 P-ABC 中，ABC 和PBC 均为等边三角形，且二面角 P-BC-A 的大小为0120，则异面直线 PB 和 AC 所成角的余弦值为()A.85 B.43 C.87 D.41 11.魔术师用来表演的六枚硬币中，有 5 枚是真币，1 枚是魔术币，它们外形完全相同，但是魔术币与真币的重量不同，现已知 和 共重
4、10 克，共重 11 克，共重 16 克，则可推断魔术币为()A.B.C.D.12.如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在 轴上，且过点，圆，过圆心的直线 与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13用秦九韶算法求多项式,当时多项式的值为_.14下列 4 个命题：已知随机变量 服从正态分布，若，则等于0.3；设，则；二项式的展开式中的常数项是 45；已知，则满足的概率为 0.5.其中真命题的序号是_ 15.已知向量1,3,1,1,2abc，若向量2abc 与共线，则向量 a 在向量 c 方向上的投影为_.16.若直角坐
5、标平面内两点,P Q满足条件：,P Q两点分别在函数 yf x与 yg x的图象上；,P Q关于y轴对称，则称,P Q是函数 yf x与 yg x的一个“伙伴点组”（点组,P Q与,Q P看作同一个“伙伴点组”）.若函数,(0),0lnx xf xxx 与 1g xxa有两个“伙伴点组”，则实数a的取值范围是_.三、解答题 17（12 分）已知数列满足.()求数列的通项公式；()证明：.18.（12 分）前几年随着网购的普及，线下零售遭遇挑战，但随着新零售模式的不断出现，零售行业近几年呈现增长趋势，下表为20142017年中国百货零售业销售额（单位：亿元，数据经过处理，14分别对应201420
6、17）：年份代码x 1 2 3 4 销售额y 95 165 230 310 （1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于x的回归方程，并预测 2018 年我国百货零售业销售额；（3）从20142017年这 4 年的百货零售业销售额及 2018 年预测销售额这 5 个数据中任取 2 个数据，求这 2 个数据之差的绝对值大于 200 亿元的概率.参考数据：4411800,2355iiiiiyx y，421158.9,52.236iiyy 参考公式：相关系数12211niiinniiiixxyyrxxyy，回归方程yabx中斜率和截距的最小二乘估计公
7、式分别为 121niiiniixxyybxx，aybx.19（12 分）如图，在几何体中，平面平面，为的中点.（）证明：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.20（12 分）已知椭圆：的一个焦点 与抛物线：的焦点重合，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率大于 0 且过点 的直线 与椭圆及抛物线自上而下分别交于，如图所示，若，求.21.（12 分）已知函数 2ln,3xf xxx g xxaxe（a 为实数）.（1）当5a 时，求函数 g x的图像在1x 处的切线方程；（2）求 f x在区间,20t tt上的最小值；（3）若存在两个不等实数121,x xee，使方程 2xg xe f x
8、成立，求实数 a 的取值范围.选考题：共 10 分.请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修 4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数ttytx4232以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若与交于两点，点 的极坐标为，求的值 【选修 4-5：不等式选讲】若关于 x 的不等式32310 xxt 的解集为 R，记实数 t 的最大值为 a.（1）求 a 的值；（2）若正实数,m n满足45mna，求14233ymnmn的最小值.理科答案 1.【解析】根据
9、特称命题的否定为全称命题,易知原命题的否定为:故选 B.2.A 3.【解析】直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直 故大前提错误，结论错误 故选 B 4.【解析】由题意，根据等差数列、等比数列的中项公式，得，又,所以 ,，由正弦定理得，又，得，从而可得，即为等边三角形，故正确答案为 A.5.【解析】根据程序框图可知：该程序的作用是累加 S=2+22+2n 的值，并输出满足循环的条件 S=2+22+26+27=254，故中应填 n7 故选：C A 7.【解析】由三视图知，该几何体为三棱锥，高为 3，其一个侧面与底面垂直，且底面为等腰直角三角形，所以球心在垂直底面的侧面的三角形
10、高上，设球半径为 R，则解得，所以球的表面积为，故选 A.8.【解析】由变量满足约束条件 画出可行域如图所示，则的几何意义是可行域内的点与连线的斜率不小于，由图形可知，直线与直线的交点为，直线与的交点为，的概率是，则的概率是.故选 D A 【解析】设,因为 AB 的中点为 P(2,-1),所以 又 两式相减并整理可得 解得 A 建系处理 11.【解析】5 枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可知，C，D 中一定有一个为假的，假设 C 为假币，则真硬币的重量为 5 克，则 C 的重量为 6 克，满足 A，C，E 共重 16 克，故假设成立，若 D 为假币，则真硬币的重量为 5 克
11、，不满足 A，C，E 共重 16 克，故假设不成立，则 D是真硬币，故选：C 12.【解析】设抛物线的方程 则，抛物线的标准方程 焦点坐标由直线 过抛物线的焦点，则 圆 圆心，半径1，|的最小值为 23，故选 A 13.【解 析】，则 ，故答案为.14.【解析】已知随机变量 服从正态分布，若，则，根据图像的对称性得到则等于 0.35；故不正确；设 故正确.二项式的展开式中的通项是，当 r=2 时就是常数项，代入得到 45.故正确.已知，则满足的 x 的范围是,概率为 0.5.故答案为：15.【解析】0 16.【解析】设点,x y在 f x上，则点,x y所在的函数为,0,0lnxxh xx x
12、，则 g x与 h x有两个交点，g x的图象由1yx的图象左右平移产生，当 1f x 时，xe，如图，所以，当 g x左移超过e个单位时，都能产生两个交点，所以a的取值范围是,e。17.【解析】试题分析：（1）根据递推关系可得出一个等差数列，进而求出数列的通项公式；（2）放缩，累加后相加相消即可证出.试题解析：由可知列为等差数列，且首项为，公差为 2，故 依题可知 所以 故 18.解析：（1）由表中的数据和参考数据得 2.5,200 xy，4422115,158.9iiiixxyy，44411123552.5 800355iiiiiiiixxyyx yxy，3550.9992.236 158
13、.90r.因为y与x的相关系数近似为 0.999，说明y与x的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系.（2）由200y 及（1）得41421355715iiiiixxyybxx，20071 2.522.5aybx，所以y关于x的回归方程为22.715yx.将 2018 年对应的5x 代入回归方程得22.571 5377.5y.所以预测 2018 年我国百货零售业销售额为 377.5 亿元.（3）从这5个数据中任取2个数据，结果有：95,165,95,230,95,310,95,377.5,165,230,165,310,165,377.5，230,310,230,377.5
14、,310,377.5共 10 个.所取 2 个数据之差的绝对值大于 200 亿元的结果有：95,310,95,377.5,165,377.5，共 3 个，所以所求概率310P.19.试题解析：（）取中点，连接，又 为的中点，且，四边形是平行四边形，而且平面，平面，平面；（），平面平面，且交于，平面，由（）知，平面，又，为中点，如图，以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，即，令，得，直线与平面所成角的正弦值为.20.试题解析：(1)易知 的坐标为，所以，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）设直线 的方程为，代入，得，设，则，因为，所以.将代入，得.设，则,所以，故.22.试题解析：（1）曲线的普通方程为0234 yx；曲线的直角坐标方程为：（2）38 23.