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1、 1 解三角形的知识点和题型汇总及练习 一、知识必备：1 直角三角形中各元素间的关系：在ABC中，C90，ABc，ACb，BCa。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinAcosBca，cosAsinBcb，tanAba。2 斜三角形中各元素间的关系：在ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）三角形内角和：ABC。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 RCcBbAa2sinsinsin（R为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平
2、方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面积公式：（1）S21aha21bhb21chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）S21absinC21bcsinA21acsinB；4 解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等主要类型：（1）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第
3、2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角.第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5 三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换 因为在ABC 中，A+B+C=，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=cosC；tan(A+B)=tanC。2 2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.6 求解三角形应用题的一般步骤：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）
4、建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。二、典例解析 题型 1：正、余弦定理 例 1 （1）在ABC中，已知cmaBA40,75,30，解三角形；（2）在ABC中，已知20acm，220bcm，30A，解三角形。题型 2：三角形面积 例 2 在ABC中，sincosAA22，AC2，3AB，求Atan的值和ABC的面积。解法一：先解三角方程，求出角 A 的值。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA 又0180A,4560,105.AA 13tantan(4560)231
5、3A ,.46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinA SACABAABC1212232643426sin()。解法二：由sincosAA计算它的对偶关系式sincosAA的值。sincosAA22 3 21(sincos)212sincos20180,sin0,cos0.1(sin2)2AAAAAAAA 另解 23cossin21)cos(sin2AAAA,sincosAA62 +得sin A 264。得cos A 264。从而sin264tan23cos426AAA 。题型 3：三角形中的三角恒等变换问题 例 3在ABC中，A、B、C 所对的边分别是
6、a、b、c，已知2222abcab，则C()A.2 B.4 C.23 D.34 题型 4：正、余弦定理判断三角形形状 例 4 在ABC中，若 2cosBsinAsinC，则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：2sinAcosBsinC=sin（AB）=sinAcosB+cosAsinB sin（AB）0，AB 题型 5：三角形中求值问题 例 5 ABC的三个内角为ABC、，求当 A 为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C=，得B+C2=2 A2，所以有 cosB+C2=sinA2。
7、cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=12sin2A2+2sinA2=2(sinA2 12)2+32；当 sinA2=12，即 A=3 时,cosA+2cosB+C2取得最大值为32。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。4 题型 6：正余弦定理的实际应用 例 6如图，A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D 为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B点和 D 点的仰角分别为075，030，于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为060，AC=0.1km。试探究图中 B，D 间距离与另外哪
8、两点间距离相等，然后求 B，D 的距离（计算结果精确到 0.01km，21.414，62.449）解:在ABC 中，DAC=30,ADC=60DAC=30,所以 CD=AC=0.1 又BCD=1806060=60，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BD=BA，在ABC 中，,ABCsinCBCAsinAAB即 AB=,2062315sinACsin60 因此，BD=。km33.020623故 B，D 的距离约为 0.33km。三、思维总结 1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C=求C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c
9、），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C=，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C=求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C=，求角C。2 三角学中的射影定理：在ABC 中，AcCabcoscos，3两内角与其正弦值：在ABC 中，BABAsinsin，4 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。三、课后训练 1.若ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:1
10、3ABC，则ABC （）（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC 及正弦定理得 a:b:c=5:11:13 由余弦定理得0115213115cos222c，所以角 C 为钝角 2.在ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c，若223abbc，sin2 3sinCB，则 A=()5（A）030 （B）060 （C）0120 （D）0150【答案】A【解析】2 32 322cbcbRR，所以 cosA=2222+c-a322bbccbcbc=32 3322bc
11、bcbc，所以 A=300 3.在ABC中，a=15,b=10,A=60，则cos B=A 2 23 B 2 23 C 63 D 63【答案】D【解析】根据正弦定理sinsinabAB可得1510sin60sin B解得3sin3B，又因为ba，则BA，故 B 为锐角，所以26cos1sin3BB，故 D 正确.4.在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若2a，b=2，sinB+cosB=2，则角 A 的大小为（）A 2 B3 C4 D6 5.在ABC中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，若角 2B=A+C，且1,3,ABCabS则=（）A 2 B3 C 32 D2
12、 6.在ABC中，若2coscossin2CAB，则ABC是（）A 等边三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D 直角三角形 7.在ABC中,已知,2,4,3cba则CbBccoscos()A 2 B 3 C 4 D 5 8.若(a+b+c)(b+ca)=3bc,且 sinA=2sinBcosC,那么 ABC 是（）A直角三角形 B等边三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形 9、设 A、B、C 为三角形的三内角,且方程(sinBsinA)x2+(sinAsinC)x+(sinCsinB)=0 有等根，那么角 B（）AB60 BB60 CB60 DB 60 10、D,C,B 三点在地面同一直线上,
13、DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分别是,(),则 A 点离地面的高度 AB 等于（）6 A)sin(sinsina B)cos(sinsina C)sin(cossina D)cos(sincosa 11.在ABC中,cba,分别是角CBA,的对边,且cabCB2coscos,则角B的大小为 12.A 为 ABC 的一个内角,且 sinA+cosA=127,则 ABC 是_ _三角形.13、在 ABC 中，若 SABC=41(a2+b2c2),那么角C=_.14、在 ABC 中，a=5,b=4,cos(AB)=3231,则 cosC=_.15.在锐角ABC中，1,2,BCBA则cos
14、ACA的值等于 ，AC的取值范围为 .解析 设,2.AB 由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC 由锐角ABC得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).AC 16、在 ABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状：B=60,b2=ac；b2tanA=a2tanB；sinC=BABAcoscossinsin(a2b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(AB).分析：化简已知条件，找到边角之间的关系，就可判断三角形的形状.由余弦定理 acaccaacbcaacbca22222222212260cos 0)(2ca，ca.
15、由 a=c 及 B=60可知ABC 为等边三角形.由BBaAAbBaAbcossincossintantan2222,2sin2sin,cossincossinsinsincossincossin2222BABBAAABabBAABA=B 或 A+B=90o ABC 为等腰或 Rt.BABACcoscossinsinsin，由正弦定理：,)cos(cosbaBAc再由余弦定理：baacbcacbccbac22222222RtABCbacbacba为,0)(222222.由 条 件 变 形 为2222)sin()sin(babaBABA90,2sin2sinsinsinsincoscossin,
16、)sin()sin()sin()sin(2222BABABABABABAbaBABABABA或.A B D C 7 ABC 是等腰或 Rt.17.在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c且满足sincos.cAaC（I）求角C的大小；（II）求)cos(sin3CBA的最大值，并求取得最大值时角,A B的大小 解析：（I）由正弦定理得sinsinsincos.CAAC因为0,A 所以sin0.sincos.cos0,tan1,4ACCCCC从而又所以则 （II）)cos(sin3)cos(sin3AACBA=)6sin(2cossin3AAA 又121166,430AA，所以26A
17、即3A时 2sin()6A取最大值 2 综上所述，)cos(sin3CBA的最大值为 2，此时5,.312AB 18.在ABC中，cba,分别为内角CBA,的对边，且2 sin(2)sin(2)sin.aAbcBcbC （）求A的大小；（）求sinsinBC的最大值.解：（）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abc bcb c 即222abcbc 由余弦定理得 2222cosabcbcA 故 1cos2A ，A=120 （）由（）得：sinsinsinsin(60)BCBB31cossin22sin(60)BBB 故当 B=30时，sinB+sinC取得最大值 1 19.在ABC中，内角
18、A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且s i n c o s3c o s s i n,ACAC 求 b 解法：在ABC中则sincos3cossin,ACAC由正弦定理及余弦定理 8 有:2222223,22abcbcaacabbc（角化边）化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.20.在ABC中，AB、为锐角，角ABC、所对的边分别为abc、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、的值。解（I）AB、为锐角，510sin,sin510AB 222 53 10cos1 sin,cos1 sin510AABB 2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB 0AB,4AB （II）由（I）知34C，2sin2C 由sinsinsinabcABC得 5102abc，即2,5ab cb 又 21ab 221bb 1b 2,5ac