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1、 第 1 页 黄冈市 2013 年高三年级 3 月份质量检测 数学试题（理科）第卷（选择题 共 50 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1复平面内，复数20132izi，则复数z的共轭复数z对应的点的象限 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A3 B 2 C 1 D.0 3如图 2 所示的韦恩图中，A、B 是两非零集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合，第 2 页 若2,|ln(2),|,0 xx yR Ax yxxBy yex，则AB为 A.|02
2、xx B.|12x xx或 C.|012xxx或 D.|012xxx或 4若设,m n是两条不同的直线，,是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是 A.若,/,mn则mn B.若/,mn m则n C.若/,l 则l D.若/,/,m 则m 5高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲，乙相邻，则甲丙相邻的概率为 A.110 B.14 C.310 D.25 6有以下命题：命题“2,20 xR xx”的否定是：“2,20 xR xx”；已知随机变量服从正态分布2(1,)N，(4)0.79,P则(2)0.21P；函数131()()2xf xx的零点在区间1 1(,)3 2内；其中正确
3、的命题的个数为 A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 7已知 A，B，C，D 是函数sin()(0,0)2yx 一个周期内的图象上的四个点，如图所示，(,0),6AB 为y轴上的点，C 为图像上的最低点，E 为该函数图像的一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称，CD 在x轴上的投影为12，则,的值为 A.2,3 B.2,6 C.1,23 D.1,26 8已知 O 为坐标原点，双曲线22221xyab(0,0)ab的右焦点 F，以 OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点 A、B，若()0AOAFOF，则双曲线的离心率e为 A.2 B.3 C.2 D.3 9等差数列na前n
4、项和为nS，已知310061006(1)2013(1)1,aa 第 3 页 310081008(1)2013(1)1,aa 则 A.2013100810062013,Saa B.2013100810062013,Saa C.2013100810062013,Saa D.2013100810062013,Saa 10已知 O 是锐角三角形ABC 的外接圆的圆心，且,A若coscos2,sinsinBCABACmAOCB 则m Asin B.cos C.tan D.不能确定 第卷（非选择题 共 100分）二、填空题：本大题共 6 小题，考生共需作答 5 小题。每小题 5 分，共 25 分。请将答案
5、填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（1114 题）11某校共有学生 1000 名，其中高一年级有 380 人，高二年级男生有 180 人，已知在全校学生中制抽取 1 名，抽到高二年级的女生的概率为 0.19，现采取分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100 人，则应在高三年级抽取的人数是 .12已知121(11),axdx则61()2axx展开式中的常数项为 .13设 P 是不等式组,013x yxyxy 表示的平面区域内的任意一点，向量(1,1)m，(2,1)n，若OPmn（,为实数），则2的最大值为 。14已知椭圆22221(0),(,),(,)x
6、yabP x y Q x yab是椭圆上两点，有下列三个不等式222();abxy2221111();xyab221xxyyab.其中不等式恒成立的序号是 .（填所有正确命题的序号）（二）选考题（请考生在第 15、16 题两题中任选一题作答，如果全选，则按第 15 题结果计分）15（几何证明选讲）已知 C 点在O 直径 BE 的延长线上，CA 切 第 4 页 O 于 A 点，若 ABAC，则ACBC .16（坐标系与参数方程）曲线 C1的极坐标方程为2cossin,曲线 C2的参数方程为31xtyt，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则曲线 C1上的点与曲线 C2上的点最近的距离为
7、 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 12 分）已知向量2(3sin,1),(cos,cos).444xxxmn记()f xm n.（）若3()2f，求2cos()3的值；（）在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是a、b、c，且满足(2)coscosacBbC，若13()2f A，试判断ABC 的形状.18（本小题满分 12 分）已知na是一个公差大于 0 的等差数列，且满足362755,16a aaa.（）求数列na的通项公式；（）令*214()1nnbnNa，记数列 nb的前n项和为nT，对于任意的*nN，不等式10
8、0nmT 恒成立，求实数m的最小值.第 5 页 19（本小题满分 12 分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为13，乙组能使生物成活的概率为12，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的.（）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率.（）如果乙小组成功了 4 次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率.（）若甲乙两小组各进行 2 次试验，设试验成功的总次数为，求的期望.20（本小题满分 12 分）已知某几何体的直观图和三视
9、图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（）求证：BN平面 C1B1N；（）设为直线 C1N 与平面 CNB1所成的角，求sin的值；（）设 M 为 AB 中点，在 BC 边上找一点 P，使 MP平面 CNB1，并求BPPC的值.21（本小题满分 13 分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆的方程为22221(0),xyabab它的离心率为12，一个焦点是(-1,0)，过直线4x 上一点引椭圆的两条切线，切点分别是 A、B.()求椭圆的方程；()若在椭圆22221(0)xyabab上的点00(,)xy处的切线方程是00221x xy yab.求证：直线 AB
10、恒过定点 C，并求出定点 C 的坐标；第 6 页 ()是否存在实数使得|ACBCACBC恒成立？(点C为直线AB恒过的定点)若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22（本小题满分 14 分）设()(1)xf xea x.()若0,()0af x对一切xR恒成立，求a的最大值.（）设()()xag xf xe，且112212(,),(,)()A x yB x yxx 是曲线()yg x上任意两点，若对任意的1a ，直线 AB 的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；（）求证：*13(21)(2)()1nnnnennnNe.黄冈市 2013年高三质量检测数学试题答案（理科）一、选择题 ABDCB A
11、ACBA 二、11.25 12.-160 13.5 14.15.33 16.827 17.解：第 7 页 2311()3sincoscossincos44422222xxxxxf x 1sin262x2 分 （I）由已知32f()得13sin2622，于是24,3kk，22241333cos()cosk 6 分（）根据正弦定理知：2coscos(2sinsin)cossincosacBbCACBBC.8分 12sincossin()sincos23ABBCABB 13()2f A 10 分 113sin2622263AA或233A或 而203A，所以3A，因此ABC 为等边三角形.12 分 1
12、8 （I）解：设等差数列 na的公差为 d，则依题设 d 0 由 a2+a716.得12716ad 由3655,aa得11(2)(5)55adad 由 得12167ad将 其 代 入 得(163)(163)220dd.即22569220d 214,0,2,11(1)221ndddaann又代入得 6 分 （）由（I）得1-2nan 1421nnab=1111111n242nnnn）（11111(1)()()2231nTnn=1-1n11 第 8 页 100nmT 恒成立.1001100mm m 的最小值为 100 12 分 19.（1）甲 小 组 做 了 三 次 实 验，至 少 两 次 试 验
13、 成 功 的 概 率 为 )(AP277)31()311()31(3332223CC 3 分 （2）乙小组在第 4 次成功前，共进行了 6 次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其中各种可能的情况种数1224A,因此所求的概率)(BP=32321)21()21(1233 7 分 （3）由题意的取值为 0,1,2,3,4 91)21()32()31()0(2022002CCP 2021112)21()32()31()1(CCP31)21()32()31(2122002CC 2020222)21()32()31()2(CCP+3613)21()32()31()21()32()31(22
14、220022121112CCCC 61)21()32()31()21()32()31()3(22211122120222CCCCP 361)21()32()31()4(2220222CCP 10 分 故的分布列为 0 1 2 3 4 P 91 31 3613 61 361 35361461336132311910E 12 分 20.解：（1）证明该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，BA，BC，BB1两两垂直。2 分 以 BA，BC，BB1分别为zyx,轴建立空间直角坐标系，则 N（4,4,0），B1（0,8,0），C1（0,8,4），第 9 页 C（0,0,4）1
15、1NBBN=（4,4,0）（-4,4,0）=-16+16=011CBBN=（4,4,0）（0,0,4）=0 BNNB1，BNB1C1且 NB1与 B1C1相交于 B1，BN平面 C1B1N；4 分（II）设),(2zyxn 为平面1NCB的一个法向量，则 2210(,)(4,4,4)0(,)(4,4,0)00nCNx y zx y znNB 210,(1,1,2),(4,4,4)0 xyznC Nxy 取 则(4,4,4)(1,1,2)2sin|;31616161 14 8 分（III）M（2,0,0）.设 P(0,0,a)为 BC 上一点,则),0,2(aMP,MP/平面 CNB1,.102
16、2)2,1,1(),0,2(22aaanMPnMP 又11/,CNBMPCNBPM平面平面6 分,当 PB=1 时 MP/平面 CNB1 13BPPC 12 分（用几何法参照酙情给分。）21.解：（I）设椭圆方程为222210 xyabab的焦点是1,0，故1c，又12ca，所以222,3abac，所以所求的椭圆方程为22143xy.4 分（II）设切点坐标为11,A x y,22,B xy,直线l上一点 M 的坐标4,t，则切线方程分别为11143x xy y，22143x xy y，又两切线均过点 M，即11221,133ttxyxy，即点 A,B的坐标都适合方程13txy，故直线 AB
17、的方程是13txy，显然直线13txy恒过点（1,0），故直线 AB 恒过定点1,0C.9 分（III）将直线 AB 的方程13txy，代入椭圆方程，得 223141203tyy，即2242903tyty，第 10 页 所以121222627,1212tyyy ytt，不妨设120,0yy，22222111191193ttACxyyy，同理2293tBCy，12 分 所以221212221212121131133999yyyyACBCyyy yy yttt 222222261081212311449 144427939912ttttttt ，即43ACBCACBC，故存在实数43，使得ACBC
18、ACBC.13 分 22.解：（）f（x）=ex-a（x+1），f（x）=ex-a，1 分 a0，f（x）=ex-a=0 的解为 x=lna f（x）min=f（lna）=a-a（lna+1）=-alna，3 分 f（x）0 对一切 xR 恒成立，-alna0，alna0，amax=1 4 分（II）设21xx、是任意的两实数，且21xx mxxxgxg1212)()(，故2211()()g xmxg xmx 6 分 不妨令函数mxxgxF)()(，则），在（-)(xF上单调递增，恒成立0)()(mxgxF 7 分 Rxa，对任意的1-，)(xgm恒成立)(2)(xxxxeaeeaaexga=aa231)1(2a 故3m 9 分（III）由（1）知 exx+1，取x=ni2,12,3,1ni得1-rieri22 即22()2innien 12 分 第 11 页 累加得(eeeeeeeennnnnnnnnn11)1()212()23()21(12121232212 nnnnneen)2(1)12(31 故存在正整数 a=2使得nnnnnaeen)(1)12(31 14 分