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1、 高中数学复习：导数的概念及其意义 大重点一：变化率问题和导数的概念 考点一：瞬时速度的定义(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)一般地，设物体的运动规律是 ss(t)，则物体在 t0到 t0t 这段时间内的平均速度为stst0tst0t.如果 t无限趋近于 0 时，st无限趋近于某个常数 v，我们就说当 t 无限趋近于 0 时，st的极限是 v，这时 v 就是物体在时刻 tt0时的瞬时速度，即瞬时速度 vlimt0 stlimt0 st0tst0t.考点二 函数的平均变化率 对于函数 yf(x)，设自变量 x 从 x0变化到 x0 x，相应地，函数值 y 就从 f(x0)变化到 f(x
2、0 x)这时，x 的变化量为 x，y 的变化量为 yf(x0 x)f(x0)我们把比值yx，即yxfx0 xfx0 x叫做函数 yf(x)从 x0到 x0 x的平均变化率 考点三 函数在某点处的导数 如果当 x0 时，平均变化率yx无限趋近于一个确定的值，即yx有极限，则称 yf(x)在 xx0处可导，并把这个确定的值叫做 yf(x)在 xx0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作 f(x0)或0=|x xy，即 f(x0)limx0 yxlimx0 fx0 xfx0 x.大重点二：导数的几何意义 考点四 导数的几何意义 1割线斜率与切线斜率 设函数 yf(x)的图象如图所示，直线 AB 是过点
3、A(x0，f(x0)与点 B(x0 x，f(x0 x)的一条割线，此割线的斜率是yxfx0 xfx0 x.当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD，直线 AD 叫做此曲线在点 A 处的切线 于是，当 x0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线 AD 的斜率 k，即 kf(x0)limx0 fx0 xfx0 x.2导数的几何意义 函数 yf(x)在点 xx0处的导数的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 f(x0)相应地，切线方程为 yf(x
4、0)f(x0)(xx0)考点五 导函数的定义 从求函数 f(x)在 xx0处导数的过程可以看出，当 xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数 这样，当 x 变化时，yf(x)就是 x 的函数，我们称它为 yf(x)的导函数(简称导数)yf(x)的导函数记作 f(x)或 y，即 f(x)ylimx0 fxxfxx.规律总结：区别 联系 f(x0)f(x0)是具体的值，是数值 在 xx0处的导数 f(x0)是导函数 f(x)在 xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值 f(x)f(x)是函数 f(x)在某区间 I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数
5、，是函数 题型一：函数的平均变化率 1（2021全国高二课时练习）函数 f(x)2x 在 x1 附近(即从 1 到 1x 之间)的平均变化率是（）A2x B2x C2 D(x)22 2（2021江苏高二专题练习）若函数2()f xx在区间00,x xx上的平均变化率为1k，在区间00,xx x上的平均变化率为2k，则（）A12kk B12kk C12kk D1k与2k的大小关系与0 x的取值有关 3（2021江苏高二课时练习）汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图，在时间段01,t t，12,t t，23,t t上的平均速度分别为1v，2v，3v，则三者的大小关系为（）A123vv
6、v B132vvv C321vvv D231vvv 题型二：瞬时变化率理解 4（2021全国高二课时练习）已知函数 3yf xx，则用平均变化率估计 f x在1x 处的瞬时变化率为（）A1 B2 C3 D4 5（2021全国高二课时练习）已知物体做自由落体的运动方程为212sgt，且t无限趋近于 0 时，()11ttss 无限趋近于 9.8m/s那么关于 9.8m/s 正确的说法是（）A物体在 01s 这一段时间内的速度 B物体在1 1t s这一段时间内的速度 C物体在 1s 这一时刻的速度 D物体从 1s 到1t s这一段时间内的平均速度 6（2021全国高二课时练习）一个物体做直线运动，位
7、移 s 与时间 t 之间的函数关系式为 s(t)t22t3，则该物体在 t2 时的瞬时速度为（）A4 B5 C6 D7 题型三：导数（导函数）的理解 7（2021江苏高二专题练习）设 f x在0 xx处可导，则000lim2hfxhfxhh（）A 02 fx B 012fx C 0fx D 04fx 8（2021江苏高二专题练习）函数 yf x在0 xx处的导数可表示为0 x xy，即（）A 000fxf xxf x B 0000limxfxf xxf x C 0000limxfxxfxfxx D 000fxxfxfxx 9（2021江苏高二专题练习）已知函数 2ln8f xxx，则 0121
8、limxfxfx 的值为（）A20 B10 C10 D20 题型四：导数定义中的极限的简单计算 10（2021江苏高二课时练习）若 22f，则0(2)(2)lim2xffxx（）A4 B4 C1 D1 11（2021重庆市万州清泉中学高二月考）已知函数()yf x在0 xx处的导数为 1，则 000lim3xf xxf xx （）A0 B13 C1 D2 12（2021陕西阎良高二期末（理）设函数()f x的导函数为()fx，若 02fx，则 000l m2i1kfxkf xk等于（）A-2 B-1 C2 D1 题型五：利用导数几何意义求切线方程 13（2021江西黎川县第一中学高二期末（理）
9、已知函数 2ln21f xxxx，则曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为（）A210 xy B20 xy C0 xy D240 xy 14（2021全国高二单元测试）已知 a 为实数，函数 323f xxaxax的导函数为 fx，且 fx是偶函数，则曲线 yf x在点 22f,处的切线方程为（）A9160 xy B9160 xy C6120 xy D6120 xy 15（2021全国高二单元测试）若曲线12yx在点12,a a处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18，则a（）A24 B32 C64 D86 题型六：已知切线（斜率）求参数 16（2021全国高二课时练习）若曲线 yx
10、2axb 在点(0，b)处的切线方程是 xy10，则（）Aa1，b1 Ba1，b1 Ca1，b1 Da1，b1 17（2021全国高二课时练习）已知函数 2axf xxb(a，bR，且1b)的图像在点 1,1f处的切线方程为250 xy，则ab（）A195 B195 C135 D135 18（2021全国高二专题练习）若曲线2ln xyaxx（aR）在1x 处的切线与直线210 xy 平行，则a（）A12 B14 C12 D2 题型七：求切点坐标 19（2021广东东莞市光明中学高二月考）已知曲线33yxx在点P处的切线与直线153yx平行，则点P的坐标为（）A(2,14)B(2,14)C(2
11、,14)或(2,14)D以上都不对 20（2021广西玉林市育才中学高二开学考试（理）曲线3()2f xxx在 P0处的切线垂直于直线114yx，则 P0的坐标为（）A1,0 B2,8 C1,0或1,4 D2,8或1,4 21（2020江苏如皋高二月考）已知函数 sinf xmxb在6x处的切线方程为331212yx，则实数b的值为（）A12 B32 C1 D3 题型八：过某点的曲线的切线 22（2020全国高二课时练习）已知2()f xx，则过点 P(-1，0)且与曲线()yf x相切的直线方程为（）A0y B440 xy C0y 或440 xy D0y 或440 xy 23（2021全国高
12、二单元测试）曲线 21ln 22yxx在某点处的切线的斜率为32，则该切线的方程为（）A3210 xy B3210 xy C6450 xy D12870 xy 24（2020江苏省平潮高级中学高二月考）已知函数 lnf xxx，若直线l过点0,e，且与曲线 yf x相切，则直线l的斜率为（）A2 B2 Ce De 【双基达标】一、单选题 25（2021广西河池高二月考（理）在导数定义中“当0 x 时，0yfxx”，x（）A恒取正值 B恒取正值或恒去取负值 C有时可取0 D可取正值可取负值，但不能取零 26（2021福建省漳州第一中学高二月考）设 f x为可导函数，且当0 x 时，1112ffx
13、x，则曲线 yf x在点 1,1f处的切线斜率为（）A2 B1 C1 D2 27（2021全国高二课时练习）以正弦曲线sinyx上一点 P 为切点的切线为直线 l，则直线 l 的倾斜角的范围是 （）A30,44 B0,C3,44 D30,424 28（2021江苏高二专题练习）设函数 f x在0 xx附近有定义，且有 002f xf xxbxxa，其中 a，b 为常数，则（）A fxa B fxb C 0fxa D 0fxb 29（2021江苏高二专题练习）函数 yf x，自变量 x 由0 x改变到0 xk x（k 为常数）时，函数的改变量y为（）A0f xk x B 0f xk x C 0f
14、 xk x D 00f xk xf x 30（2021全国高二单元测试）已知 yf（x）的图象如图所示，则 f（xA）与 f（xB）的大小关系是（）Af（xA）f（xB）Bf（xA）f（xB）Cf（xA）f（xB）Df（xA）与 f（xB）大小不能确定 31（2021全国高二单元测试）设函数 f xx lnx，则曲线 yf（x）在点（1，0）处的切线方程为（）Ayx1 Byx+1 Cyx+1 Dyx1 32（2021全国高二单元测试）若点 P 在曲线1()f xx上，且该曲线在点 P 处的切线的倾斜角为 150，则点 P 的横坐标为（）A3 B3 C33 D43 33（2021全国高二单元测试
15、）已知函数 2f xxbx的图象在点 1,1Af处的切线的斜率为 3，数列*1nf nN的前 n 项和为nS，则2021S的值为()A20212022 B20202021 C20192020 D20182019 【高分突破】一：单选题 34（2021江苏高二课时练习）曲线 yx1x上任意一点 P 处的切线斜率为 k，则 k 的取值范围是（）A(，1)B(1，1)C(，1)D(1，)35（2021全国高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程 s(t)4t22t3，且 s（5）42(m/s)，其实际意义是（）A物体 5 s 内共走过 42 m B物体每 5 s 运动 42 m C物体从开始运动到第
16、5 s 运动的平均速度是 42 m/s D物体以 t5 s 时的瞬时速度运动的话，每经过 1 s，物体运动的路程为 42 m 36（2021全国高二课时练习）汽车行驶的路程 s 和时间 t 之间的函数图象如图所示，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为123,v v v，则三者的大小关系为（）A123vvv B321vvv C213vvv D231vvv 37（2021全国高二课时练习）已知函数 f(x)可导，且满足0(3)l(m2i3)xffxx，则函数 yf(x)在 x3 处的导数为（）A1 B2 C1 D2 38（2021重庆高二月考）已知两曲线3yxax和2yxb
17、xc都经过点1,2P，且在点P处有公切线，则当12x 时，2log2baxcx的最小值为（）A1 B2 C12 D0 二、多选题 39（2021全国高二课时练习）已知函数 yf x，下列说法正确的是（）A 00yf xxf x 叫作函数值的增量 B 00fxxfxyxx叫作函数在00,x xx上的平均变化率 C f x在0 xx处的导数记为y D f x在0 xx处的导数记为 0fx 40（2021全国高二课时练习）已知函数 f x的图象如图所示，fx是 f x的导函数，则下列数值的排序正确的是（）A 32ff B 332fff C 232fff D 320ff 41（2021江苏高二专题练习
18、）如图所示物体甲、乙在时间 0 到1t范围内路程的变化情况，下列说法正确的是（）A在 0 到0t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B在0t时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 C在0t到1t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D在 0 到1t范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 42（2021江苏高二课时练习）下列说法正确的是（）A若 0fx不存在，则曲线 yf x在点 00,xf x处也可能有切线 B若曲线 yf x在点 00,xf x处有切线，则 0fx必存在 C若 0fx不存在，则曲线 yf x在点 00,xf x处的切线斜率不存在 D若曲线 yf x在点 00,xf x处没有切线，
19、则 0fx有可能存在 43（2021全国高二专题练习）对于函数 fx，若 02fx，则当h无限趋近于 0 时，在下列式子中无限趋近于2 的式子有（）A 00fxhfxh B 002fxhfxh C 002fxhfxh D 0022fxhfxh 44（2021广东佛山市南海区罗村高级中学高二月考）为了评估某治疗新冠肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量.已知该药物在人体血管中药物浓度c随时间t的变化而变化，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如图所示.则下列结论正确的是（）A在1t时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B在2t时刻，甲、乙两人血管中药
20、物浓度的瞬时变化率相同；C在23,t t这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D在12,t t和23,t t两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同.三、填空题 45（2021广东广州市协和中学高二期中）曲线2()ln2f xxx在点(1,(1)f处的切线方程为_.46（2021全国高二课时练习）某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x 小时时原油温度（单位：）为 3218 243f xxxx，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为_.47（2021江苏高二专题练习）若函数 224yf xxx在0 xx处的导数是 8，则0 x _ 48（2021全国高二课时
21、练习）下面说法正确的是_（填序号）.若 0fx不存在，则曲线 yf x在点 00,xf x处没有切线；若曲线 yf x在点 00,xf x处有切线，则 0fx必存在；若 0fx不存在，则曲线 yf x在点 00,xf x处的切线斜率不存在；若曲线 yf x在点 00,xf x处没有切线，则 0fx有可能存在.四、解答题 49（2021江苏高二课时练习）一物体的位移 s（单位：m）与时间 t（单位：s）的函数为 2232,32933,03tts ttt.求：（1）物体在3,5内的平均速度；（2）物体的初速度0v；（3）物体在1st 时的瞬时速度.50（2021广西河池高二月考（理）已知函数 3f
22、 xx.（1）求函数在点 1,1A处的切线方程；（2）求函数过点1,0B处的切线方程.51（2021全国高二课时练习）在曲线 E：2yx上求出满足下列条件的点 P 的坐标（1）在点 P 处曲线 E 的切线平行于直线45yx；（2）在点 P 处曲线 E 的切线的倾斜角是 135 【答案详解】1C【分析】根据函数解析式直接计算即可.【详解】yf(1x)f(1)2(1x)22x.所以22.yxxx 故选：C 2A【分析】直接代入函数平均变化率公式进行化简得到1k，2k表达式，由题意知0 x，即可得判断1k，2k大小关系.【详解】220000102f xxf xxxxkxxxx，220000202f
23、xf xxxxxkxxxx 由题意知0 x，所以12kk，故选：A 3A【分析】结合图象，利用平均变化率的定义求解.【详解】因为1OAvk，2ABvk，3BCvk，由图象知OAABBCkkk，所以123vvv 故选：A 4C【分析】由平均变化率的定义可得31(1)1111xxyxxxff，从而可得答案.【详解】函数 3yf xx在1,1x上的平均变化率为31(1)1111xxyxxxff 233xx ，取0.001x，得20.00130.00133.003yx，故估计 f x在1x 处的瞬时变化率为 3.故选：C.5C【分析】结合导数定义式知，应表示的是在 1s这一时刻的瞬时速度.【详解】由平
24、均速度的概念，11tsts 表示的是1 1st这一段时间内的平均速度，其极限值即 011lim9.8m/ststst ，表示1t 这一时刻的瞬时速度 故选：C 6C【分析】写出平均变化率求其极限即可求解.【详解】由题意，2(2)(2)66sststttttt 0limt st0limt(t6)6.故选：C 7C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】解：f x在0 x处可导，0000lim2hfxhfxhfxh，故选：C.8C 【分析】结合导数定义直接选择即可.【详解】0 x xy是 0fx的另一种记法，根据导数的定义可知 C 正确 故选：C 9D【分析】根据导数的定义可得 0121lim21
25、xfxffx ，再用求导公式可得 28fxx，代入1x 即可得解.【详解】因为 2ln8f xxx，所以 28fxx，所以 020121121lim2 lim21202xxfxffxffxx .故选：D 10C【分析】利用导数的定义直接求解【详解】因为 22f，所以00(2)(2)1(2)(2)1limlim(2)1222xxfffffxxxx 故选：C 11B【分析】由已知结合导数的定义即可直接求解.【详解】因为函数 yf x在0 xx处的导数为 1，则 0000000111limlim3333xxfxxfxfxxfxfxxx .故选：B.【点睛】本题考查导数的概念，涉及极限的性质，属于基础
26、题 12D【分析】根据题意，由极限的运算性质和导数的定义可得 0000l112i)2m(kfxkf xfxk，即可得到答案.【详解】根据题意，000l m2i1kfxkf xk 00011lim()2212kfxkf xk 1020000112)12()2(limkfxkf xxkx 01()2fx，又由0()2fx，则 000121limkfxkf xk.故选：D.13C【分析】求出函数的导函数即可求出 1f，再根据点斜式求出切线方程；【详解】解：2ln21f xxxx的导数为 2 ln2fxxxx，11 21f 11f，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为11yx ，即0 xy 故选
27、：C 14A【分析】求导根据导函数的奇偶性得到0a，再计算切线得到答案.【详解】依题意，2323fxxaxa，由导函数 fx为偶函数，得0a，故 33f xxx，233fxx，所以 22f，29f，故曲线 yf x在点 22f,处的切线方程为292yx，即9160 xy.故选：A.15C【分析】根据导数的几何意义可求切线斜率即可求出切线方程，由直线求出截距可得三角形面积.【详解】12yx，3212yx ，曲线在点12,a a处的切线斜率3212ka，切线方程为132212yaaxa.令0 x，得1232ya；令0y，得3xa.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为1122139318224Saa
28、a，64a.故选：C 16A【分析】先用导数的定义解出函数在 x=0 处的导数，进而结合导数的几何意义求得答案.【详解】由题意可知 k20000limlim1xxxaxbbxaax ，又(0，b)在切线上，解得：b1.故选：A.17D【分析】先对函数()f x求导，利用导数的几何意义并结合给定条件列出方程组求解即得.【详解】由 2axf xxb求导得：222axabfxxb，而函数2()axf xxb的图像在点 1,1f处的切线方程为250 xy，21121aabfb ，因点 1,1f在直线250 xy上，即 1 2150f，于是得 121afb，因此有：212121aabbab ，解得165
29、35ab，所以16313555ab.故选：D 18A【分析】求出函数导数，根据题意可得曲线在1x 处的导数值为 2，即可求出.【详解】由2ln xyaxx可得21 ln2xyaxx，又曲线在1x 处的切线与直线210 xy 平行，且直线210 xy 的斜率为 2，则1 22a，解得12a .故选：A.19C【分析】根据33yxx的导函数为233yx，又由其过 P 点的切线与直线153yx平行性可知23315x，求得切点 P 的横坐标x，代回曲线方程求得y的值，可得答案.【详解】解：由题意可知：函数33yxx的导函数为233yx 过 P 点的切线与直线153yx平行 23315x，解得2x 当2
30、x 时，322 314y ，此时切线方程为1415(2)yx，即1516yx；当2x 时，3(2)(2)314y ，此时切线方程为1415(2)yx，即1516yx.所以点 P 的坐标是（2，14）或（-2，-14）故选:C 20C【分析】求函数的导数，令导数等于 4 解方程，求得0P点的横坐标，进而求得0P点的坐标.【详解】曲线3()2f xxx在 P0处的切线垂直于直线114yx，所以切线的斜率为 4，依题意，令2()314fxx，解得1x ，(1)1 120,(1)1 124ff ，故0P点的坐标为1,0和1,4，故选：C 21A【分析】求得 cosfxmx，利用导数的几何意义，求得1m
31、，得到 sinf xxb，再求得切点(,1)6P代入函数的解析式，即可求解.【详解】由题意，函数 sinf xmxb，则 cosfxmx，可得3()cos662fmm，即切线的斜率32km，所以3322m，解得1m，所以 sinf xxb，当6x时，33112612y，即切点(,1)6P 代入函数 sinf xxb，可得sin16b，解得12b.故选：A.【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程及其应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.22C【分析】设切点为00,x y则切线方程为20002yxxxx，将点1,0P 代入解0 x，即可
32、求切线方程.【详解】设切点为00,x y，则200yx，切线斜率为 002kfxx 所以切线方程为20002yxxxx，因为过点1,0P 则200021xxx 解得00 x 或02x ，所以切线方程为0y 或440 xy 故选：C 23D【分析】先求导得1yxx，再令132yxx 解得12x，再求出切点坐标1 1,2 8，之后再利用切线方程的公式求解即可.【详解】解：求导得1yxx，根据题意得132yxx，解得2x（舍去）或12x，可得切点的坐标为1 1,2 8，所以该切线的方程为131822yx，整理得12870 xy.故选：D.【点睛】本题考查已知切线斜率，求切线方程问题，考查导数的几何意
33、义，是基础题.24B【分析】设切点坐标为,lnt tt，利用导数求出切线l的方程，将点0,e的坐标代入直线l的方程，求出t的值，进而可求得直线l的斜率.【详解】设切点坐标为,lnt tt，lnf xxx，ln1fxx，直线l的斜率为 ln1ftt，所以，直线l的方程为lnln1ytttxt，将点0,e的坐标代入直线l的方程得lnln1etttt ，解得te，因此，直线l的斜率为 2fe.故选：B.【点睛】本题考查利用切线过点求切线的斜率，考查计算能力，属于基础题.25D【分析】根据题意，由导数的定义分析可得答案 【详解】解：根据题意，当0 x 时，0yfxx，x的值可取正值和负数，但不能取 0
34、；故选：D 26D【分析】由导数的定义及导数的几何意义即可求解.【详解】解：由导数的几何意义，点 1,1f处的切线斜率为(1)f，因为0 x 时，1112ffxx，所以 0011(1)liml11222imxxffxffxxxf ，所以在点 1,1f处的切线斜率为2，故选：D.27A【分析】先对函数求导，再利用余弦函数的性质可求得切线l的斜率的范围，然后结合正切函数的图象与性质，即可求得直线l的倾斜角的范围【详解】设00,P x y，直线l的倾斜角为，0,.sinyx，cosyx，则sinyx在点P处的切线斜率为0coskx，0cos1,1x ，1,1k，即tan1,1，0,，倾斜角的范围是3
35、0,44.故选：A.28C【分析】利用导数定义求函数在某一点处的导数，首先写出函数在该点处的平均变化率yx，再判断 当0 x 时，yx无限趋近于哪一常数，该常数即为所求函数在该点处的导数.【详解】因为 002f xf xxbxxa，所以 00f xxf xab xx，则 0000limlimxxf xxf xab xax ，即 0fxa.故选：C.29D【分析】根据定义求解即可.【详解】解：由变化率的关系，00yf xk xf x .故选：D 30A【分析】根据题意，由图象可得 f（x）在 xxA处切线的斜率大于在 xxB处切线的斜率，由导数的几何意义分析可得答案【详解】根据题意，由图象可得
36、f（x）在 xxA处切线的斜率大于在 xxB处切线的斜率，则有 f（xA）f（xB）；故选：A 31D【分析】由导数的几何意义得：曲线 yf（x）在点（1，0）处的切线方程为，y0 x1，即 yx1，得解【详解】解：因为 f xx lnx，所以 f（x）lnx+1，所以 f（1）1，即曲线 yf（x）在点（1，0）处的切线方程为，y0 x1，即 yx1，故选：D 32D【分析】根据导数的几何意义求斜率，再由倾斜角求斜率，建立方程求解即可.【详解】设点的横坐标为0 x，因为1()f xx，所以21()fxx 因为切线的倾斜角为 150，所以切线的斜率为33，即 020133fxx ，所以403x
37、 故选：D 33A【分析】首先利用导数的定义求出导函数在一点处的导数，然后结合导函数的几何意义求出参数b，进而求出()f x，从而可得到 1f n通项公式，然后利用裂项相消法求2021S即可.【详解】因为 2f xxbx，所以 22001111limlim 22xxxbxbfxbbx 因为函数 2f xxbx的图象在点 1,1Af处的切线的斜率为 3，所以 123fb，解得1b，所以 21f xxxx x，111111f nn nnn，所以2021111111111202111223342021202220222022S 故选:A 34C【分析】结合导数的概念求出2011kx，进而可以求出结果
38、.【详解】1yxx上任意一点 P(x0，y0)处的切线斜率为 0 x xky0limx 000011()()xxxxxxx 0limx 2001(1)xxx2011x1，即 k1.故选：C.35D【分析】根据瞬时速度的定义即可得出选项.【详解】由导数的物理意义知，s（5）42(m/s)表示物体在 t5 s 时的瞬时速度 故选：D.36B【分析】根据平均速度的几何意义对123,v v v进行分析，由此确定正确选项.【详解】设直线,O A AB BC的斜率分别为,ABBCO Akkk，则 10110O As ts tvktt，21221ABs ts tvktt，32332BCs ts tvktt，
39、由题中图象知BCABO Akkk，即321vvv.故选:B 37B【分析】根据导数的定义即可得到答案.【详解】由题意，003333limlim3xxffxfxffxx ，所以 32f .故选：B.38D【分析】先由两曲线经过点 P，求得 a，再由在点 P 处有公切线构造关于 b、c 的方程，从而求得 b、c，最后代入2log2baxcx中利用均值定理求得答案.【详解】由题意32211211abc 即11abc 设3()f xxx，2()g xxbxc，因为2()31fxx，2gxxb，所以(1)4f，(1)2gb，又因为两曲线在点 P 处有公切线，所以(1)(1)24fgb，所以2b，1c 所
40、以2222211loglogloglog 102222baxcxxxxx(当且仅当1x 时等号成立)故选：D 39ABD【分析】由函数值的增量的意义判断 A；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断 BCD.【详解】A 中，00yf xxf x 叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A 正确；B 中，00fxxfxyxx称为函数 f x在0 x到0 xx之间的平均变化率，B 正确；由导数的定义知函数 f x在0 xx处的导数记为 0fx，故 C 错误，D 正确.故选：ABD 40AB【分析】根据导数的几何意义可得 23ff，记 22Af，33Bf，作直线 AB，根据两点坐标求出直线 AB 的斜率，结合
41、图形即可得出 323fff.【详解】由函数的图象可知函数 f x是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在2x 处的切线斜率1k大于在3x 处的切线斜率2k，所以 23ff；记 22Af，33Bf，作直线 AB，则直线 AB 的斜率 323232ffkff，由函数图象，可知120kkk，即 23230ffff.故选：AB 41CD【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可【详解】在 0 到0t范围内，甲、乙的平均速度都为00svt，故 A 错误 瞬时速度为切线斜率，故 B 错误 在0t到1t范围内，甲的平均速度为2010sstt，乙的平均速度为1010
42、sstt，因为2010ssss，100tt，所以20101010sssstttt，故 C 正确同理 D 正确 故选：CD 42AC【分析】由 0fx的意义判断各个选项即可.【详解】0kfx，0fx不存在只能说明曲线在该点处的切线斜率不存在；当斜率不存在时，切线也可能存在，其切线方程为0 xx，故 AC 正确.故选：AC.43AD【分析】利用平均变化率的定义以及导数的定义对四个选择逐一判断即可【详解】解：因为0000()()lim()2hf xhf xfxh，故选项 A 正确；因为0000()()1lim()122hf xhf xfxh，故选项 B 错误；因为0000(2)()lim2()4hf
43、 xhf xfxh，故选项 C 错误；因为0000(2)()lim()22hf xhf xfxh，故选项 D 正确 故选：AD 44AC【分析】由关系图提供的数据结合平均变化率的定义进行判断 【详解】在1t时刻，两曲线交于同一点，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A 正确；在2t时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，但两曲线在此时的切线斜率不相同，因此瞬时变化率不相同，B 错误；在23,t t两个时刻，甲、乙两人血管中药物浓度相同，因此在23,t t这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C 正确；在12,t t和23,t t两个时间段内，时间差不多，但甲血管中药物浓度差前者小
44、于后者，药物浓度的平均变化率不相同，D 错 故选：AC 4531yx 【分析】首先求出切点为1,2，再利用导数的几何意义求切线即可.【详解】12f，切点为1,2，14fxxx，13kf ，所以切线方程为：231yx，即31yx.故答案为：31yx 460【分析】根据题意求出温度的瞬时变化率，进而求出它的最小值.【详解】由题意可知温度的瞬间变化率为 3232200111limlim88233xxfxxfxfxxxxxxxxxxx 211 24xx，因此当2x 时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为 20f.故答案为：0.471【分析】结合 00000limlimxxfxxfxyfxxx 即可求解.
45、【详解】根据导数的定义知，00000limlimxxfxxfxyfxxx 22000002424limxxxxxxxx 200424limxxxxxx 00lim 424xxx 0448x，解得01x 故答案为：1 48【分析】根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.【详解】对于中，由 0fx不存在时，曲线 yf x在点 00,xf x处不一定没有切线，例如：函数 13f xx，可得 2313fxx，在0 x 处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为0y，所以不正确；对于中，曲线 yf x在点 00,xf x处有切线，则 0fx不一定存在，例如：函数 13f
46、 xx在0 x 处的切线方程为0y，但 0f 不存在，所以不正确；对于中，若 0fx不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线 yf x在点 00,xf x处的切线斜率不存在，所以正确；对于中，由 0fx存在，则曲线 yf x在点 00,xf x有切线为真命题，可得其逆否命题“曲线 yf x在点 00,xf x处没有切线，则 0fx不存在”为真命题，所以错误.故选：49（1）24(m/s)（2）18m/s；（3）12m/s.【分析】（1）求出时间和位移的改变量即可求出平均速度；（2）求出物体在0st 时的瞬时速度即可；（3）先求出物体在1st 附近的平均变化率，即可求出瞬时速度.（1）
47、在3,5内，时间的改变量为532t，位移的改变量为223 523 32s 48，物体在3,5内的平均速度为4824 m/s2()st.（2）物体的初速度0v即物体在0st 时的瞬时速度.函数 s t在0st 附近的平均变化率为 2229303293 0300318tstsstttt .当t趋于 0 时，st趋于18，函数 s t在0st 时的瞬时变化率为18，即物体的初速度为18m/s.（3）物体在1st 附近的平均变化率为 2229313293 1311tstssttt 312t ，当t趋近于 0 时，st趋近于12，函数 s t在1st 处的瞬时变化率为12，即物体在1st 时的瞬时速度为
48、12m/s.50（1）320 xy（2）0y 或274270 xy【分析】（1）求导，求出切线斜率即可（2）设切点为300,x x，求出切线方程，代入点1,0B，解方程可得切点，进而可得直线方程（1）由已知 23fxx，则 13f，故切线方程为311yx，即320 xy（2）设切点为300,x x，则 2003fxx 切线方程为232300000332yxxxxx xx，代入点1,0B可得2300320 xx，解得00 x 或032x 又 00f，233273224f 故切线方程为0y 或2714yx 即切线方程为0y 或274270 xy 51（1）2,4P（2）1 1,2 4P【分析】（1）先通过瞬时变化率求出导函数，再根据切线斜率即可求出切点；（2）先根据倾斜角求出斜率，再根据斜率即可求出切点.（1）2220002limlimlim2xxxxxxyxx xxxxx 设00,P x y为所求的点 因为切线与直线45yx平行，所以024x，解得02x，所以04y，即2,4P（2）因为切线的倾斜角是 135，所以其斜率为1，即021x ，解得012x 所以014y，即1 1,2 4P