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1、 三角函数 1.与（0360）终边相同的角的集合（角 与 角|k 360,k Z 终边在 x 轴上的角的集合：|k 180,k Z 4 cosx 终边在 y 轴上的角的集合：|k 180 90,k Z cosx 终边在坐标轴上的角的集合：|k 90,k Z 1 的终边重合）：y 3 2 sinxsinx 1 cosx x cosx 4 sinxsinx 23 终边在 y=x 轴上的角的集合：|k 180 45,k Z 终边在 yx 轴上的角的集合：|k 180 45,k Z SIN COS三角函数值大小关系图 1、2、3、4 表示第一、二、三、四象限一半所在区域 若角 与角 的终边关于 x 轴
2、对称，则角 与角 的关系：360 k 若角 与角 的终边关于 y 轴对称，则角 与角 的关系：360 k 180 若角 与角 的终边在一条直线上，则角 与角 的关系：180 k 角 与角 的终边互相垂直，则角 与角 的关系：360 k 90 2.角度与弧度的互换关系：360=2 180=1=0.01745 1=57.30 =57 18 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 、弧度与角度互换公式：1rad 180 57.30=57 18 3、弧长公式：l|r.s扇形 1 扇形面积公式：lr 2 4、三角函数：设 是一个任意角，在 的终边上任取（异于 原点的）一点 P（x
3、,y）P 与原点的距离为 r，则 sin y；r cos x；tan y；cot x；sec r；.csc r.r x y x y 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）y y y +-+-+o x o+x o x -+正弦、余割 余弦、正割 正切、余切 .10.01745（rad）180 1|r 2 2 y a的终边 P（x,y)r o x y T P OMA x 16.几个重要结论:6、三角函数线 (1)y (2)y|sinx|cosx|正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT.sinxcosx|cosx|sinx|cosx|sinx|O O x x cosxsinx|si
4、nx|cosx|(3)若 ox2,则 sinxxtanx 7.三角函数的定义域：三角函数 f(x)sinx f(x)cosx f(x)tanx f(x)cotx f(x)secx f(x)cscx 8、同角三角函数的基本关系式：tan cot 1 csc sin 1 sin 2 cos2 1 sec2 tan2 定义域 x|x R x|x R x|x R 且 x k 1,k Z 2 x|x R 且x k,k Z x|x R 且 x k 1,k Z 2 x|x R 且x k,k Z sin tan cos cot cos sin sec cos 1 1 csc2 cot 2 1 9、诱导公式：把
5、 k的三角函数化为的三角函数，概括为：2 “奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系 公式组一 公式组二 公式组三 sinxcscx=1 sin x 2 2 sin(2k x)sin x sin(x)sin x tanx=sin x+cos x=1 cos x cos(2k x)cos x cos(x)cosx x=cos x cosx secx=1 1+tan2 x=sec2 x tan(2k x)tan x tan(x)tan x sin x cot(2k x)cot x cot(x)cot x tanxcotx=1 1+cot2 x=csc2x 公式组四 公式组五 公式组六
6、 sin(x)sin x sin(2 x)sin x sin(x)sin x cos(x)cos x cos(2 x)cosx cos(x)cos x tan(x)tan x tan(2 x)tan x tan(x)tan x cot(x)cot x cot(2 x)cot x cot(x)cot x （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos()cos cos sin sin sin 2 2sin cos cos()cos cos sin sin cos 2 cos2 sin2 2 cos2 1 1 2 sin2 sin()sin cos cos sin tan2 2 tan 1 t
7、an 2 sin()sin cos cos sin sin 1 cos 2 2 tan()tan tan cos 1 cos 1 tan tan 2 2 tan(tan tan tan 1 cos sin 1 cos )tan tan 1 cos 1 cos sin 1 2 公式组三 公式组四 公式组五 2 tan sin cos 1 sin sin 1)sin 2 2 cos(sin 2 2 cos sin 1 sin sin sin(1 1 tan )cos 2 2 cos cos 1 cos cos 2 tan(1 1 tan 2 2 2 )cot cos sin sin 1 cos 2
8、 tan 2 cos 1 2 1)sin 2 sin sin 2 sin cos cos(2 2 2 2 tan sin sin 2 cos sin 1)cot tan(tan 2 2 2 2 2 cos cos 2 cos cos 1 1 tan 2 2 2 sin()cos cos cos 2sin 2 sin 2 2 sin 15 cos 75 6 2,tan 15 cot 75 23,.tan 75 cot15 2 3 4 sin 75 cos15 6 2 4 10.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：y sin x y cosx y tan x y cot x 定义域 R R x
9、|x R 且x k 1 ,k Z x|x R 且 x k ,k Z 2 值域 1,1 1,1 R R 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 2k ,2k 1 ,；k ,k k ,k 1 上为减函 2 2k 2 2 数（k Z）2k 上为增函 上 为 增 函 数 2 数 （k Z）上为增函 2k,数 ；2k 1 单调性 2k,上为减函 数 2 3 2k （k Z）2 上为减函 数（k Z）y A sin x （A、0）R A,A 2 当 0,非奇非偶 当 0,奇函数 2k 2(A),1 2k 2(A)上为增函数；2k 2(A),3 2k 2(A)上 为减函数 （k Z）注意：y
10、 sin x 与 y sin x 的单调性正好相反；y cosx 与 y cos x 的单调性也同样相 反.一般地，若 y f(x)在 a,b 上递增（减），则 y f(x)在 a,b 上递减（增）.y cosx 的周期是.y sin x 与y y sin(x)或 y cos(x)（0）的周期 T 2.x x O y 的周期为 2（T T 2，如图，翻折无效）.tan 2 y sin(x)的对称轴方程是 x k 2（k Z），对称中心（k ,0）；y cos(x)的 对称轴方程是 x k（k Z），对称中心（k 1,0）；y tan(x)的对称中心（k,0）.2 2 y cos 2x 原点对称
11、 y cos(2 x)cos 2 x 当 tan 1,k(k Z)；tan tan 1,k(k Z).2 2 y cos x 与y sin x 2k 是同一函数 ,而 y(x)是偶函数，则 2 y (x)sin(x k 1 )cos(x).2 函数 y tan x 在R上为增函数.（）只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y tan x为增函数，同样也是错误的.定义域关于原点对称是 f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定 义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(x)f(x)，奇函数：f(x)f(x)）奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tan
12、 x 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶 .（定 3 义域不关于原点对称）奇函数特有性质：若 0 x 的定义域，则 f(x)一定有f(0)0.（0 x 的定义域，则无此性 质）y sin x为周期函数（T y y y sin x 不是周期函数；）；x 1/2 x y=cos|x|图象 y=|cos2x+1/2|图象 ycos x是周期函数（如图）；ycos x 为周期函数（T）；ycos 2x1 的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：2 y f(x)5 f(x k),kR.y a cosb sina 2 b 2 sin()cosb有 a 2 b2y.a 11、三角函数图
13、象的作法：）、几何法：）、描点法及其特例 五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲 线）.）、利用图象变换作三角函数图象 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等 函数 y Asin（x）的振幅|A|，周期 T 2，频率 1|，相位 x;初相|f 2 T （即当 x0 时的相位）（当 A 0，0 时以上公式可去绝对值符号），由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|1）或缩短（当 0|A|1）到原来的|A|倍，得到 y Asinx 的图象，叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y）由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持
14、不变，横坐标伸长 （0|1）或缩短（|1）到原来的|1 倍，得到 y sin x 的图象，叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换 (用 x|替换 x)由 y sinx 的图象上所有的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动个单位，得到 y sin（x）的图象，叫做相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移(用 x 替换 x)由 y sinx 的图象上所有的点向上（当 b 0）或向下（当 b 0）平行移动 b个单位，得到 y sinx b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移（用 y+(-b)替换 y）由 y sinx 的图象利用图象变换作函数y Asin（x）（A 0，0）（x R）的 图象，要特别注
15、意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延 x 轴量伸缩量的区 别。4、反三角函数：函数 y sinx，x，的反函数叫做 反正弦函数，记作 y arcsinx，它的定义域是 1，2 2 1，值域是，2 2 函数 y cosx，（x 0，）的反应函数叫做反余弦函数，记作y arccosx，它的定 义域是 1，1，值域是 0，函数 ytanx，的反函数叫做 反正切函数，记作 y arctanx，它的定义域是（x 2，2，），值域是，22 函数 yctgx，x（0，）的反函数叫做 反余切函数，记作 y arcctgx，它的定义域是（，），值域是（0，）II.竞赛知识要点 一、反三角函数.1.
16、反三角函数：反正弦函数 y arcsin x 是奇函数，故arcsin(x)arcsin x，x 1,1（一 定要注明定义域，若 x,，没有 x 与 y 一一对应，故 y sin x 无反函数）注：sin(arcsin x)x，x 1,1，arcsin x 2,.2 反余弦函数 y arccos x 非奇非偶，但有 arccos(x)arccos(x)2k ，x 1,1.注：cos(arccos x)x，x 1,1，arccos x 0,.y cos x 是偶函数，y arccosx非奇非偶，而 y sin x 和y arcsin x 为奇函数.反正切函数：y arctanx，定义域(,)，值
17、域（,2），y arctanx 是奇函数，2 arctan(x)arctan x，注：tan(arctan x)x，x(,).x(,).反余切函数：y arc cot x，定义域(,)，值域（,），y arc cot x 是非奇非偶.，x 2 2 arc cot(x)arc cot(x)x，x 2k (,).注：cot(arc cot x)(,).y arcsin x 与 y arcsin(1 x)互为奇函数，y arctanx 同理为奇而 y arccosx 与y arc cot x 非奇非偶但满足 arccos(x)arccosx 2k,x 1,1 arc cot x arc cot(x)
18、2k,x 1,1.正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范围 解集 a 的取值范围 解集 sin x a 的解集 cos x a 的解集 a 1 a 1 a=1 x|x 2k arcsin a,k Z a=1 x|x 2k arccosa,k Z a 1 x|x k k arcsin a,k Z a 1 x|x k arccosa,k Z 1 tan x a 的解集：x|x k arctan a,k Z cot x a 的解集：x|x k arccot a,k Z 二、三角恒等式 .组一 .cos2 n sin 2 n 1 sin 3 3 sin 4 sin 3 sin 2 sin 2
19、sin sin cos 2 cos 4 cos 2 n 1 sin cos3 4cos 3 3 cos cos2 cos2 组二 n sin cos cos cos cos cos k n k 1 2 2 4 8 2 2 n sin 2n n sin(n 1)d)cos(x nd)cos(x kd)cos x cos(x d)cos(x nd)sin d k 0 n sin(n 1)d)sin(x nd)sin(x kd)sin x sin(x d)sin(x nd)sin d k 0 tan()tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 组三 三角函数不等式 sin x xtan x,x(0,)f(x)sin x在(0,)上是减函数 2 x 若 A B C，则 x 2 y 2 z 2 2 yz cos A 2xz cos B 2xy cos C