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1、 1 小学奥数知识点及公式总汇（必背）1和差倍问题 2 2年龄问题的三个基本特征：3归一问题的基本特点：4植树问题 5鸡兔同笼问题 6盈亏问题 3 7牛吃草问题 8周期循环与数表规律 9平均数 10抽屉原理 4 11定义新运算 12数列求和 13二进制及其应用 5 14加法乘法原理和几何计数 15质数与合数 6 16约数与倍数 17数的整除 7 18余数及其应用 19余数、同余与周期 20分数与百分数的应用 8 21分数大小的比较 9 22分数拆分 23完全平方数 24比和比例 10 25综合行程 26工程问题 27逻辑推理 11 28几何面积 29立体图形 30时钟问题快慢表问题 12 31
2、时钟问题钟面追及 32浓度与配比 33经济问题 13 33经济问题 34简单方程 35不定方程 36循环小数 14 2 1 和差倍问题 和差问题 和倍问题 差倍问题 已知条件 几个数的和与差 几个数的和与倍数 几个数的差与倍数 公式适用范围 已知两个数的和，差，倍数关系 公式(和差)2=较小数 较小数差=较大数 和较小数=较大数(和差)2=较大数 较大数差=较小数 和较大数=较小数 和(倍数1)=小数 小数倍数=大数 和小数=大数 差(倍数-1)=小数 小数倍数=大数 小数差=大数 关键问题 求出同一条件下的 和与差 和与倍数 差与倍数 2年龄问题的三个基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人
3、的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；3归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；4植树问题 基本类型 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树 在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树 封闭曲线上植树 基本公式 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数1 棵距段数=总长 棵数=段数 棵距段数=总长 关键问题 确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系 5鸡兔同笼问题 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把
4、假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：3 假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。6盈亏问题 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于 分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量 基本
5、思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量 基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差 当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差 当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。7牛吃草问题 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生
6、长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；总草量=较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；8周期循环与数表规律 周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有 366 天；4 年份能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，则年份必须能被 400 整除；平年：一年有 365 天。年份不能被4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被400 整除；9平均数 基本公式：平均数=总数量总份数 总数量=平均数总份数 总份数=总数
7、量平均数 平均数=基准数每一个数与基准数差的和总份数 基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算.基准数法：根据给出的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式 10抽屉原理 抽屉原则一：如果把（n+1）个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把 4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+
8、0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有 2 个或多于 2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有 2 个物体。抽屉原则二：如果把 n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有:k=n/m+1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。理解知识点：X表示不超过 X 的最大整数。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；关键问题：构造物体和抽屉。也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算。11定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本
9、（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。12 5 数列求和 等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用 a1 表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an 表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn
10、 表示 基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an,d,n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：an=a1+（n1）d；通项首项（项数一 1)公差；数列和公式：sn,=(a1+an)n2；数列和（首项末项）项数2；项数公式：n=(an+a1)d1；项数=（末项-首项）公差1；公差公式：d=（ana1）（n1）；公差=（末项首项）（项数1）；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；6 13二进制及其应用 十进制：用 09 十个数字表示，逢 10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十
11、位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以 234=200+30+4=2102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100 注意：N0=；N=N（其中 N 是任意自然数）二进制：用 01 两个数字表示，逢 2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。（2）=An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120 注意：An 不是 0 就是 1。十进制化成二进制：根据二进制满 2 进
12、1 的特点，用 2 连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。先找出不大于该数的 2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2 的 n 次方，依此方法一直找到差为 0，按照二进制展开式特点即可写出。14加法乘法原理和几何计数 加法原理：如果完成一件任务有 n 类方法，在第一类方法中有 m1 种不同方法，在第二类方法中有 m2 种不同方法，在第 n 类方法中有 mn 种不同方法，那么完成这件任务共有：m1+m2.+mn 种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成 n 个步骤进行，做第 1
13、步有 m1 种方法，不管第 1步用哪一种方法，第 2 步总有 m2 种方法不管前面 n-1 步用哪种方法，第 n 步总有mn 种方法，那么完成这件任务共有：m1m2.mn 种不同的方法。7 关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数1+2+3+（点数一 1）；数角规律=1+2+3+（射线数一 1）；数长方形规律：个数=长的线段数宽
14、的线段数：数长方形规律：个数=11+22+33+行数列数 15质数与合数 质数：一个数除了1 和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。合数：一个数除了1 和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=，其中 a1、a2、a3an 都是合数 N 的质因数，且a1a2a3an。求约数个数的公式：P=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1)互质数：如果两个数的
15、最大公约数是 1，这两个数叫做互质数。16约数与倍数 约数和倍数：若整数 a 能够被 b 整除，a 叫做 b 的倍数，b 就叫做 a 的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数 m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。例如：12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有：1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公
16、约数有：1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；8 求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有：12、24、36、48；18 的倍数有：18、36、54、72；那么 12 和 18 的公倍数有：36、72、108；那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作12，18=36；最小公倍数的性
17、质：1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法：1、短除法求最小公倍数；2、分解质因数的方法 17数的整除 一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数 a，除以一个自然数 b，得到一个整数商 c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a。2、常用符号：整除符号“|”，不能整除符号“”；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1.能被 2、5 整除：末位上的数字能被 2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、25 整除。3.能被 8、125 整
18、除：末三位的数字所组成的数能被8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被3、9 整除。5.能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除。6.能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11 整除。7.能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13
19、整除。三、整除的性质：9 1.如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b）与（a-b）也能被 c 整除。2.如果 a 能被 b 整除，c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3.如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4.如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。18.余数及其应用 基本概念：对任意自然数 a、b、q、r，如果使得 ab=qr，且 0rb,那么 r 叫做 a除以 b 的余数，q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余数的性质：余数小于除数。若 a、b 除以 c 的余数相同，则 c|a-b 或 c|b-
20、a。a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以 c 的余数。19余数、同余与周期 一、同余的定义：若两个整数 a、b 除以 m 的余数相同，则称 a、b 对于模 m 同余。已知三个整数 a、b、m，如果 m|a-b，就称 a、b 对于模 m 同余，记作 ab(mod m)，读作 a 同余于 b 模 m。二、同余的性质：自身性：aa(modm)；对称性：若 ab(modm)，则 ba(modm)；传递性：若 ab(modm)，bc(modm)，
21、则 a c(modm)；和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，则 a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若 a b(modm)，cd(modm)，则 ac bd(modm)；乘方性：若 ab(modm)，则 anbn(modm)；同倍性:若 a b(mod m)，整数 c，则 ac bc(modmc)；三、关于乘方的预备知识：若 A=ab，则 MA=Mab=（Ma）b 若 B=c+d 则 MB=Mc+d=McMd 四、被 3、9、11 除后的余数特征：一个自然数 M，n 表示 M 的各个数位上数字的和，则 Mn(mod 9)或（mod 3）；一个自然数
22、M，X 表示 M 的各个奇数位上数字的和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和，则 MY-X 或 M11-（X-Y）(mod 11)；五、费尔马小定理：如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-11(mod p)。20分数与百分数的应用 基本概念与性质：10 分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应
23、思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化
24、，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。21分数大小的比较 基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较
25、分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1 进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。22.分数拆分 将一个分数单位分解成两个分数之和的公式：11 第一题你要拆 1/12（也就是 1/A）先列出 12 的约（因）数：1、2、3、4、6、12 随便选两个约数 分为 a1 a2 这里我选 3、4 公式：1/A=Aa1（a1+a2）/1+Aa2（a1+a2）/1 套入公
26、式：1/12=123（3+4）/1+124（3+4）/1 最后等于：1/12=1/28+1/21 第二题就像上面的一样套入公式计算，要把第一题的其中一个答案再拆分就可以了。答案是：1/21+1/84+1/42 23 12 完全平方数 完全平方数特征：1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3.除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4.约数个数为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（
27、X+Y）完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2 费尔马小定理：如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被 p整除，则 ap-11(mod p)。13 24比和比例 比：两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外），比值不变。比例：表示两个比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或 比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若 A 扩大或缩小几倍，B 也扩大或缩小几倍（AB 的
28、商不变时），则 A 与 B 成正比。反比例：若 A 扩大或缩小几倍，B 也缩小或扩大几倍（AB 的积不变时），则 A 与 B成反比。比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。25综合行程 基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.基本公式：路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=时间 关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间 逆水行程=（船速-水速）逆水时间 顺水
29、速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速 静水速度=（顺水速度+逆水速度）2 水速=（顺水速度-逆水速度）2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法 基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。26工程问题 14 基本公式：工作总量=工作效率工作时间 工作效率=工作总量工作时间 工作时间=工作总量工作效率 基本思路：假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三
30、个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评：合久必分，分久必合。27逻辑推理 基本方法简介：条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设 a 是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么 a 一定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断
31、。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如 A 和 B 两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。28几何面积 基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解
32、、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法：1.连辅助线方法 2.利用等底等高的两个三角形面积相等。3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）。4.利用特殊规律 15 等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的 78.5%。29立体图形 名称 图形 特征 表面积 体积 长方体 8 个顶点；6 个面；相对的面相等；12 条棱；相对的棱相等；S=2(ab+ah+bh)V=abh=Sh 正方体
33、8 个顶点；6 个面；所有面相等；12 条棱；所有棱相等；S=6a2 V=a3 圆柱体 上下两底是平行且相等的圆；侧面展开后是长方形；S=S 侧+2S 底 S 侧=Ch V=Sh 圆锥体 下底是圆；只有一个顶点；l:母线，顶点到底圆周上任意一点的距离；S=S 侧+S 底 S 侧=rl V=Sh 球体 圆心到圆周上任意一点的距离是球的半径。S=4r2 V=r3 30时钟问题快慢表问题 基本思路：1、按照行程问题中的思维方法解题；2、不同的表当成速度不同的运动物体；3、路程的单位是分格（表一周为 60 分格）；4、时间是标准表所经过的时间；5、合理利用行程问题中的比例关系；31时钟问题钟面追及 基
34、本思路：封闭曲线上的追及问题。关键问题：确定分针与时针的初始位置；确定分针与时针的路程差；基本方法：分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成 60 小格，每小格我们称为 1 分格。分针每小时走 60 分格，即一周；而时针只走 5 分格，故分针每分钟走 1 分格，时针每分钟走 112 分格。度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是 360，分针每分钟转 360/60 度，即 6，时针每分钟转 360/12*60 度，即 1/2 度。16 32浓度与配比 经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶
35、质。溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。基本公式：溶液重量=溶质重量+溶剂重量；溶质重量=溶液重量浓度；浓度=（溶质溶液）100%溶剂=溶液（1-浓度）理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。33经济问题 利润的百分数=（卖价-成本）成本100%；卖价=成本（1+利润的百分数）；成本=卖价（1+利润的百分数）；商品的定价按照期望的利润来确定；定价=成本（1+期望利润的百分数）；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比
36、；利息=本金利率期数；含税价格=不含税价格（1+增值税税率）；34简单方程 代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。方程：含有未知数的等式叫方程。列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个数（除 0），等式不变。移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。加去括号规则：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则添、去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“”
37、号，添、去括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“”的，都按有“+”处理。17 移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。乘法分配率：a(b+c)=ab+ac 解方程步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；求解；方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。解方程组的步骤：消元；按一元一次方程步骤。消元的方法：加减消元；代入消元。35不定方程 一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根
38、据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；技巧总结：A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；36循环小数 一、把循环小数的小数部分化成分数的规则 纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是 9，9 的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。混
39、循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是 9，9 的个数与一个循环节的位数相同，末几位是 0，0 的个数与不循环部分的位数相同。二、分数转化成循环小数的判断方法：一个最简分数，如果分母中既含有质因数 2 和 5，又含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。一个最简分数，如果分母中只含有 2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。*1 至 30 的平方 1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9
40、*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=361 20*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900 18 *世界上最神奇的数字是 1 除以 7 的循环节：142857 1/7=0.142857 142857 142857.它神奇在哪里呢？1、我们把它从 1 乘到 6
41、看看 142857 X 1=142857 142857 142857 X 2=285714 285714 142857 X 3=428571 428571 142857 X 4=571428 571428 142857 X 5=714285 714285 142857 X 6=857142 857142 同样的6 个数字，只是依此调换了位置，反复出现。2、我们从1 乘到 6 除以 7 看看 1/7=0.142857.2/7=0.285714.3/7=0.428571.4/7=0.571428.5/7=0.714285.6/7=0.857142.1，3，5 分别除以7 所得商的规律是循环节的最高
42、位后移，后面的前移。2，4，6 分别除以7 所得商的规律是循环节的前两位后移，后面的前移。3、那么把它乘以7 是多少呢？我们会惊人的发现是 999999 4、142+857=999 14+28+57=99 1+4+2+8+5+7=9+9+9 5、我们用 142857 乘以 142857=20408122449 前五位+上后六位的得数是多少呢？20408+122449=142857“142857”发现于埃及金字塔内，它确实是一组神奇的数字。*数学小故事：神奇美妙的“9”九，是我们中华民族所崇拜的数字，在中国古代人们的观念中，将天称为“九天”、“九重”、“九霄”;将地划为“九州”、“九域 ”;将宗
43、庙称为“九庙”;道路谓之“九陌”;山有“九崇”;水曰“九河”;地有“九泉”;人分“九级”;官为“九品”。在古乐古诗中有九辩、九喜、九歌、九章等。九在中国人的心中竟拥有如此神奇的地位;作为一个数学爱好者，应该去深入探索它的本质及其它美妙的蕴意。易经上说，九数含有吉祥的意思，如果按照“阴阳”来说，奇数为阳，偶数为阴，而九是阳数中最大的，称为“极阳数”。十是一个完美的数字，而九接近十而不到 19 十，具有很强的倾向性，一位数字只有十个，而九是最大的一个，故为数字之极，寓义崇高。也许，就是这个原因，九有其最多的奇妙特点，最多的趣味性质。九有一个非常奇妙的性质，是其它数字所没有的。如果要求一个自然数除以
44、九的余数，则只要将这个数各位数字相加，其和如果仍是两位以上的数，则再将这个和的各位数字相加，最后所得的一位数，就是这个自然数除以九的余数。九的这一奇妙特点，总使数学爱好者十分着迷，许多趣味数学游戏，都与九的这一规律有关。数学老师常用“凑九”法验算学生的算式是否有误，而“凑九”法就是采纳了这一原理。九的倍数的各位数字之和也一定是九的倍数，可知九的倍数是一个非常和谐圆满的数系。八位数 12345679，如果将它同九相乘，奇怪的很，其积竟是全由 1 组成的数字111111111;如再乘 18(九的 2 倍)，可得九个 2，乘 27(九的 3 倍)，可得九个 3，直到乘 81，就可以得到九个 9.这种
45、整齐统一的特点，给人以多么美妙的印象啊!也许有人要问为什么把 8 去掉，填上会有规律吗?若把 7、8 都去掉，或把 6、7、8 都去掉，仍用九去乘，还有规律吗?答案是肯定的。九这个数字就是这么神奇，我们来看下列算式：纵观上面九个算式，不仅算式的结果很有规律，且积的数字之和都为九。第一个算式到第九个算式的变化，更能显示出奇妙无比的秩序美。20 如果你随便找来一个两位以上的自然数，比如是 317，将此数打乱，变成 173、731、713 吧，我们现在求出新数与原数的差，你猜会有什么结论?这些差 144、414、396 竟然全是九的倍数。在这里，无论是定数字，还是打乱所找数字的顺序，都是多么的随心所
46、欲啊!可是在这种繁乱中竟能出现规律，这种规律的主宰者却是九。假如再随意找一个两位以上的数，比方 418，先将它的各位数字之和求出;用原数减去其数字之和(418-18)，其差 405 也是九的倍数。下列算式的确是种简明的公式：100a+10b+c-(a+b+c)=99a+9b，公式的结果竟然是一个常数，且还是九的倍数，如所选的数是 4 位、5 位，是否还有规律呢?我们敢于肯定地说，九的奇妙一定处处再现，无论是多少位，九的统一美的光芒定会时时闪耀。九是一个神奇的反序数，在算式 10899=9801 中可知，九乘某一个数字，能使其顺序正好颠倒过来。从算式 1234567898+9=987654321
47、 中也可知，九加某数也竟能使其顺序颠倒;九也是一个神圣的自补数，因为 92=81，1+9=10;992=9801，1+99=102;9992=998001，1+999=103;又 9947=4658，而 53+47=102，999321=320679，而 670+321=103，九又是一个神秘的自生数，93=729，993=970299，9993=997002999;九也是一个奇妙的再植数，从算式 1098909=989010 中看出，9 竟然将这个数的最高两位变成最低两位。九还是有趣的勾股数中不可缺少的成员：2+402=412、92+122=152、而 40+41=92、12+15=33=3
48、9.啊!九的奇特，操纵着无数数学运算和游戏，它不愧为一位伟大的魔术师。在除法中，九的奇异也使人迷恋。看下列等式：1/9=0.111，2/9=0.222，8/9=0.888，多有规律啊!在化循环小数为分数时，九又是大显神手，10 是完美的数字，对于 10，9 和 11 是对称的，这种对称下也隐藏着许多秘密：1/11=0.09，2/11=0.18，3/11=0.27，9/11=0.81，10/11=0.90，真巧，分母含 11 的倍数，化成循环小数，其循环节的两个数竟然也是九的倍数。九，在代数的世界里留有神奇的足迹 九的有趣性质简直是太多啦!实在是举不胜举。这么独特的数字，难怪人们特别喜欢它，非常
49、崇拜它。正值冬天时，人们不数3，也不数 10，偏偏数九：“头九不算九;二九冻死狗;三九、四九掩门唤狗;五九、六九水走头;七九、八九河边看柳;九九又一九，犁牛遍地走”。重阳节是双九，人们十分重视这个节日，因为“九月九”家家有，此时正是收获的季节。唐代诗人孟浩然写出“待到重阳日，还来就菊花”的诗句，至今一直被文人墨客所称道。用九来起名的我国古代数学家泰九韶，所著的书名是算术九章，而书中共分九大类，每类又有九道题，他简直是九的又一个崇拜者。过去北京的许多建筑都和“九”这个数目有关。例如，北京城内最早是九个城门，天安门的城楼是九重楼，故宫四个角楼的结构是九梁十八柱，皇家建筑物大门上的钉数是纵九横九，北
50、海和故宫的九龙壁，都是九只龙，更有趣的是天坛有个历代皇帝祭天的地方，无论是洁白的石栏杆，或是圆台上磨平的石块，其数目都和九字有关。在改革之年，我相信人们将会以九牛二虎之力，去九天 、到九州探宝，朝着九千九百九十九的通天大路奋勇向前。21 九，这个数字王国中的明珠，它太神奇，太美妙啦!得到人们最高的崇尚，最好的赞扬，最多的欣赏，最有情感的偏爱。看起来，它是一个很普通的数，只不过与完美的数字 10 差 1，只不过是一个完全平方数，只不过是一个最大的个位数，但恰恰就这点原因，竟蕴藏着变幻无穷的秘密，在你随时随地的数字运算过程中，也许就会突然发现九之规律所在，你会为此兴奋不已，感叹不尽。可你要知道，你