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1、 1 中考专题系列之最值将军饮马 一、什么是将军饮马？【问题引入】“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀古从军行里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。【问题描述】如图，将军在图中点 A 处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走能使得路程最短？AB将军军营河【问题简化】如图，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最小？PBA【问题分析】这个问题的难点在于 PA+PB 是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段 【问
2、题解决】作点 A 关于直线的对称点 A，连接 PA，则 PA=PA，所以 PA+PB=PA+PB AABP 2 当 A、P、B 三点共线的时候，PA+PB=AB，此时为最小值（两点之间线段最短）折点端点APBA 【思路概述】作端点（点 A 或点 B）关于折点（上图 P 点）所在直线的对称，化折线段为直线段 3 二、将军饮马模型系列【一定两动之点点】在 OA、OB 上分别取点 M、N，使得PMN 周长最小 MNPPNMBAPOOPAB 此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OA（折点 M 所在直线）、OB（折点 N 所在直线）的对称点，化折线段 PM+MN+NP 为 PM+MN+NP，当
3、P、M、N、P共线时，PMN 周长最小 【例题】如图，点 P 是AOB 内任意一点，AOB=30，OP=8，点 M 和点 N 分别是射线OA 和射线 OB 上的动点，则PMN 周长的最小值为_ POBAMN【分析】PMN 周长即 PM+PN+MN 的最小值，此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 对称点 P、P，化 PM+PN+MN 为 PN+MN+PM PPNMABOP 当 P、N、M、P共线时，得PMN 周长的最小值，即线段 PP长，连接 OP、OP，可得OPP为等边三角形，所以 PP=OP=OP=8 POBAMNPP 4 【两定两动之点点】在 OA、OB 上分别取点 M、
4、N 使得四边形 PMNQ 的周长最小。QPMNBAPOQQOPABNM 考虑 PQ 是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ 最小值即可，类似，分别作点 P、Q 关于OA、OB 对称，化折线段 PM+MN+NQ 为 PM+MN+NQ，当 P、M、N、Q共线时，四边形PMNQ 的周长最小。【一定两动之点线】在 OA、OB 上分别取 M、N 使得 PM+MN 最小。PMNBAPOOPABNM 此处 M 点为折点，作点 P 关于 OA 对称的点 P，将折线段 PM+MN 转化为 PM+MN，即过点 P作 OB 垂线分别交 OA、OB 于点 M、N，得 PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短
5、）5 三、几何图形中的将军饮马 【寻找几何图形中端点关于折点所在直线的对称点位置】1正方形中的将军饮马【关于对角线对称】如图，正方形 ABCD 的边长是 4，M 在 DC 上，且 DM=1，N 是 AC 边上的一动点，则DMN周长的最小值是_ NMDCBA【分析】考虑 DM 为定值，故求DMN 周长最小值即求 DN+MN 最小值 点 N 为折点，作点 D 关于 AC 的对称点，即点 B，连接 BN 交 AC 于点 N，此时DMN 周长最小 NABCDM 【假装不存在的正方形】（2019山东聊城）如图，在 RtABO 中，OBA=90，A（4,4），点 C 在边 AB 上，且 AC:CB=1:3
6、，点 D 为 OB 的中点，点 P 为边 OA 上的动点，当点 P 在 OA 上移动时，使四边形 PDBC 周长最小的点 P 的坐标为()yxPODCBA A(2,2)B5(2，5)2 C8(3，8)3 D(3,3)6 【分析】此处点 P 为折点，可以作点 D 关于折点 P 所在直线 OA 的对称：DABCDOPxy 也可以作点 C 的对称：CABCDOPxy【隐身的正方形】（2017 辽宁营口）如图，在ABC 中，AC=BC，ACB=90，点 D 在 BC 上，BD=3，DC=1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC+PD 的最小值为()PDCBA A4 B5 C6 D7【分析】作点 C 关
7、于 P 点所在直线 AB 的对称点 C，当 C、P、D 共线时，PC+PD 最小，最小值为 5，故选 B CPDCBA 7 2三角形中的将军饮马【等边系列】如图，在等边ABC 中，AB=6，N 为 AB 上一点且 BN=2AN，BC 的高线 AD 交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是_ ABCDMN【分析】M 点为折点，作 B 点关于 AD 的对称点，即 C 点，连接 CN，即为所求的最小值 ABCDMN 过点 C 作 AB 垂线，利用勾股定理求得 CN 的长为 2 倍根号 7 HNMDCBA 【隐身的等边三角形】如图，在 RtABD 中，A
8、B=6，BAD=30，D=90，N 为 AB 上一点且 BN=2AN，M 是AD 上的动点，连结 BM，MN，则 BM+MN 的最小值是_ NMDBA 8 【分析】对称点并不一定总是在已知图形上 ABCDMN 【角分线系列之点点】（2018山东潍坊）如图，在 RtABC 中，ACB=90，AC=6AB=12，AD 平分CAB，点 F 是 AC 的中点，点 E 是 AD 上的动点，则 CE+EF 的最小值为()EAFCDB A3 B4 C3 3 D2 3 【分析】此处 E 点为折点，可作点 C 关于 AD 的对称，对称点 C在 AB 上且在 AB 中点，化折线段 CE+EF 为 CE+EF，当
9、C、E、F 共线时得最小值，CF 为 CB 的一半，故选 C CAFECDB 9 【角分线系列之点线】（2018辽宁营口）如图，在锐角三角形 ABC 中，BC=4，ABC=60，BD 平分ABC，交 AC 于点 D，M、N 分别是 BD，BC 上的动点，则 CM+MN 的最小值是()NMDCBA A3 B2 C2 3 D4 【分析】此处 M 点为折点，作点 N 关于 BD 的对称点，恰好在 AB 上，化折线 CM+MN 为CM+MN NABCDMN 因为 M、N 皆为动点，所以过点 C 作 AB 的垂线，可得最小值，选 C NMDCBAN 10 3矩形、菱形中的将军饮马【菱形高】（2018 广
10、西贵港）如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 2，BD=6，E 是 BC 的中点，P、M 分别是 AC、AB 上的动点，连接 PE、PM，则 PE+PM 的最小值是()A6 B3 3 C2 6 D4.5 【分析】此处 P 为折点，作点 M 关于 AC 的对称点 M，恰好在 AD 上，化折线 EP+PM 为EP+PM MEPDCBAM 当 E、P、M共线时，EP+PM 最小，最小值即为菱形的高，可用面积法：ACBD/2=BCEM MMABCPE EPDCBAM 11 【折点在边上】（2017 山东菏泽）如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为（-4,5），D 是 OB 的中点，E 是 OC上的
11、一点，当ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是()EODCBAxy A4(0,)3 B5(0,)3 C(0,2)D10(0,)3 【分析】点 E 为折点，E 是 y 轴上一点，作点 D 关于 y 轴的对称点 D，连接 AD，与 y 轴交点即为所求 E 点 DEODCBAxy【折点与面积】（2019 西藏）如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，AD=3，动点 P 满足13PABABCDSS矩形，则点P 到 A、B 两点距离之和 PA+PB 的最小值为()DCBAP A2 13 B2 10 C3 5 D41【分析】由13PABABCDSS矩形可作出 P 点轨迹为直线 MN（AM=BN=2），作点
12、B 关于 MN 的对称点 B，化折线 PA+PB 为 PA+PB 12 BMNDCBAP 当 A、P、B共线时，取到最小值，选 A 64PABCDNMB【全等与对称】（2017 江苏南通）如图，矩形 ABCD 中，AB=10，BC=5，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD各边上，且 AE=CG，BF=DH，则四边形 EFGH 周长的最小值为()HFGEDCBA A5 5 B10 5 C10 3 D15 3【分析】考虑到四边形 EFGH 是平行四边形，即求 EH+EF 最小值，此处 E 为折点，作 F关于 AB 对称点 F，则 BF=BF=DH=CM，MF=BC=5，MH=DC=10，HF为
13、 5 倍根号 5，周长最小值为 10 倍根号 5，故选 B 510FMHFGEDCBA 13 四、特殊角的对称【60角的对称】（2018 滨州）如图，AOB=60，点 P 是AOB 内的定点且 OP=3，若点 M、N 分别是射线 OA、OB 上异于点 O 的动点，则PMN 周长的最小值是()ABMOPN A3 62 B3 32 C6 D3 【分析】此处 M、N 均为折点，分别作点 P 关于 OB、OA 的对称点 P、P，化PMN 周长为 PN+NM+MP PPABMOPN 当 P、N、M、P共线时，得最小值，利用 60角翻倍得POP=120，OP=OP=OP，可得最小值 333120NPOMB
14、APP 14 【30角的对称】（2017 湖北随州）如图，AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，点 P 是 OA 上的一动点，点 N（3,0）是 OB 上的一定点，点 M 是 ON 的中点，AOB=30，要使 PM+PN 最小，则点 P的坐标为 NMPOBAxy 【分析】此处点 P 为折点，作点 M 关于 OA 的对称对称点 M如图所示，连接 PM，化 PM+PN为 PM+PN 3030MNMPOBAxy 当 M、P、N 共线时，得最小值，又MON=60且 ON=2OM，可得OMN=90，故 P 点坐标可求 MyxABOPNM3030 15 【20角的对称】如图，已知正比例函数 y=kx（
15、k0）的图像与 x 轴相交所成的锐角为 70，定点 A 的坐标为（0，4），P 为 y 轴上的一个动点，M、N 为函数 y=kx（k0）的图像上的两个动点，则 AM+MP+PN的最小值为_ PAMNOxy【分析】先考虑 M 为折点，作点 P 关于 OM 对称点 P，化 AM+MP+PN 为 AM+MP+PN PPAMNOxy 此处 P为折点，作点 N 关于 OP对称点 N，化 AM+MP+PN 为 AM+MP+PN PNyxONMAP 当 A、M、P、N共线且 ANON时，值最小 MPAOxyN 16 最值系列之将军饮马（二）【将军过桥】已知将军在图中点 A 处，现要过河去往 B 点的军营，桥
16、必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？河B军营A将军NM 考虑 MN 长度恒定，只要求 AM+NB 最小值即可问题在于 AM、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使 AM 与 NB 连在一起，将 AM 向下平移使得 M、N 重合，此时 A 点落在 A位置 A河B军营A将军NM 问题化为求 AN+NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置 A河B军营A将军NM【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】17 【将军过两个桥】已知将军在图中点 A 处，现要过两条河去往 B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？军营将军河河QABMNP 考虑 PQ、M
17、N 均为定值，所以路程最短等价于 AP+QM+NB 最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起 BAQABMNP AP 平移至 AQ，NB 平移至 MB，化 AP+QM+NB 为 AQ+QM+MB PNMBAQAB 当 A、Q、M、B共线时，AQ+QM+MB取到最小值，再依次确定 P、N 位置 18 【将军遛马】如图，将军在 A 点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？【问题简化】已知 A、B 两点，MN 长度为定值，求确定 M、N 位置使得 AM+MN+NB 值最小？MN将军 A军营B河【分析】考虑 MN 为定值，故只要 AM+BN 值最
18、小即可 将 AM 平移使 M、N 重合，AM=AN，将 AM+BN 转化为 AN+NB ABANM 构造点 A 关于 MN 的对称点 A，连接 AB，可依次确定 N、M 位置，可得路线 AMNABA【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B 在原点，点 A、C 在坐标轴上，点 D 的坐标为（6，4），E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，要使四边形 APQE 的周长最小，则点 P 的坐示应为_ EyxB()QACDOP 19 【分析】考虑 PQ、AE 为定值，故只要 AP+QE 最小即可，如图，将 AP 平移至 AQ，考虑AQ+QE 最小值
19、APODCAQB()xyE 作点 A关于 x 轴的对称点 A，连接 AE，与 x 轴交点即为 Q 点，左移 2 个单位即得 P 点 AAAB()OPQCED 【练习】如图，矩形 ABCD 中，AD=2，AB=4，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 EFAC 于点 M，连接 AF、CE，求 AF+CE 的最小值 ABCDEFM【分析】此题难点在于要得到 AF 与 CE 之间的关系，方能将这两条线段联系到一起过点E 作 EHCD 交 CD 于 H 点，由相似可得：FH=1 20 1HABCDEF 连接 BH，则 BH=CE FEDCBAH1 问题转化为 BH+AF 最小值 1HABCDEFFDCBAH1 参考将军遛马的作法，作出图形，得出 AF+BH=AH+BH=AB=5 BA1HABCDF