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1、测量的不确定度与数据处理 刘玉金 测量、测量误差与误差处理 1.测量与测量误差 1）直接测量与间接测量 直接测量：是用能直接读出被测值的仪器进行测量的方法。间接测量：是先用直接测量的方法测出几个物理量，然后代入公式计算得到所需物理量。2）等精度测量和不等精度测量 等精度测量：对某一物理量进行多次测量时，如果测量条件保持不变（同一的测量者、仪器、方法及相同的外部环境），这样进行的重复测量称为等精度测量。不等精度测量：如果测量条件中，一个或几个发生了变化，这时所进行的测量称为不等精度测量。3）测量误差 真值：在一定条件下，任何待测物理量都是客观存在的，不依人的意志为转移的确定值。测量误差：测量结果
2、与真值之间的差值。它反映了测量结果的准确程度，可用绝对误差表示，也可用相对误差表示：绝对误差=测量结果-被测量的真值 00100被测量真值绝对误差相对误差 E 2.误差分类 1）系统误差 系统误差总是使测量结果向一个方向偏离，其数值是一定的或以可预知的方式变化的。它来源于仪器本身的缺陷，或来源于理论公式和测量方法的近似性。消除和纠正系统误差的方法是对仪器进行校正，修正实验方法，或在计算公式中引入修正项。2）随机误差 由于随机的或不确定的因素所引起的每一次测量值无规律的涨落而造成的误差。它服从一定的统计分布规律，常见的一般性测量中，基本上属于正态分布，因此可用统计的方法处理随机误差。3.随机误差
3、的处理方法 1）随机误差的正态分布 2）残差、偏差和误差 残差为单次测量值 xi与有限次测量平均值x之差。即 xxxi (i=1,2,n)偏差为单次测量值 xi与总体平均值 之差。注意，偏差即为随机误差，系统误差为 0 时，偏差才是误差。误差为单次测量值 xi与被测量真值 x0之差。3），S，xS（1）总体标准偏差 nxinin21lim（2）有限次测量时的单次测量值标准差S 121nxxSini（3）x的标准偏差xS 121nnxxnSSinix 测量的不确定度 1.不确定度 1）不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。3）不确定度与误
4、差的关系 不确定度和误差是两个不同的概念，前者实在后者理论基础上发展起来的，它们都是由于测量过程的不完善性引起的。误差用于定性地描述理论和概念的场合，不确定的用于给出具体数值或进行定量运算分析的场合。2.直接测量结果不确定度的估计 直接测量结果总不确定度表示为 22BA 1）A 类不确定度 当进行有限次测量时，A 类不确定度的表达式为 12ntnSxA 式中12nt是与测量次数n，置信度1有关的量，可以从表 1.2.1 中查得。在要求精度不高的情况下，当 6n10 时 112nxxSniixA 当 n 不在上述范围内时或要求精度误差估计时，应查表得到相应的值。3）B 类不确定度B B 类不确定
5、度B分量的误差与不确定度的系统误差相对应。一般由仪器误差来代替。常用仪器的误差或误差限值由生产厂家或实验室给出。即 仪B 4）总不确定度的合成 222221仪ntnSxBA 当测量次数 n 符合 6n10 条件时，简化为22仪xS 当仪31S，或A对测量结果影响甚小，或只进行了一次测量，可简单地用仪表示。3.间接测量结果不确定度的估计 设间接测量所用的数学表达式为 ,zyxf 式中为间接测量结果，,zyx为直接测量结果，且它们相互独立。,zyx的不确定度（分别为,zyx）必然影响间接测量结果，使也有相应的不确定度。不确定度是微小量，相当于数学中的“增量”，所以间接测量结果不确定度的计算公式和数
6、学中的全微分公式基本相同。不同之处在于不确定度,zyx替代了 dx，dy，dz，以及不确定度用“方和根”合成的统计性质。即 222222zyxzfyfxf 间接测量结果的表示方法为 00100E.数据处理 1.测量结果的有效数字 1）有效数字的定义 测量结果的若干位准确数字和最后一位存疑数字的全体称为有效数字。有效数字位数的多少，反映了测量结果的准确度，位数越多，准确度越高。测量结果取几位有效数字是件严肃的事，不可任意取舍。有效数字与小数点的位置无关，单位换算时，有效数字的位数不应发生变化。还应注意，表示小数点位置的“0”不是有效数字，数字中间或数字后面的零是有效数字，不能任意增减。2）有效数
7、字的表示 有效数字的末尾为估读数字，存在不确定性，当规定不确定度的有效数字只取一位时，测量结果最后一位应与不确定度所在的那一位对齐。如 V=cm3中，测量值末位应于不确定度的“8”对齐。例 1 2.34cm=0.0234m 是正确的，但变为 2.34cm=2340m 是错误的，应记为10-4m。例 2 某人测得真空中的光速为 299700km/s，不确定度为 300km/s，若记为(299700300)km/s 是不正确的，应写为 10-5km/s。3）有效数字的运算规则 (1)加减运算 设zyx，各 分 量不 确 定度 为,zyx。先 计 算 不 确定 度222zyx，计算过程中取两位，最后
8、取一位，再计算，其中各分量,zyx位数取到和不确定度所在位相同或比不确定度所在位低一位，最后用不确定度决定最后结果的有效数字。若未标明,zyx，运算中以各分量中估计位最高的为准，其它各分量运算过程中保留到它下一位，最后对齐。例 271262.6753.03.71 显然以 271 为准，其余比它多保留一位 8.3472713.68.03.71 最后与 271 取齐，即 348。(2)乘除运算 设xyz，个分量不确定度为,zyx。以有效数字最少的分量为准，其它各分量的有效数字取到比它多一位，计算，结果也暂多保留一位，在计算不确定度，由不确定度决定最后结果有效数字的为数。在未标明不确定度,zyx时，
9、最后结果在最保险情况下可取到比上述最少位数的分量多一位，如计算 8.8670065.008437.45.39 式中有效数字位数最少只有2 位，运算中期于分量取3 位，结果也可取三位，即 31021.18680065.008.45.39(3)函数运算 设,zyxf。在直接测量值标明不确定度时，先用微分方法写出该函数的不确定度公式，再将直接测量值不确定度代入公式，确定函数有效数字的位数。若直接测量值未标明不确定度，则在直接测量值的最后一位数上取 1 作为不确定度代入公式。如测得4.25x，求xln。由于直接测量值4.25x未标明不确定度，应在最后一位上取 1 作为不确定度，即1.0 x，所以004
10、.0lnx。因此xln小数点后应保留至第三位，即 235.34.25lnlnx 在计算中，若有物理常数（如 c，h 等）和纯数学数字（如，e，2等）参与运算，它们不影响运算结果中有效数字的位数。(4)数值舍入规则 一般遵循“四舍六入五凑偶”的规则。“五凑偶”是若拟舍数字部分最左一位的数字为 5，当 5 后边为非 0 数字时，则进一，即保留数字末尾加1；当 5 后边无数字或全为 0 时，则保留数字末尾为奇数则进一，为偶数或0 则舍弃。2.数据处理 1）列表法 在记录和处理数据时，将数据列成表格。有时也可以把运算的主要过程列出。列表的主要要求是简单明了，便于看出有关量之间的关系，便于数据处理。必须
11、交代清楚表中各符号所表示的物理量意义，并写明单位，表中的数据要正确反映测量结果的有效数字，写明表的标题或加上必要的说明。2）作图法 应以横坐标为自变量，纵坐标为应变量，标出坐标轴的方向并真眼、注明所代表的物理量和单位，可靠数据在图中应为可靠，不可靠的数在图中应估计。连接不一定要通过所有的点，而要使所有的点分布在曲线的两侧。3）逐差法（适用于等间隔线性变化实验的测量）例：测量弹簧的倔强系数 k 时，先测出弹簧的自然长度 L0，然后依次在弹簧下端的小钩上加，的砝码，弹簧长度依次为 L1，L2，L7，对应于砝码的弹簧相应的伸长为：011LLL，122LLL，677LLL。其平均伸长量为 777076
12、71201721LLLLLLLLLLLL 由此可以看出，在多次测量过程中，只有两次测量值参与了运算，其它测量值并没有起到减小偶然误差的作用。因此，只要在测量列中适当采取变化，就能使各次测量值都参与运算。具体做法是：将测量列分成两组，一组为：L0，L1，L2，L3，另一组为 L4，L5，L6，L7。取对应的差值（称为逐差）041LLL 152LLL 263LLL 374LLL 再取平均值 37261504414141LLLLLLLLLLii 这时，L便是每增加时弹簧的伸长，所有的测量值都参与了运算，达到增加测量次数，消除偶然误差的目的。4）回归法 回归法也是利用实验所测得的数据组，用数学形式模拟
13、物理模型，通过测量的数据组变化趋势推测出函数形式。以下是用最小二乘法回归直线问题。若一组数据存在线性关系，于是有如下形式：BAXY 如何确定 A、B 常数呢 设有 n 组测量值（x1，y1）；（x2，y2）；（xn，yn），则 nixnx11；niyny11 令21121niiniiXXxnxL；21121niiniiyyynyL niininiiiiXYyxnyxL1111 则直线方程参数的最佳估计值为 XXXYLLB ；xByA 最后，直线方程为BxAy 为了检验直线，引进了相关系数 YYXXXYLLL 值越接近 1，x 和 y 的线性关系越好。值越接近 0，x 和 y 之间不存在线性关系。