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1、实用文档 数学分析题库（1-22 章）五证明题 1设 A，B 为 R 中的非空数集，且满足下述条件：（1）对任何BbAa,有ba；（2）对任何0，存在ByAx,，使得 xY.证明：.infsupBA 2.设 A，B 是非空数集，记BAS，证明：（1）BASsup,supmaxsup；（2）BASinf,infmininf 3.按N定义证明 352325lim22nnnn 4.如何用-N 方法给出aannlim的正面陈述？并验证|2n|和|n)1(|是发散数列.5.用方法验证：3)23(2lim221xxxxxx.6 用M方法验证：211lim2xxxx.7.设axxx)(lim0，在0 x某邻
2、域);(10 xU内ax)(，又.)(limAtfat证明 Axfxx)(lim0.8.设)(xf在点0 x的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列 nx，（1）)(0 xUxn，0 xxn，（2）0010 xxxxnn，都有Axfnn)(lim，则Axfxx)(lim0.9.证明函数 为无理数为有理数x，xxxf,0,)(3 在00 x处连续，但是在00 x处不连续.实用文档 10.设)(xf在（0，1）内有定义，且函数)(xfex与)(xfe在（0，1）内是递增的，试证)(xf在（0，1）内连续.11.试证函数2sin xy，在),0 上是不一致连续的.12.设函数)(xf在（a,
3、b）内连续，且)(limxfax=)(limxfbx=0，证明)(xf在（a,b）内有最大值或最小值.13.证明：若在有限区间（a,b）内单调有界函数)(xf是连续的，则此函数在（a,b）内是一致连续的.14.证明：若)(xf在点 a 处可导，f（x）在点 a 处可导.15.设函数),()(baxf在内可导，在a,b上连续，且导函数)(xf 严格递增，若)()(bfaf证明，对一切),(bax均有()()()f xf af b 16.设函数)(xf在,a内可导，并且()0f a 则存在唯一的),(a使得0)(f，又若把条件()fxc减弱为/()0()fxax,对任何,xx,成立 )()(xxL
4、xfxf.28.设()f x在 ,(0)aa 上满足 Lipschitz 条件：|()()|f xf yk xy,证明()f xx在,a 上一致连续.29.试证明方程11nnxxx在区间1(,1)2内有唯一实根。实用文档 30.设函数)(xf在点a具有连续的二阶导数，试证明：)()(2)()(lim 20afhafhafhafh 31.设)(xf在),(ba上可导，且 Axfxfbxax)(lim)(lim00.求证：存在),(ba，使0)(f.32.设)(xf在,ba上 连 续，在),(ba内 有n阶 导 数，且 存 在1n个 点),(,121baxxxn满足：)()()()()()2()1
5、(121121bfxfxfxfafbxxxann 求证：存在),(ba，使0)()(nf.33.设函数f在点0 x存在左右导数，试证f在点0 x连续.34.设函数f在,ba上可导，证明：存在),(ba，使得)()()()(222fabafbf.35应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：aababbabln，其中ba 0.36.证明:任何有限数集都没有聚点.37.设,nna b是一个严格开区间套,即满足 1221nnaaabbb,且lim0nnnba.证明:存在唯一的一点,使得,1,2,nnabn.38.设 nx为单调数列.证明:若 nx存在聚点,则必是唯一的,且为 nx的确界.39.若函数()f
6、 x在闭区间,a b上连续,证明()f x在,a b上一致连续.40.若函数()f x在闭区间,a b上连续,证明()f x在,a b上有界.41.若函数()f x在闭区间,a b上连续,证明()f x在,a b上有最大值.实用文档 42.若函数()f x在闭区间,a b上连续且单调增加,1(),(,()(),xaf t dtxa bxaF xf axa 证明()F x为,a b上的增函数.43.函数()f x在闭区间0,1上连续.证明2200(sin)(cos)fx dxfx dx.44.若函数()f x在闭区间,a b上单调,证明()f x在,a b上可积.45.若函数()f x在闭区间,
7、a b上连续,且()f x不恒等于零,证明2()0baf xdx.46.设函数()f x为(,)上以p为周期的连续周期函数.证明对任何实数a,恒有 0()()appaf x dxf x dx.47.若函数()f x在0,)上连续,且lim()xf xA,证明01lim()xxf t dtAx.48.若函数()f x和()g x在,a b上可积,证明222()()()()bbbaaaf xdxg xdxf x g x dx.49.若函数()f x在,a a上可积,且为偶函数,证明0()2()aaaf x dxf x dx.50.若函数()f x在,a b上可积,证明函数()(),xaxf t d
8、txa b在,a b上连续.51.若函数()f x在闭区间,a b上连续,且()()f af b.若为介于()f a与()f b之间的任何实数,则存在0,xa b,使得0()f x.52.若函数()f x在,a b上连续,证明函数()(),xaxf t dtxa b在,a b上处处可导,且 ()()(),xadxf t dtf xxa bdx.53.若数列 nb有limnnb,则级数11nnnbb发散.54.设1nnu为正项级数,且存在常数(0,1)q,使得对一切1n,成立1nnuqu.证明级数实用文档 1nnu收敛.55.设1nnu和1nnv为正项级数,且对一切1n,成立11nnnnuvuv
9、.级数1nnv收敛.证明级数1nnu也收敛.56.设正项级数1nnu收敛.证明级数21nnu也收敛.试问反之是否成立?57.设0,1,2,nan,且nna有界,证明级数21nna收敛.58.设级数21nna收敛.证明级数1(0)nnnaan也收敛.59.若lim0nnnakb,且级数1nnb绝对收敛,证明级数1nna也收敛.若上述条件中只知道级数1nnb收敛,能推得级数1nna也收敛吗?60.设0na,证明级数 112111nnnaaaa收敛.61.221)(xnxxSn.证明在),(内)(xSn0,)(n.62.设 数 列na单 调 收 敛 于 零.试 证 明:级 数nxancos在 区 间
10、 2 ,)0(上一致收敛.63.几何级数0nnx 在区间 ,aa)10(a上一致收敛；但在)1 ,1(内非一致收敛.64.设数列na单调收敛于零.证明:级数 nxancos 在区间 2 ,)0(上一致收敛.65.证明级数121)1(nnnx在R内一致收敛.实用文档 66.证明函数0!2)(nnnnxxf满足微分方程 R xyyy ,02.67.设.0 ,1,0 ,sin)(xxxxxf 证明对)0(,)(nfn存在并求其值.68.证明：幂级数1nnnx的和函数为1nnnx)1ln(x,x )1 ,1 .并求级数1132nnnn和Leibniz级数11)1(nnn的和.69.证明：幂级数1nnn
11、x的和函数为1nnnx2(1)xx,1|x.并利用该幂级数的和函数求幂级数1123nnnnx的和函数以及数项级数1121nnn的和.70.证明幂级数01212)1(nnnnx的和函数为arctgx，并利用该幂级数的和函数求数项级数012)1(nnn的和.71.设)(xf是以2为周期的分段连续函数,又 )(xf满足)()(xfxf.求证 )(xf的 Fourier 系数 满足,0,0220nnbaa.,2,1n 72.设)(xf是以2为周期的分段连续函数,又设 )(xf是偶函数，且满足 f xfx.求证：)(xf的 Fourier 系数,012na.,2,1n 73求证函数系nxxxsin,2s
12、in,sin是,0上的正交函数系.74设)(xf是以2L为周期的连续的偶函数。又设)(xf关于2Lx 对称，试证：)(xf的傅立叶系数：,3,2,1,0d)12cos()(112nxLxnxfLaLLn.75.设)(xf是以2为周期的可微周期函数，又设)(xf 连续，),2,1(,0nbaann是)(xf的 Fourier 系数.求证：lim,limnnnnab00.76.证明极限yxyxyx)0,0(),(lim不存在。实用文档 77.用极限定义证明：.0lim22)0,0(),(yxyxyx 78.证明极限22222)0,0(),()(limyxyxyxyx不存在.79.设),(),(xf
13、yxF)(xf在 0 x连续，证明：对,0Ry),(yxF在),(00yx连续.80.证明：如果),(yxf在),(000yxP连续，且0),(00yxf，则对任意),(00yxfr,),;(0P对一切),;(),(0PyxP有.),(ryxf 81.证明：22),(yxyxf在点)0,0(处连续且偏导数不存在.82.证明；2222221sin0(,)00yxyxyf x yxy 在)0,0(点连续，且0)0,0(,0)0,0(yxff不存在.83.证明 222222221()sin0(,)00 xyxyf x yxyxy 在 点)0,0(处连续且偏导数存在.84.设 函数),(yxf在),(
14、00yx的某邻域内存在偏导数，若),(yx属于该邻域，则存在)(010 xxx和)(020yyy，,10,1021 使得 00000(,)(,)(,)()(,)()xyf x yf xyfyxxfxyy。85.证明：2222220(,)00 xyxyf x yxyxy ,在点)0,0(不可微.86.证明:对任意常数,球面2222xyz与锥面2222tanxyz是正交的.87.证明:以为参数的曲线族 221()xyabab 是相互正交的(当相交时).88.证明:由方程()zyxz所确定的隐函数(,)zz x y满足 222()zzzxyy,其中二阶可导.实用文档 89.设20()ln 12 co
15、sF aaxadx,证明 20,10,()ln,1.若且 若aaF aaa 90.证明含参量反常积分 0sindyyxy 在,上一致收敛0其中，但在0,+内不一致收敛。91.证明含参量a的反常积分 0cos,0,0 axpxedxapx为常数 是一致收敛的.92.证明含参量p的反常积分 20sin,01 pxdxpx 是一致收敛的.93.若()f x在(0,)内可积,证明 000lim()()axaef x dxf x dx.94.证明dyyxxydxxyyx)sinsin2 ()coscos2 (22在整个 XY 平面上是某个函数 的全微分,并找出这样一个原函数.95.设一力场为 F)83
16、(22xyyxi+)128(23yyeyxxj.证明质点在此力场内移 动时,场力所作的功与路径无关.96.证明23 Lydxzdyxdza ,其中 L 是球面 2222azyx与平面 0zyx的交线(它是圆周),从 X 轴的正向看去,此圆周呈逆时针方向.97.证明3522 Lzdxxdyydz,其中L是圆柱面122 yx与平面 3 yz的交线(它是椭圆),从 X 轴的正向看去,此椭圆周呈逆时针方向.98.证明Ldzyxdyxzdxzy)()()(=)(2aha,其中 L 是圆柱面222ayx与平面1hzax(0 ,0ha)的交线(它是椭圆),从 X 轴的正向看去,此椭圆周呈逆时针方向.99.证
17、明：若),(yxf为有界闭区域D上的非负连续函数，且在D上不恒为零，则 实用文档 0),(Ddyxf.100.证明二重积分 Ddxdyxyf)(=21)(2lndxxf，其中21,41|),(xy xyyxD.101.设 f x是,a b上的正值连续,0,0DDxaya,则 2Df xdxdybafy.102.设,f x y在,ya xb yx ab所围区域D上连续,则 ,bxbbaaaydxf x y dydyf x y dx.103.证明22251225VxyzdxdydzR,其中V由222zxy，22220 xyzRz所围成的有界闭区域.104.证明3()xyz dSa,其中是左半球面2222azyx,0y。105.证明 22)(dSyx=)12(2,其中是区域 1|),(22zyxzyx的边界.106.证明464 2()15 xyyzzx dSa,是锥面22yxz被柱面axyx222所截部分.107.证明3()()()24 xy dydzyz dzdxzx dxdyh,其中是中心在原点,边长为h2的立方体 ,hh ,hh ,hh的边界.108.证明 yzdzdx=abc32,其中是椭球面1222222czbyax的上半部分,积分沿外侧.