高考数学圆锥曲线小题解题技巧14783.pdf

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1、圆锥曲线高考小题解析 一、考点分析 1.点、直线、斜率和倾斜角之间的关系;2.直线与圆的位置关系判断,以及圆内弦长的求法;3.掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容,特别是参数之间的计算关系以及独有的性质;4.掌握圆锥曲线内弦长的计算方法(弦长公式和直线参数方程法);5.通过研究第二定义,焦点弦问题,中点弦问题加深对图形的理解能力;6.动直线过定点问题和动点过定直线问题;7.定值问题;8.最值问题。二、真题解析 1.直线与圆位置关系以及圆内弦长问题 1.【2018 全国 1 文 15】直线1yx与圆22230 xyy交于,A B两点,则|AB=_ 解析:2222230(1)4xyyxy,圆心坐标为(

2、0,1),半径2r 圆心到直线1yx的距离2d,由勾股定理得22|22 2ABrd 2.【2018 全国 2 理 19 文 20】设抛物线2:4C yx的焦点为F,过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于,A B两点,|8AB (1)求l的方程;(2)求过点,A B且与C的准线相切的圆的方程。解析:(1)直线过焦点,因此属于焦点弦长问题,可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22|8sinpAB,则2sin2,tan1 则l的直线方程为1yx (2)由(1)知AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx,即5yx 设所求圆的圆心坐标为00(,)xy,则 0022

3、0005(1)(1)162yxyxx 解得00003112-6xxyy或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1xyxy或 通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论:在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切,证明过程如下:在上图中过焦点的直线与抛物线交于,A B两点,取AB的中点M,三点分别向准线作垂线,垂足分别为,C D N,因为1()2MNACBD,,ACAF BDBF,所以11()22MNAFBFAB,所以AB为直径的圆与准线相切。3.【2018 北京理 10】在极坐标中,直线cossin(0)a a与圆2cos相切,则a=_.解析:cossin(0)a axya 2

4、22cos(1)1xy 直线与圆相切时|1|12adr,解得12a 4.【2018 天津理 12】已知圆2220 xyx的圆心为C,直线212232xtyt (t 为参数)与该圆相交于,A B两点,则ABC的面积为_.解析:222220(1)1xyxxy 2122232xtxyyt 圆心(1,0)到直线20 xy的距离为22d,所以22|22ABrd 所以11|22ABCSAB d 5.【2018 天津文 12】在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为_.解析:(0,0),(1,1)两点的中垂线方程为10 xy,(0,0),(2,0)两点的中垂线方程为1x,联立

5、101xyx 解得圆心坐标为(1,0),半径1r 所以圆的方程为22(1)1xy 6.【2018 江苏选修 C】在极坐标中,直线l的方程为sin()26,曲线C的方程为4cos,求直线l被曲线C截得的弦长。解析:sin()23406xy 224cos(2)4xy,设直线与圆相交于,A B两点 圆心(2,0)到直线340 xy的距离212d 22|22 3ABrd 2.椭圆,双曲线,抛物线中基础性的计算问题 7.【2018 全国 1 文 4】已知椭圆222:14xyCa的一个焦点为(2,0),则 C 的离心率为_.解析:2,2cb所以2228abc,2222 2cea 8.【2018 全国 2

6、理 5 文 6】双曲线22221xyab的离心率为3,则其渐近线方程为_.解析:2223cea,则令223,1ca则22b,所以渐近线方程为2byxxa 9.【2018 全国 3 文 10】已知双曲线2222:1xyCab的离心率为2,则点(4,0)到C的 渐近线的距离为_.解析:2cea,渐近线0bxay 所以点(4,0)到渐近线的距离为2244bbdcab 令2,1ca,则2222441,2 2bbbcadcab 因为求的是比值,因此没必要求出,b c具体的数字,因为无论,b c是多少,其比值都是相同的。10.【2018 北京 文 10】已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴,若l被抛物线2

7、4yax截得的线段长为 4,则抛物线的焦点坐标为_.解析::1l x,代入到24yax得2ya,所以44a,1a(a只能为正数)11.【2018 北京文 12】若双曲线2221(0)4xyaa的离心率为52,则a=_.解析:22222222452,4cababeaaa,解得4a 12.【2018 天津理 7】已知双曲线22221xyab的离心率为 2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于,A B两点,设,A B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为12,d d,且126dd,则双曲线的方程为_.解析:如上图,12dd为右焦点F到渐近线byxa的距离的 2 倍,故 122226bcddab,又因为

8、2cea,解得223,9ab 所以双曲线的方程为22139xy 13.【2018 江苏 8】在平面直角坐标系xoy中,若双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点(,0)F c到一条渐近线的距离为32c,则其离心率的值是_.解析:双曲线的渐近线为0bxay,2232bcdbcab 所以222222cceacb 14.【2018 浙江 2】双曲线2213xy的焦点坐标是_.解析:222223,1,4abcab,且焦点在x轴上,所以焦点坐标为(2,0),(2,0)15.【2018 上海 1】设P为椭圆22153xy上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为_.解析:25,5aa,P 到该椭圆

9、的两个焦点的距离之和为22 5a 16.【2018 上海 6】双曲线2214xy的渐近线方程为_.解析:224,1ab,所以渐近线方程为12byxxa 17.【2018 全国 1 理 8】设抛物线2:4C yx的焦点为F,过点(2,0)且斜率为23的直线与C交于,M N两点,则FM FN=_.解析:(1,0)F,过点(2,0)且斜率为23的直线方程为2433yx,设1122(,),N(,)M x yxy,联立 22121245405,42433yxxxxxx xyx 所以121212()1 48FM FNx xxxx x 18.【2018 江苏 12】在平面直角坐标系xoy中,A为直线:2l

10、yx上在第一象限内的点,(5,0)B以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。若0AB CD,则点A的横坐标为_.解析:因为ADBD,所以|BD为点B到直线2yx的距离,所以102 55BD,因为ABD为等腰直角三角形,所以22 10ABBD 设(,2)A mm,所以22(5)(2)2 10mm,且0m 解得3m 3.圆锥曲线的离心率问题 19.【2018 全国 2 理 12】已知12,F F是椭圆2222:1xyCab的左右焦点,A是C的左顶点,点P在过点A且斜率为36的直线上,12PF F为等腰三角形,12120F F P,则 C 的离心率为_.解析:如上图,212222,60,3PFFFc

11、PF QF Qc PQc 所以(2,3)Pcc,因为(,0)Aa 所以331264APcKeca 20.【2018 全国 2 文 11】已知12,F F是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若12PFPF,且2160PF F,则C的离心率是_.解析:因为12|2FFc,12PFPF且2160PF F,则21|,|3PFc PFc 所以12|(13)2PFPFca,解得31cea 21.【2018 全国 3 理 11】设12,F F是双曲线2222:1xyCab的左右焦点,O是坐标原点,过1F作C的一条渐近线的垂线,垂足为P,若1|6|PFOP,则双曲线的离心率为_.解析:由题意知:2:()aPF

12、yxcb 联立()ayxcbbyxa,解得2axcabyc,即2(,)aabPcc 2222221|6|()()6()()aabaabPFOPccccc 解得3e 22.【2018 北京理 14】已知椭圆2222:1(0)xyMabab,双曲线2222:1xyNmn.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为_;双曲线的N的离心率为_.解析:如上图,点 P 在椭圆上,也在以12FF为直径的圆上,所以12211290,30,3FPFPF FPFc PFc,所以12(13)2PFPFca,解得31e 在上图中,260QOF,所以32bea

13、4.最值和范围问题 23.【2018 全国 3 理 6 文 8】直线20 xy分别于x轴,y轴交于,A B两点,点P 在圆22(2)2xy上,则ABP面积的取值范围是_.解析:(2,0),(0,2),(22 cos,2sin)ABP,(2,2),(42 cos,2sin)ABAP 此处用到了三角函数方法和向量法求三角形面积的公式 24.【2018 北京理 7】在平面直角坐标系中,记d为点(cos,sin)P到直线20 xmy的距离,当,m变化时,d的最大值为_.解析:题目中如果是按照常规的点到直线距离来算,则要同时面对两个变量,点P在单位圆上,则d最大时等于圆心(0,0)到直线的距离加半径,这

14、样就可以不用考虑的变化对最值的影响。(cos,sin)P是圆221xy上的点,所以22131dm 25.【2018 浙江 17】点(0,1)P,椭圆22(1)4xym m上两点,A B满足2APPB,则当m=_时,点B横坐标的绝对值最大。分析:若设B点横坐标为0 x,则题目转化为当m为何值时,0 x最大 因此可将0 x和m放在同一个等式中且将0 x单独分离到一边,含有m的式子放到另一边,此时含有0 x的部分类似于关于m函数的值域,因此题目的关键是找到一个包含m和0 x的等式,,A B两点的坐标通过共线产生关联,且,A B均在椭圆上,因此将,A B两点坐标代入椭圆方程,消去y即可得到关于m和0

15、x的等式。解析:设00(,)B xy,因为2APPB,则00(2,32)Axy 联立220022000220044-(32)34(32)4xymxyymxym消去 解得034my 所以2203()44xmm,化简得220(5)164mx 所以当5m 时,0 x取得最大值。26.【2018 浙江 21】如图,已知点 P 是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线2:4C yx上存在不同的两点,A B满足,PA PB的中点均在C上。(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;(2)若P是半椭圆221(0)4yxx上的动点,求PAB面积的取值范围。解析:(1)设2200112211(,),(,),(,)44

16、P xyAyyByy AP中点满足:22102014()4()22yxyy BP中点满足:22202024:()4()22yxyyBP 所以12,y y是方程220204()4()22yxyy即22000280yy yxy的两个根,所以1202yyy,故PM垂直于y轴。(2)由(1)可知212012002,8yyyyyxy 所以2221200013|()384PMyyxyx,21200|2 2(4)yyyx 因此,322120013 2|(4)24PABSPMyyyx 因为220001(0)4yxx,所以22000044444,5yxxx 因此,PAB面积的取值范围是15 106 2,4 5.

17、距离型问题 27.【2018 全国 1 理 11】已知双曲线22:13xCy,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为,M N,若OMN为直角三角形,则|MN _.解析:如上图所示,可得3MNk,MN所在直线方程为3(2)yx 联立3(2)(3,3)33yxMyx 联立3(2)33(,)3223yxNyx 解得|3MN 6.定值问题 28.【2018 全国 3 理 16】已知点(1,1)M 和抛物线2:4C yx,过C的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于,A B两点,若90ABM,则k=_.解析:用到结论:在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切 所以1NMyy,设0(,1)N x,根据焦点弦斜率公式可得000122ABONABABpkkkkxxx

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