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1、第一讲 与三角形有关的线段 知识点 1、三角形的概念 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。三角形的表示方法 三角形用符号“”表示，顶点是 A,B,C 的三角形，记作“ABC”三角形 ABC 用符号表示为ABC。三角形 ABC 的顶点 C 所对的边 AB 可用 c 表示,顶点 B 所对的边 AC 可用 b 表示,顶点 A 所对的边 BC 可用 a 表示.知识点 2、三角形的三边关系【探究】任意画一个ABC,假设有一只小虫要从 B 点出发,沿三角形的边爬到 C,它有几
2、种路线可以选择各条路线的长一样吗为什么 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为 a+bc，b+ca，a+cb 拓展：a+bc，根据不等式的性质得 c-ba，即两边之差小于第三边。即 a-bca+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习 1】一个三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm，则此三角形的第三边的长可能是（）A3cm B4cm C7cm D11cm【练习 2】有下列长度的三条线段能否组成三角形为什么 (1)3，5，8；(2)5，6，10；(3)5，6，7.(4)5,6,12【辨析】有三条线段 a、b、c，a+bc，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗
3、为什么【例 1】用一条长为 18 的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的 2 倍，那么各边的长是多少（2）能围成有一边长为 4 的等腰三角形吗为什么【练习】1、三角形三边为 3，5，3-4a，则 a 的范围是 。2、三角形两边长分别为 25cm 和 10cm，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为 。3、等腰三角形的周长为 14，其中一边长为 3，则腰长为 4、一个三角形周长为 27cm，三边长比为 234，则最长边比最短边长 。5、等腰三角形两边为 5cm 和 12cm，则周长为 。6、已知：等腰三角形的底边长为 6cm，那么其腰长的范围是_。7、已知：一个三角形两边分别为 4
4、和 7，则第三边上的中线的范围是_。8、下列条件中能组成三角形的是（）A、5cm,7cm,13cm B、3cm,5cm,9cm C、6cm,9cm,14cm D、5cm,6cm,11cm 9、等腰三角形的周长为 16，且边长为整数，则腰与底边分别为（）A、5，6 B、6，4 C、7，2 D、以上三种情况都有可能 11、一个三角形两边分别为 3 和 7，第三边为偶数，第三边长为（）A、4，6 B、4，6，8 C、6，8 D、6，8，10 11、ABC 中，a=6x，b=8x，c=28，则 x 的取值范围是（）A、2x14 B、x2 C、x14 D、7x14 12.指出下列每组线段能否组成三角形图
5、形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4 （3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=6 13.已知等腰三角形的两边长分别为 11cm 和 5cm，求它的周长。14.已知等腰三角形的底边长为 8cm，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长 2cm，求这个三角形的腰长。15、已知等腰三角形一边长为 24cm，腰长是底边的 2 倍。求这个三角形的周长。16、如图，求证：AB+BC+CD+DAAC+BD 知识点 3 三角形的三条重要线段 三角形的高(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角
6、形的高）(2)高的叙述方法 AD 是ABC 的高 ADBC，垂足为 D 点 D 在 BC 上，且BDA=CDA=90 度【练习】画出、三个ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.AB 边上的高是线段_ AB 边上的高是线段_ AB 边上的高是线段_ BC 边上的高是_ BC 边上的高是_ BC 边上的高是_ AC 边上的高是_ AC 边上的高是_ AC 边上的高是_ 辨析 高与垂线有区别吗_ 探究 画出图 1 中三角形 ABC 三条边上的高，看看有什么发现如果ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗试着画一画【结论】_ 三角形的中线（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线
7、段叫做三角形的中线。三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。【探究 2】如图，AD 为三角形 ABC 的中线，ABD 和ACD 的面积相比有何关系【例 2】如图，已知ABC 的周长为 16 厘米，AD 是 BC 边上的中线，AD=45AB，AD=4 厘米，ABD 的周长是 12 厘米，求ABC 各边的长。三角形的角平分线（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。辨析 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗 画出ABC 各角的角平分线,并说明是哪角的角平分线.探究观察画出的三条角平线，你有什么发现_ 自我检测 如图，AD、AE、CF 分
8、别是ABC 的中线、角平分线和高，则：(1)BD=_=12_；(2)BC=2_=2_；ABCABCBACFEDCBA(3)BAE=_=12_；(4)BAC=2_=2_；(5)_=_=90 知识点 4 三角形的稳定性 三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗【试一试】1、如图，AD 是ABC 的中线，已知ABD 比ACD 的周长大 6cm，则 AB 与 AC 的差为_ 2、如图，D 为ABC 中 AC 边上一点，AD=1,DC=2,AB=4
9、,E 是 AB 上一点，且ABC的面积等于DEC 面积的 2 倍，则 BE 的长为（）3、若点 P 是ABC 内一点，试说明 AB+ACPB+PC【课后作业】是ABC 的高，可表示为 ，AE 是ABC 的角平分线，可表示为 ，BF是ABC 的中线，可表示为 .2.如图 2，AD 是ABC 的角平分线，则 =12 ；E 在AC 上，且 AE=CE,则 BE 是ABC 的 ；CF 是ABC 的高，则 =900，CF AB.3.如图3,AD是ABC的中线,AE是ABC的角平分线,若BD=2cm,则BC=;若BAC=600,则CAE=.4.如图 4,以 AD 为高的三角形共有 .5.三角形的一条高是一
10、条（）A.直线 B.垂线 C.垂线段 D.射线 6.下列说法中，正确的是（）A.三角形的角平分线是射线 B.三角形的高总在三角形的内部 C.三角形的高、中线、角平分线一定是三条不同的线段 D.三角形的中线在三角形的内部 7.下列图形具有稳定性的是（）C A B D E F 图 2 A B D E C 图 3 A B E D C 图 4 A.正方形 B.梯形 C.三角形 D.平行四边形 8.如图 8，ADBC 于 D,CEAB 于 E,AD、CE 交于点 O,OFCE,则下列说法中正确的是（）为ABD 中 AB 边上的高 为BCE 中 BC 边上的高 为AOC 中 OC 边上的高 为AOC 中
11、AC 边上的高 9.如图，BD 是ABC 的角平分线，DEBC，交 AB 于点 E，A=45，BDC=60，求BED 的度数 10.已知 BD 是ABC 的中线，AC 长为 5cm，ABD 与BDC 的周长差为 3cm.AB 长为 3cm，求 BC 的长.11.如图 11,在ABC 中，ACB=900,CD 是 AB 边上的高，AB=5cm,BC=4cm,AC=3cm,求(1)ABC 的面积；(2)CD 的长.12.如图 12，D 是ABC 中 BC 边上一点，DEAC 交 AB 于点 E,若EDA=EAD,试说明，AD 是ABC 的角平分线.第二讲 与三角形有关的角 知识点 1、三角形的内角
12、和定理：三角形的内角和等于 1800。【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于 1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的 把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD 的度数，可得到A+B+ACB=1800。想一想，还可以怎样拼 剪下A，按图（2）拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。图 2 把B和C剪下按图（3）拼在一起，可得到A+B+ACB=1800。如果把上面移动的角在图上进行转移，由图 1你能想到证明三角形内角和等于 1800的方法吗 A A A A 图 11 A E B D C 图 1
13、2 证明：已知ABC，求证：A+B+C=1800。、【例 1】如图，C 岛在 A 岛的北偏东 30 方向，B 岛在 A 岛的北偏东 100 方向，C 岛在 B 岛的北偏西 55 方向，从 C 岛看A、B 两岛的视角ACB 是多少度【讨论】直角三角形的两锐角之和是多少度 结论:直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt”表示，直角三角形 ABC 可以写成 RtABC。由三角形内角和定理可得：有两个角互余的三角形是直角三角形。知识点 2、三角形的外角 定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。自我探究 画出图中三角形 ABC 的外角 1、判断图中1 是不是ABC 的外
14、角：_ 2、如图，(1)1、2 都是ABC 的外角吗_(2)ABC 共有多少个外角_ 请在图中标出ABC 的其它外角.3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明ACD 与A、B 的关系吗 CEAB，A=_，_=2 又ACD=_+_ ACD=_+_ 结论 1_三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；结论 2_三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角(外角两性质)【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。外角的作用：1、已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个 2、可证一个角等于另两
15、个角的和 3、证明两个角不相等的关系 课后练习 1.填空：求出下列各图中1 的度数.(1)如图，1=_；(2)如图，1=_；(3)如图，1=_；(4)如图，1=_；(5)如图，1=_；(6)如图，1=_.2、判断正误：(1)三角形的一个外角等于两个内角的和.（）(2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角，等于它的另一个不相邻的内角.()(3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角.()2.已知：如图，1=30，2=50，3=45，则(1)4=_；(2)5=_.3.已知：如图1=40，2=3，则 (1)4=_；(2)2=_.4.如图，ABCD，B=55，C=40，则 (1)D=_；(2)1
16、=_.5.如图，BAE，CBF，ACD 是ABC 的三个外角，它们的和是多少 解：因为BAE=_+_，CBF=_+_，ACD=_，所以BAE+CBF+ACD=（_+_）+（_）+（_）=2（1+_）=2180=360.6.已知：如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高，1BACD第4题(1)3030(1)1BACD第4题(2)4035(2)ABCD1第4题(3)40(3)ABCD1第4题(4)12085(4)ABC1D第4题(5)7040(5)AD1CB第4题(6)35(6)第 2 题图 54321第 4 题图 DCBA1第 3 题图 4321123DEFBAC第 5 题图 DABCBAC
17、=80，C=40，则BAD=_.7.已知：如图，BD 是ABC 的角平分线,A=100，C=30，则ADB=_.8.*如图，AD、BE 分别是ABC 的高和 角平分线，BAC=100，C=30，则1=_.9、如图所示，D,E 分别 AC，AB 边上的点，DB,EC 相 交于点 F，则A+B+C+EFB=_ 10.ABC 中，B=A+100，C=B+200，求ABC 各内角的度数 11、如图所示，已知1=2，BAC=70 度，求DEF的度数。12.如图所示,在ABC 中,A=70,BO,CO 分别平分ABC 和ACB,求BOC 的度数.13.如图所示,在ABC 中,D 是 BC 边上一点,1=2
18、,3=4,BAC=63,求DAC 的度数.第三讲 多边形及其内角和 一、知识点总结 知识点一：多边形及有关概念 1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图 1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形 凹多边形 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形三角形、四边ABDC1EABDC第 6 题 第 7 题 第 9 题 第 8 题 形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形 知识
19、点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形 知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.如图 2，BD 为四边形 ABCD 的一条对角线。要点诠释：(1)从 n 边形一个顶点可以引(n3)条对角线，将多边形分成(n2)个三角形。(2)n 边形共有(3)2n n 条对角线。知识点四：多边形的内角和公式：n边形的内角和为(2)180on(3)n.内角和定理的应用：已知多边形的边数，求其内角和；已知多边形内角和，求其边数。知识点五：多边形的外角和：
20、任意多边形的外角和等于 360.二、经典例题透析 类型一：多边形内角和及外角和定理应用 例 1一个多边形的内角和等于它的外角和的 5 倍，它是几边形？【变式 1】若一个多边形的内角和与外角和的总度数为 1800，求这个多边形的边数.【变式 2】一个多边形除了一个内角外，其余各内角和为 2750，求这个多边形的内角和是多少 【变式 3】一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 1350，求这个多边形的边数。类型二：多边形对角线公式的运用 例 2、一个多边形共有 20 条对角线，则多边形的边数是（）.A6 B7 C8 D9【变式 1】一个十二边形有几条对角线。类型三：可转化为多边形内角和问题 例
21、 3、如图所示，1+2+3+4+5+6=_.【变式 1】如图所示，求ABCDEF 的度数。类型四：实际应用题 例 4如图，一辆小汽车从 P 市出发，先到 B 市，再到 C 市，再到 A 市，最后返回P 市，这辆小汽车共转了多少度角？【变式 1】如图所示，小亮从 A 点出发前进 10m，向右转15，再前进 10m，又向右转 15，这样一直走下去，当他第一次回到出发点时，一共走了_m.【变式 2】小华从点 A 出发向前走 10 米，向右转 36，然后继续向前走 10 米，再向右转 36，他以同样的方法继续走下去，他能回到点 A 吗若能，当他走回点A 时共走了多少米若不能，写出理由。【变式 3】如图
22、所示是某厂生产的一块模板，已知该模板的边 ABCF，CDAE.按规定 AB、CD 的延长线相交成 80角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一个角，便知道 AB、CD 的延长线的夹角是否合乎规定，你知道需测哪一个角吗说明理由.三、综合练习 一、选择题：1.一个多边形的内角和是 720,则这个多边形是()A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.一个多边形的内角和比它的外角和的 3 倍少 180,这个多边形的边数是().6 C 3.若正 n 边形的一个外角为 60,则 n 的值是().5 C 4.下列角度中,不能成为多边形内角和的是()5.若一个多边形的内角和与外角和之
23、和是 1800,则此多边形是()A.八边形 B.十边形 C.十二边形 D.十四边形 二、填空题 1.十边形的对角线有_条.2.内角和是 1620的多边形的边数是_.3.一个多边形的每一个外角都等于 36，那么这个多边形的内角和是 .4.一个多边形的内角和是外角和的 4 倍，则这个多边形是 边形.5.如图在ABC 中，D 是ACB 与ABC 的角平分线的交点，BD 的延长线交 AC 于 E，且EDC=50，则A 的度数为 .三、计算题 1.一个多边形的每一个外角都等于 45,求这个多边形的内角和.2.一个多边形的每一个内角都等于 144，求它的边数.3.一个正多边形的一个内角比相邻外角大 36，
24、求这个正多边形的边数.4.已知一多边形的每一个内角都相等，它的外角等于内角的32，求这个多边形的边数；5.探究：（1）如图21与CB有什么关系为什么（2）把图ABC沿DE折叠，得到图，填空：12_CB(填“”“”“”)，当40A时，CB+21=_.（3）如图，是由图的ABC沿DE折叠得到的，如果30A，则360yx（CB+21）360 ,从而猜想yx 与A的关系为 .图 图 图 6（1）如图 1，有一块直角三角板 XYZ 放置在 ABC 上，恰好三角板 XYZ 的两条直角边 XY、XZ 分别经过点 B、C ABC 中，A=30，则ABC+ACB=_，XBC+XCB=_ （2）如图 2，改变直角
25、三角板 XYZ 的位置，使三角板 XYZ 的两条直角边 XY、XZ 仍然分别经过 B、C，那么ABX+ACX 的大小是否变化若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABX+ACX 的大小 第四讲 全等三角形（一）知识要点 1、全等三角形的有关概念 1）能够完全重合的两个图形叫做 形。2）能够完全重合的两个三角形叫做全等 形。把两个全等的三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。3）全等三角形表示方法：“全等”用“”表示，读作“全等于”，如ABCDEF。4）对应元素：对应顶点：点 A 与点 D，点 B 与点 E，点 C 与点 F 是对应顶点 对应边：AB 与
26、DE，AC 与 DF，BC 与 EF 是对应边 对应角：A 与D，B 与E，C 与F 是对应角 当两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如右图所示，ABC 和DEF 全等，是，记作ABCDEF。其中，。2、常见的全等三角形的基本图形有平移型、旋转型和翻折型。（1）平移型：A B C D E F B A C D E E A B C D O A B C D F E A B C 1 E D A B C D O 1 2（1）（2）A B D C（1）（2）A B C E D 如下左图，若ABCDEF，则 BC=EF。将DEF 向左平移得到下右图，则仍有 BC=EF，在右图中，若知
27、 BC=EF，则可推出 BE=CF。（2）旋转型：如下左图，两对三角形的全等属于旋转型，图形的特点是：图 1 的旋转中心为点 A，有公共部分1；图 2 的旋转中心为点 O，有一对对顶角1=2。（3）翻折型：如右图，两个三角形的全等属于翻折型，其中图中有公共边AB 3、全等三角形的性质 1）全等三角形的对应边相等；2）全等三角形的对应角相等。3）知识延伸：如果两个三角形全等，则三角形的对应边上的中线、高线及对应角的角平分线也相等。4、规律方法小结：在寻找全等三角形的对应边和对应角时，常用的方法有：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是
28、对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）公共边一定是对应边，公共角一定是对应角，对顶角一定是对应角；（4）全等三角形中一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）。（二）典型例题 例 1：若把ABC 绕 A 点顺时针旋转一定的角度，就得到ADE，请写出图中所有的对应边和对应角。例 2：如图，已知ABDACE。试说明 BE=CD，DCO=EBO。例 3：如图，ADFCBE，且点 E，B，D，F 在一条直线上，判断 AD 和 BC 的位置关系，并加以说明。例 4：如图，在ABC 中，D，E 分别是边 AC，BC 上的点，若ADBEDBEDC，则C 的度数为（）A、150 B、200 C、250
29、 D、300 例 5：如图，ABE 和ADC 是ABC 分别沿 AB，AC 边翻折 1800形成的，若1：2：3=28：5：3，则求的度数。例 6：如图所示，ABCADE，B 和D 对应，C 和E 对应，且B=25，E=105，DAC=15，则EAC 等于多少度？A B C D E F A B C D E F 例 7：如图，已知ABCDBE，ABCD，DE 的延长线交 AC 于点 F，那么 DFAC吗说明理由 例 8：如图，已知ABEACD且 AB=AC，求证：(1)BAD=CAE;(2)BD=CE.例 9.如图，已知ABCAED，AEAB，ADAC ，20DE ，60BAC.求C的度数.（三
30、）反馈练习 1如图，ABCDCB，若l 与2 是一组对 应角，则其他的对应角有 ，对应边有 ，。2 如图，ABCABC，且点 B，B，C，C在同一直线上，则 BB=_；若A=80o，则A=o，BDC=o。（题 1）（题 2）（题 3）（题 4）3如图，把ABC 沿直线 BC 翻折 180o，得到DBC，则ABC 与DBC 的关系是 。4如图，把ABC 绕点 A 旋转一定的角度得到AED，那么ABC AED，其 中 对 应 边 有 ，对 应 角有 ，。5（南通）已知：如图，OADOBC，且O=70o，C=25o，则AEB=。（题 5）（题 6）（题 7）（题 9）6如图，ABDACD，AB=AC
31、，则BAD=，BD=，ADB=度 7如图，若AB CEDC，且B=58o，CD=2cm，点 B，C，E 在同一直线上，则E=，BC=cm.8 若ABCDEF，DEF 的周长为 32cm，DE=9cm,EF=12cm，则 AB=cm,BC=_cm，AC=cm.9如图，直角ABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到DEF，则下列结论中错误的是()A.ABCDEF B.DEF=90o CAC=DF DEC=CF 10.下列说法，(1)形状相同的两个三角形是全等三角形；(2)面积相等的两个三角形是全等三角形；(3)全等三角形的周长相等，面积相等；(4)若ABCDEF，则A=D，AB=EF.其中正确
32、的个数有()个 个 C3 个 D4 个 11如图所示，ABCAEF，AB=AE，B=E，则下列结论：AC=AF;FAB=EAB；EF=BC;EAB=FAC.其中正确结论的个数是()个 个 个 个 12.如图，在ABC 中，D、E 分别是边 AC、BC 上的 点，若ADBEDBEDC，则 C 的度数 为()A15o B20o C25o D30o （题 11）（题 12）（题 13）13如图，ABCCDA，下列各组边中，不是对应边的是()AAB 与 DC 与 CA 与 CB 与 DC 14.如图，ABCADE，点 B 的对应点是点 D若BAD=100o，CAE=40o，求BAE 的度数 15、如图
33、所示，ABCAEC，B 和 E 是对应顶点，B=30，ACB=85，求AEC 各内角的度数 16、如图，已知ABCEBD，求证：21 第五讲 全等三角形的判定（一）（一）知识要点 A B C A B C 1、三角形全等的判定方法一：SSS 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。书写格式：在ABC 和ABC中，CBBCCAACBAAB ABCABC（SSS）规律方法小结：（1）有的题目可以直接从图中找到全等的条件，而有的题目的条件则隐含在题设或图形之中，我们一定要认真读图，准确地把握题意，找准所需条件。（2）数形结合思想：将“数”与“形”结合起来进行分析、研究，这是解
34、决问题的一种思想方法。（二）典型例题 例 1.在ABC 中，AB=AC，AD 是三角形的中线.求证：ABDACD 例 2已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF，求证：ABCDEF 例 3.如图，点 A，B，C，D 在同一直线上，且 AD=BC，AE=BF，CE=DF.求证:DF 例 4.如图，已知ABEACD，求证：l=2.例 5.如图，点 A，C，B，D 在同一条直线上，且 AC=BD，AM=CN，BM=DN.求证：AMCN，BMDN 例 6.已知：如图，四边形 ABCD 中，AB=CB，AD=CD，求证：A=C 例 7如图所示，AB=AEBC=ED，CF=FD
35、AC=AD，求证：BAF=EAF.（三）练习：1如图，若 AB=AC，BD=CD，B=62o，则BAC=度 2如图，已知 AB=CD，AD=CB，还有条件 ，可判定ABCCDA，其依据是 B C D E F A （题 1）（题 2）（题 3）3如图，在ABD 和ACE 中，已知 AB=AC，BD=CE，AD=AE，若l=20o，则2=4如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 0，且 AO=BO，CO=DO，AD=BC，则图中全等三角形有 对 5 如图，已知 AB=BC AD=CD，ABC=80o，ADC=50o，则A=o，C=o （题 4）（题 5）（题 6）6如图，已知 AB=
36、AC，点 D 为 BC 的中点，下列结论：(1)ABDACD；(2)B=C;(3)AD 平分BAC;(4)ADBC.其中正确的个数是()A1 个 B2 个 个 个 7下列说法：(1)周长相等的两个等边三角形全等；(2)有三个角对应相等的两个三角形全等；(3)有三边对应相等的两个三角形全等；(4)有底和腰对应相等的两个等腰三角形全等其中正确说法的个数是()个 B3 个 C2 个 D1 个 8下列命题中正确的是()A有两条边对应相等的两个三角形全等 B两个等边三角形全等 C两个等腰直角三角形全等 D三边对应相等的两个三角形的对应角也相等，9如图，已知 AB=AC，BD=CD求证：l=2.10.如图
37、，在ABC 中，AB=AC，点 D、E 分别是 BC 的三等分点，且 AD=AE.求证：ABDACE.11.如图，在ABC 和DCB 中，AC 和 BD 相交于点 O，AB=DC，AC=BD，求证：OB=OC 12.如图，E、C 两点在线段 BF 上，BE=CF，AB=DE，AC=DF，求证：ABCDEF 13.如图 16，在ABC 和DCB 中，AB=DC，AC=DB，AC 与 DB 交于点 M.(1)求证：ABCDCB；(2)过点 C 作 CNBD，过点 B 作 BN 知如图，A、E、F、C 四点共线，BF=DE，AB=CD.A B C A B C A B C D E A B C D E
38、请你添加一个条件，使DECBFA；在的基础上，求证：DEBF.第六讲 全等三角形的判定（二）（一）知识要点 1、三角形全等的判定方法二：SAS 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。书写格式：在ABC 和ABC中，CAACAABAAB ABCABC（SAS）知识延伸：“SAS”中的“A”必须是两个“S”所夹的角。例 1.如图所示，直线 AD、BE 相交于点 C，AC=DC，BC=EC.求证：AB=DE 例 2：如图，ADAE，ABAC，AD=AE，AB=AC。求证：ABDACE 规律方法：证明三角形全等时，一般需要三个条件，如果已知两对边，就试着去找第三
39、对边或这两对边的夹角，利用“SSS”或“SAS”来证明两个三角形全等；例 3：如图，C 为 BE 上一点，点 A，D 分别在 BE 的两侧，ABED，AB=CE，BC=ED。求证：AC=CD 例 4如图，已知 AB=AC，AD=AE，1=2.求证：CE=BD 例 5：如图，点 E,F 在 BC 上，BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D 例 6.如图，BE、CF 分别是ABC 的高P 是 BE 上一点。且 BP=AC，Q 是 CF 延长线上一点，且 CQ=AB，求证：APAQ.（三）练习 1如图，已知l=2，AD=AC，则_ ，其依据是 。2如图，l=2，AB=AC，AE=AD，则ABD
40、 ，依据是 ，由此还可得 BD=。（题 1）（题 2）（题 3）3如图，AC=AB，AD 平分CAB，点 E 在 AD 上，则图中全等的三角形有_对，它们是 。4（天门）如图，已知 AE=CF，A=C，要使ADFCBE，还需添加一个条件 （只需写一个）5小明为了测量池塘对岸 A，B 两点间的距离，作了如下的操作（如图）：取一能够到达 A，B 两点的点 D;连接 AD 并延长 AD 于点 E，使 AD=ED连接 BD 并延长 BD 至 C，使 BD=CD;连接 CE.那么要知道 AB 的长度，应测量线段 的长度（题 4）（题 5）（题 6）（题 7）6 如图，已知 ADBC 于点 D，BD=CD
41、，点 E 在 AD 上；则图中全等三角形共有()对 对 对 对 7 如图有下列四个条件：BC=BC；AC=AC；ACA=BCB；AB=AB其中任取三个为题设，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的命题的个数是()个 B。2 个 个 个 8下列命题中错误的是()A有两边对应相等的两个等腰三角形全等 B有两边和一角对应相等的两个三角形全等 C有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等 D有一边对应相等的两个等边三角形全等 9下列条件中，可以判定ABC 和ABC全等的是()A B C A B C =BA,BC=BA，B=B BA=B，AC=AB，AB=BC C.A=A,AB=BC,AC=AC
42、=BC,AC=AB,B=C 10.如右图，已知 ABCD，AB=CD，BE=DF，则图中全等三角形的对数有()A3 对 B4 对 C5 对 对 11 如图，点 A，E，B，D 在同一直线上，在ABC 与DEF 中，AB=DE,AC=DF,ACDF.(1)求证：ABCDEF;(2)你还可以得到的结论是 （写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母）12.如图 13，点 C 是 AB 的中点，CDBE，且 CD=BE，求证：D=E.13.已知：如图 AB=AC,AD=AE,BAC=DAE 求证：（1）ABDACE （2）ADB=AEC 14、如图，在ABC中，D是AB上一点，DF交AC
43、于点E，FEDE，CEAE，AB与CF有什么位置关系说明你判断的理由。第七讲 全等三角形的判定（三）（一）知识要点 1、三角形全等的判定三、四：ASA 及 AAS 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。书写格式：在ABC 和ABC中，BBBAABAA ABCABC（ASA）知识延伸：“ASA”中的“S”必须是两个“A”所夹的边。两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”A B C A B C A B C D A B C D 或“AAS”）。书写格式：在ABC 和ABC中，CAACBBAA ABCABC（AAS）知识延伸：“AA
44、S”可以看成是“ASA”的推论。规律方法小结：由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等。无论这个一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可。(二)例题讲解：例 1.如图所示，D 在 AB 上，E 在 AC 上，AB=AC,B=C.求证：AD=AE 例 2.如图，ABBC,ADDC,1=2.求证：AB=AD 练习：如图所示,点 B、F、C、E 在同一条直线上，ABDF，ACDE，ACDE，FC 与 BE 相等吗请说明理由.例 3已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为 D、E，BD、CE 相交于点 F，求证：BE=CD 例 4：如图，已知ABCABC，AD，
45、AD分别是ABC 和ABC的边 BC 和 BC上的高。求证：AD=AD 例 5如图，点 E 在 AC 上，1=2，3=4.试证明 BE=DE.（三）练习 1如图，已知 AB=DC，AD=BC，E，F 是 DB 上的两点，且 BE=DF.若AEB=100o，ADB=30o则BCF=。2如图，已知 CDAB，BEAC，垂足分别为点 D，E，BE，CD 相交于点 O，1=2，则图中的全等三角形共有 对 A C B D E F （题 1）（题 2）（题 3）（题 4）3如图，AC 与 BD 相交于点 O，1=4，2=3ABC 的周长为 25cm，AOD的周长为 17cm，则 AB=.4（海南）在ABC
46、 和111ACB中，AB=A1B1，A=A1，要使ABCA1B1C1，还需添加一个条件，这个条件可以是 5如图，E=F=90oB=C，AE=AF.给出下列结论：l=2；BE=CF;ACN ABM；CD=DN.其中正确的结论是_（注：将你认为正确的结论都填上）6下列结论：(1)一个锐角与斜边对应相等的两个直角三角形全等；(2)-腰对应相等的两个等腰直角三角形全等；(3)三个角对应相等的两个三角形全等；(4)顶角与一腰对应相等的两个等腰三角形全等，其中正确的个数有()A1 个 B2 个 个 个 7（成都）如图，在ABC 与DEF 中，已知 AB=DE，要使ABCDEF，不能添加的一组条件是()A、
47、B=E，BC=EF B、BC=EF,AC=DF C、A=D,B=E D、A=D,BC=EF.8下列条件中，能判定两个三角形全等的是()A有两边及一角对应相等 B有三个角对应相等 C有两角及一边对应相等 D有两条边对应相等 9如图，已知ABC 的面积为 36，将ABC 沿 BC 平移可得到ABC，点 B和 C 重合，连接 AC交 AC 于 D，则CDC 的面积为()A6 B9 C12 D18 （题 9）（题 10）10.如图所示，在 LAOB 的两边上截取 AO=BO，CO=DO，连 接 AD，BC 交 于 点 P 有 下 列 结 论 AOD BOC;APCBPD；点 P 在AOB 的平分线上其
48、中正确的是()A只有 B只有 C D A B C A B C A B C D E 11.如图，已知点 E、C 在线段 BF 上，BE=CF,ABDE,ACB=F.求证：ABCDEF.12.如图所示，l=2，D=C，求证；AC=BD.13、如图，已知A=B=DCE，CD=CE(1)说明ACD 与BEC 全等的理由；(2)请判断线段 AB、AD、BE 之间有怎样的数量，并说明理由 第八讲 全等三角形的判定（四）（一）知识要点 1、直角三角形全等的判定方法：HL 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）书写格式：在 RtABC 和 RtABC中，CBBCB
49、AAB RtABCRtABC（HL）规律方法小结：证明两个直角三角形全等的方法：除了证明一般三角形全等的方法 SSS，SAS，ASA，AAS 以外，还有一个特殊的证明方法：HL（斜边、直角边），从表面上看，SSS，SAS，ASA，AAS 都是三个条件，其实，HL 也是三个条件，除了直角边、斜边对应相等这两个条件以外，还有“必须在 Rt”中才能用这种方法。(二)经典例题 例 1：如图，在 RtABC 中，A=900，点 D 为斜边 BC 上一点，且 BD=BA，过点 D作 BC 的垂线，交 AC 于点 E。求证：AE=ED 例 2：已知：BECD，BEDE，BCDA，求证：BECDAE；DFBC
50、 B C D E F A 例 3如图，CDAB 于点 D，BEAC 于点 E，BE，CD 交于点 O，且 AO 平分BAC.求证：OB=OC.例 4.如图，ACB=ADB=90oAC=AD，点 E 是 AB 上任意一点求证：CE=DE.例 5.如图，AD 为ABC 的高，E 为 AC 上的一点，BE 交 AD 于 F，且有 BF=AC，FD=CD (1)求证：BEAC；(2)若把条件 BF=AC 和结论 BEAC 互换，那么这个命题成立吗证明你的论断 （三）练习 1如图，在ABC 中，ADBC 于 D，再添加一个条件 （只需填一个），就可以判 定ABDACD.（题 1）（题 2）（题 3）（题