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1、1 定远重点中学 2020 届高三模拟考试 理科数学 本卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.已知全集，集合，集合，则 A.B.C.D.2.已知 i 是虚数单位，则 A.10 B.C.5 D.3.2018 年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过 700 辆的概率为 A.B.C.D.4.已知等差数列中，则的值为 A.8 B.6 C.4 D.2 5.如图所示的一个算法的程序框图，则输出
2、 的最大值为 A.B.2 C.D.2 6.我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为 A.40 B.43 C.46 D.47 7.空气质量指数 AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：AQI 指数值 050 51100 101150 151200 201300 300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
3、 下图是某市 10 月 1 日20 日 AQI 指数变化趋势：下列叙述错误的是 A.这 20 天中 AQI 指数值的中位数略高于 100 B.这 20 天中的中度污染及以上的天数占 C.该市 10 月的前半个月的空气质量越来越好 D.总体来说，该市 10 月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 8.的展开式中含的项的系数为 A.30 B.60 C.90 D.120 3 9.已知满足约束条件若目标函数的最大值是 6，则 A.B.C.D.10.函数的图像大致为 11.已知是定义在 上的奇函数，满足，且当时，则函数在区间上的所有零点之和为 A.B.C.D.12.已知双曲线 C：的左、右焦点分别为、，且双
4、曲线 C与圆在第一象限相交于点 A，且，则双曲线 C 的离心率是 A.B.C.D.第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)14.无穷等比数列的通项公式，前 项的和为，若，则_ 15.将一个半径为 2 的圆分成圆心角之比为 1:2 的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为_ 16.已知函数，若对于任意的正整数，在区间上存在个实数、，使得成立，则 的最大值为_ 4 三、解答题(共 6 小题,共 70 分)17.（本小题满分 12 分）如图，在ABC 中，角,A B C 的对边分别为,a b c,cos
5、Cab sinC.（1）求角B 的大小；（2）若,2AD 为ABC外一点，2,1DBDC，求四边形ABCD面积的最大值.18.（本小题满分 12 分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中 的值，并求综合评分的中位数.用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取 棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附
6、：下面的临界值表仅供参考.5 （参考公式：，其中.）19.（本小题满分 12 分）如图，已知三棱柱111ABCABC，平面11A AC C 平面ABC,90ABC，1130,BACA AACAC E F分别是11,AC AB的中点.（1）证明：EFBC；（2）求直线EF与平面1ABC所成角的余弦值.20.（本小题满分 12 分）已知点，过点 D 作抛物线的切线 l，切点 A 在第二象限 求切点 A 的纵坐标；有一离心率为 的椭圆恰好经过切点 A，设切线 l 与椭圆的另一交点为点 B，记切线 l，OA，OB 的斜率分别为 k，若，求椭圆的方程 21.（本小题满分 12 分）已知函数 21ln,2
7、f xx x g xmx（1）若函数 f x与 g x的图象上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围；（2）设 F xf xg x，已知 F x在0,上存在两个极值点12,x x，且12xx，求证：2122x xe（其中e为自然对数的底数）22.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 24f xxmxm（0m）（1）当2m时，求不等式 0f x 的解集；6（2）若关于x不等式 21f xtttR 的解集为R，求m的取值范围 7 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B C C C C C B C A C A 13.45 14.或
8、15.16.6 17.（1）4B（2）524 解：（1）在ABC 中，cosCab sinC.有sincos,cossinAB sinCCsin BCsinB sinCC，cos,0BsinCsinBsinC sinC，则cosBsinB，即tan1,0,BB，则4B.（2）在BCD 中，2222,1,122 1 2 cos54cosBDDCBCDD ，又2A，则ABC为等腰直角三角形，21115cos2244ABCSBCBCBCD，又12BDCSBDDCsinDsinD，55cos2444ABCDSDsinDsin D，当34D 时，四边形ABCD 的面积最大值，最大值为524.18.解：由
9、，解得 令得分中位数为，由解得 故综合评分的中位数为 由与频率分布直，优质花苗的频率为，即概率为，设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则，于是，8 其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 结合与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本种，优质花苗的颗数为棵，列联表如下表所示：可得 所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.19.解：(1)如图所示，连结11,AE B E，等边1AAC中，AEEC，则3sin0sin2BAQ，平面 ABC平面11A ACC，且平面 ABC平面11A ACCAC，由面面垂直的性质定理可得：1AE 平面ABC，故1AEBC，由三棱柱的性质可知11ABAB
10、，而ABBC，故11ABBC，且1111ABAEAI，9 由线面垂直的判定定理可得：BC 平面11AB E，结合EF平面11AB E，故EFBC.(2)在底面 ABC 内作 EHAC，以点 E 为坐标原点，EH,EC,1EA方向分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标系Exyz.设1EH，则3AEEC，112 3AACA,3,3BCAB，据此可得：1330,3,0,0,0,0,3,0,3,022ABAC，10 20.（1）（2）解：设切点则有，由切线 l 的斜率为，得 l 的方程为，又点在 l 上所以即 所以点 A 的纵坐标 由得，切线斜率，设，切线方程为，由得又，所以 11 所以椭圆方程为
11、且过，所以 由得，所以，又因为，即，解得，所以 所以椭圆方程为：21.解：（1）函数()f x与()g x的图像上存在关于原点对称的点，即21()()2gxmx 的图像与函数()lnf xxx的图像有交点，即21()ln2mxxx在(0,)上有解.即1ln2xmx 在(0,)上有解.设ln()xxx，（0 x），则2ln1()xxx 当(0,)xe时，()x为减函数；当(,)xe时，()x为增函数，所以min1()()xee，即2me.（2）21()()()ln2F xf xg xxxmx，()ln1F xxmx()F x在(0,)上存在两个极值点1x，2x，且12xx，所以1122ln10l
12、n10 xmxxmx 12 因为1212lnln2xxmxx且1212lnlnxxmxx，所以12121212lnln2lnlnxxxxxxxx，即112212112112221 lnlnln2ln1xxxxxxxxxxxxxx 设12(0,1)xtx，则12(1)lnlnln21ttxxt 要证2122x xe，即证12lnln22xx，只需证(1)ln21ttt，即证2(1)ln01ttt 设2(1)()ln1th ttt，22214(1)()0(1)(1)th tttt t，则2(1)()ln1th ttt在(0,1)上单调递增，()(1)0h th，即2(1)()ln01th ttt 所以，12lnln2xx即2122x xe.22.（1）2,（2）102m 解：（1）当2m时，48f xxx 所以 0f x，即为480 xx，所以48xx，所以2x，即所求不等式解集为2,（2）“关于x不等式 21f xtt（tR）的解集为R”等价于“对任意实数x和t，maxmin21fxtt”，因为246xmxmm，213tt，所以63m，即12m，又0m，所以102m