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1、.学习帮手 .第二章 解析函数 1用导数定义，求下列函数的导数：(1)()Re.f xzz 解:因 0()()limzf zzf zz 0()Re()Relimzzzzzzzz 0ReReRelimzzzzzzzz 0Relim(ReRe)zzzzzz 000Relim(Re)lim(Re),zxyzxzzzzzxi y 当0z 时,上述极限不存在,故导数不存在；当0z 时,上述极限为 0,故导数为 0.2下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析?(1)2().f zz z 解:22222222()|()()()(),f zz zz z zzzxyxiyx xyiy xy 这里22
2、22(,)(),(,)().u x yx xyv x yy xy 2222222,2,2,2.xyyxuxyxvxyyuxyvxy 要,xyyxuv uv，当且当0,xy而,xyxyu uv v均连续，故2().f zz z仅在0z 处可导，处处不解析.(2)3223()3(3).f zxxyix yy 解:这里322322(,)3,(,)3.33,xu x yxxyv x yx yy uxy 226,6,33,yxyuxy vxy vxy .学习帮手 .四个偏导数均连续且,xyyxuv uv 处处成立,故()f z在整个复平面上处处可导,也处处解析.3确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数
3、.(1)(,).azbc dczd至少有一不为零 解:当0c 时，()azbf zczd除dzc 外在复平面上处处解析,dzc 为奇点,222()()()()()()()()().()()azbfzczdazbczdczdazbczda czdc azbadcbczdczd 当0c 时，显然有0d，故()azbf zd在复平面上处处解析，且()afzd.4.若函数()f z在区域D内解析,并满足下列条件之一,试证()f z必为常数.(1)()f z在区域D内解析;(2)2;vu(3)arg()f z在D内为常数;(4)(,).aubvc a b c为不全为零的实常数 证(1)因为()f z在D
4、中解析,所以满足CR条件,uvuvxyyx 又()f zuiv也在D中解析,也满足CR条件 ()(),.uvuvxyyx 从而应有0uuvvxyxy恒成立,故在D中,u v为常数,()f z为常数.(2)因()f z在D中解析且有2()f zuiu,由CR条件,有 .学习帮手 .2,2.uuuxyuuuyx 则可推出0uuxy,即uC(常数).故()f z必为D中常数.(3)设()f zuiv,由条件知arctanvCu,从而22(/)(/)0,0,1(/)1(/)v uv uyxv uv u 计算得 2222()/0vuuuvuxxuv，2222()/0,vuuuvuyyuv 化简,利用CR
5、条件得 0,0.uuuvyxuuuvxy 所以0,uuxy同理0,vvxy即在D中,u v为常数,故()f z在D中为常数.(4)法一：设0,a 则()/,ucbva求导得,ub vubvxa xya y 由CR条件 ,ub uvbvxayxa y 故,u v必为常数,即()f z在D中为常数.设0,0,0abc则bvc,知v为常数,又由CR条件知u也必为常数,所.学习帮手 .以()f z在D中为常数.法二：等式两边对,x y求偏导得：00 xxyyaubvaubv，由CR条件，我们有 0,00 xyxxyyaubuuabbuauuba即，而220ab，故0 xyuu，从而u为常数，即有()f
6、 z在D中为常数.5.设()f z在区域D内解析,试证:222222()|()|4|()|.f zfzxy 证:设 222(),|()|,f zuivf zuv 222(),|()|()().uuuufzifzxyxy 而 2222222222222222222222222()|()|()()2()()()(),f zuvuvxyxyuuvvuuvvuvuvxxxxyyyy 又()f z解析,则实部u及虚部v均为调和函数.故 222222220,0.uuvvuvxyxy 则 22222222()|()|4()()4|()|.uuf zfzxyxy 6.由下列条件求解解析函数().f zuiv(
7、1)22()(4);uxy xxyy 解:因22363,uvxxyyxy所以 22(363)vxxyy dy .学习帮手 .22333(),x yxyyx 又222263(),363,()3,vuxyyxxxyyxxxx 而所以 则 3()xxC.故 222233222222223()()(4)(33)(1)()(1)()2(1)2(1)(1)()2(1)(1)(2)(1)f zuivxy xxyyix yxyyxCi xxiyyi xiyx yixyiCizi xyxyi iziCii z xyxyiCii zCi(2)23;vxyx 解:因23,2,vvyxxy由()f z解析,有 22,
8、2().uvxuxdxxyxy 又23,uvyyx 而(),uyy所以()23,yy 则2()3.yyyC 故 22()3(23).f zxyyCixyx(3)2(1),(2);uxy fi 解:因2,2(1),uuyxxy由()f z的解析性,有2(1),vuxxy 22(1)(1)(),vxdxxy 又2,vuyyx而(),vyy所以2()2,(),yyyyC则 22(1),vxyC 故 22()2(1)(1),f zxyixyC .学习帮手 .由(2)fi 得(2)(1),fiCi 推出0.C 即 2222()2(1)(21)(21)(1).f zxyi yxxizzi z 7.设sin
9、,pxvey求p的值使v为调和函数,并求出解析函数().f zuiv 解:要使(,)v x y为调和函数,则有0.xxyyvvv 即 2sinsin0,pxpxp eyey 所以1p 时,v为调和函数,要使()f z解析,则有,.xyyxuv uv 1(,)coscos(),1sin()sin.pxpxxpxpxyu x yu dxeydxeyypueyypeyp 所以 11()()sin,()()cos.pxpxyp eyypeyCpp 即(,)cos,pxu x ypeyC故(cossin),1,()(cossin),1.xzxzeyiyCeCpf zeyiyCeCp 8试解方程：(1)1
10、3;zei 解:(2)3132(cossin)233ikzeiie ln2(2)3,0,1,2.ikek 故 ln2(2),0,1,2.3zikk (2)ln;2iz .学习帮手 .解:2cossin.22izeii 9求下列各式的值。(1)cos;i 解()()11cos.22i ii ieeeei(2)(34);Lni 解:(34)ln5(34)LniiArgi 4ln5(2arctan).3ik(3)1(1);ii 解:1(1)(1)(1)ii Lniie (1)ln2(2)4ln22ln2 244ln224cos(ln2)sin(ln2).44iikkikkeeei(4)33;i 解:3(3)ln3(3)(ln3 2)3iiik iee (3)ln323ln3 2ln3227(cosln3sinln3).ikk iikeeeeei