《基于某matlab地Lorenz系统地仿真研究3378.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《基于某matlab地Lorenz系统地仿真研究3378.pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、实用标准文档 文案大全 MATLAB 课 程 期 末 作 业 以下报告完成的是大作业第七题：7.Simulink 仿真在高等数学课程中的应用 21130223 宋沛儒 实用标准文档 文案大全 基于MATLAB/Simulink 对 Lorenz 系统仿真研究 21130223 宋沛儒 1.引言 1963 年 Lorenz 通过观察大量大气现象并进行数值实验和理论思考，得到了一系列混沌运动的基本特征，提出了第一个奇异吸引子Lorenz 吸引子1，Lorenz 通过计算机模拟一个由三阶微分方程描述的天气模型时发现，在某些条件下同一个系统可以表现出非周期的无规则行为。Lorenz 揭示了一系列混沌运
2、动的基本特征，成为后人研究混沌理论的基石和起点，具有非常重要的意义。Lorenz 系统方程如下：(),.xa yxycxyxzzxybz （1）其中，a，b，c 为正的实常数。本人利用了数学工具matlab，对Lorenz 系统进行了仿真研究，加深了对其的认知。2.matlab 求解Lorenz 系统 首先创建文件“Lorenz.m”定义Lorenz 方程，假设固定a=10，b=2.6667，c=30,程序如下：function dx=Lorenz(t,x)dx=-10*(x(1)-x(2);30*x(1)-x(2)-x(1)*x(3);x(1)*x(2)-2.6667*x(3);end 然后
3、利用ode45（Runge-Kutta 算法）命令求解Lorenz 方程并绘制图形，初值取x=y=z=0.1,程序如下：实用标准文档 文案大全 clf x0=0.1,0.1,0.1;t,x=ode45(Lorenz,0,100,x0);subplot(2,2,1)plot(x(:,1),x(:,3)title(a)subplot(2,2,2)plot(x(:,2),x(:,3)title(b)subplot(2,2,3)plot(x(:,1),x(:,2)title(c)subplot(2,2,4)plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3)title(d)运行后，得如下波形：图中,（
4、a）为Lorenz 混沌吸引子在x-z 平面上的投影，（b）为其在y-z 平面上的投影，（c）为其在x-y 平面上的投影，（d）为 Lorenz混沌吸引子的三维图。四张图都类似于“8”字形。3.Lorenz 系统对初值的敏感性 此时因为固定参数a=10，b=2.6667，c=30 时，为混沌系统，对初值具有敏感性，初值很小的差异会引起系统的大变化。例如在上例实用标准文档 文案大全 中取初值x=z=0.1，y=0.11，绘制此时混沌吸引子在x-z 上的投影，并与x=y=z=0.1 在同一张图比较。（初值为x=y=z=0.1 时投影用蓝色，初值为x=z=0.1，y=0.11 时投影用红色）程序如下
5、：clf x0=0.1,0.1,0.1;t,x=ode45(ex_lorenz,0,100,x0);plot(x(:,1),x(:,3)hold on x0=0.1,0.11,0.1;t,x=ode45(ex_lorenz,0,100,x0);plot(x(:,1),x(:,3),r*)得到图形如下：可以看到初值y 仅变化0.01，图中红色与蓝色不重合出明显。证明了 Lorenz 系统的敏感性。4.matlab 对 Lorenz 系统的仿真 由文献1可知在上述方程组（1）中，令0zyx，当c1 时，系统有三个平衡点：)0,0,0(0S，)1,)1(,)1(ccbcbS，)1,)1(,)1(cc
6、bcbS。当c=1 时，系统在原点失去稳定。当c1 时，原点是唯一的平衡点并且是汇点。利用matlab 的 Simulink 功能，搭建Lorenz 系统模型，并探讨实用标准文档 文案大全 参数对Lorenz 系统的影响。仿真模型如图：在仿真模型中，取参数a=10，b=8/3，观察参数c 取不同值时系统的运行状态。根据文献1的分析，当参数0c1 时，系统有三个平衡点：原点O(0,0,0)和 S+，S-。此时原点的特征值中有正值，因此原点为鞍点，是不稳定平衡点。当 1c13.926 时，不稳定流形将绕到另一侧，最终趋于与之异侧的S+或S-。可见，c 是一个同宿分岔点。因此，取初值x=y=z=2，
7、c=8，仿真实用标准文档 文案大全 停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z 的相图以及x-z，y-z，x-y的图形依次如下所示：050100150200250300350234567150200250300350400450234567 0100200300400500600700024681012 实用标准文档 文案大全 可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点S+或 S-。取初值x=y=z=2，c=18，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z 的相图以及x-z，y-z，x-y 的图形依次如下所示：050010001500-20-15-10-5051015 050010001500-20-
8、15-10-5051015 0500100015001015202530 实用标准文档 文案大全 可以看到，系统趋于与之同侧的平衡点S+或 S-。为了观察c=13.926 的同宿分岔点现象，在 c=13.926 附近不断尝试，最终在c=15.39682328 时观察到比较明显的过渡迹象。取初值x=y=z=2，c=15.39682328，仿真停止时间为50，运行仿真，得到x、y、z 的相图以及x-z，y-z，x-y 的图形依次如下所示：050010001500-10-505101520050010001500-15-10-5051015 实用标准文档 文案大全 05001000150020002
9、500300005101520253035404550 可以看到，虽然最终轨线趋向于与之同侧的平衡点S+或 S-，但有着明显的过渡迹象。可以推测，当 c 取 15.39682328 到 15.39682330间的某一个数值时，会出现同宿轨现象。根据文献1，当c24.74 时，S+与 S-变为不稳定的，也就是说系统进入“混沌区”。此时三个平衡点O、S+、S-都不稳定。取初值实用标准文档 文案大全 x=y=z=2，c=30，仿真停止时间为100，运行仿真，得到x、y、z 的相图以及x-z，y-z，x-y 的图形依次如下所示：0500100015002000250030003500400045005
10、000-200204060801000500100015002000250030003500400045005000-40-20020406080100 05001000150020002500300035004000450050000102030405060708090100 实用标准文档 文案大全 可以看到，上述图形中，轨线绕着S+若干圈后，又绕着S-若干圈，如此循环，符合文献1的描述。为了观察由系统趋向于与之异侧的平衡点向系统的混沌状态的过渡现象，在 c=24.74 附近反复不断尝试，最终发现当c=23.299 时，可以观察到明显的过渡迹象。因此，取初值x=y=z=2，c=23.299，
11、仿真停止时间为100，运行仿真，得到x、y、z 的相图以及x-z，y-z，x-y 的图形依次如下所示：5001000150020002500-20-1001020304005001000150020002500-20-10010203040 500100015002000250005101520253035404550 实用标准文档 文案大全 可以看到，在上图中，轨线看起来稳定在一条围绕与之异侧的平衡点的轨道上。仅从仿真运行的这段时间，无法判断系统是处于混沌状态还是会趋向于与之异侧的平衡点，可以看出明显的过渡迹象。5.结论 本文初步了解了Lorenz 系统，并简单观察了Lorenz 混沌系统对初值的敏感性，比较分析在不同参数下的Lorenz 系统仿真结果，通过使用matlab 的 simulink 对 Lorenz 系统仿真，直观地观察到了Lorenz 系统的运行轨迹，加深了对Lorenz 方程和混沌现象的理解。参考文献：1刘崇新.非线性电路理论及应用M.西安：西安交通大学出版,2007.201-208 2赖宏慧.基于matlab 的 Lorenz 系统模拟实验仿真J.科技信息.2010,17:18-19 3同济大学数学系.高等数学.第六版.高等教育出版社，2007.6