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1、 1 江苏省盐城市 2020 届高三数学上学期期中试题（含解析）一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1已知集合 A210 x x ，B0，)，则 AIB 答案：1 考点：集合的交集运算 解析：集合 A210 x x ，集合 A1，1 B0，)，AIB1 2已知角的始边为x轴的正半轴，点 P（1，22）是其终边上一点，则 cos的值为 答案：13 考点：三角函数的定义 解析：cos 1131 8 3“m1”是“m2”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）答案：必要不充分 考点：充分条件、
2、必要条件以及充要条件的判断 解析：“m2”能推出“m1”，但是“m1”推不出“m2”“m1”是“m2”的必要不充分条件 4若向量ar(l，m)，br(3，2)，arbr，则实数m的值为 答案：23 考点：平行（共线）向量坐标运算 解析：量ar(l，m)，br(3，2)，arbr，123m0，求得m23 5函数21 logyx 的定义域为 答案：2，)考点：函数的定义域 2 解析：21log0 x 2log1x，解得x2，故函数21 logyx 的定义域为2，)6若函数()yf x为奇函数，当x0 时，2()log(1)f xx，则(7)f 的值为 答案：3 考点：奇函数的性质 解析：函数()y
3、f x为奇函数，2(7)(7)log 83ff 7设nS为等差数列 na的前n项和，若35SS，且公差d0，则1ad的值为 答案：72 考点：等差数列及其前n项和 解析：nS为等差数列 na的前n项和，且35SS，450aa，即1270ad，故172ad 8若 sin()45，则 cos2的值为 答案：725 考点：诱导公式，倍角公式 解析：sin()45，4sin5 cos222471 2sin1 2()525 9若函数()sin3cosf xxx的图象关于直线xa对称，则a的最小值是 答案：6 考点：三角函数的图像与性质 解析：()sin3cos2sin()3f xxxx，其对称轴为56x
4、k，当k1 时，a 最小为6 3 10若函数221,0(),0 xaxxa xf xex 在(1，)上是增函数，则实数a的取值范围是 答案：0，1 考点：函数的单调性 解析：由题意得：001aae或002121aaae 解得a0 或 0a1，即 0a1，故实数a的取值范围是0，1 11若数列 na满足121aa，3a2，则数列1nna ag是等比数列，则数列 na的前19 项和的值为 答案：1534 考点：等比数列的定义及前n项和 解析：由题意知121a a，232a a，则数列1nna ag是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，则112nnna ag，122nnnaa，则22nnaa，故1
5、0135192110232 1aaaaL，924618215112 1aaaaL，1231910235111534aaaaL 12如图，在ABC 中，AB3，AC2，2ADAB3uuuruuur，1AEAC3uuuruuur，DMMEuuuuruuur，BNNCuuuruuur，若 MNBC，则 cosA 的值为 答案：66 4 考点：平面向量数量积 解析：1111MNDBECABAC2263uuuuruuuruuuruuuruuur，BCACABuuuruuuruuur，因为 MNBC，所以MN BC0uuuur uuur，即11(ABAC)(ACAB)063uuuruuuruuuruuur
6、，化简得：22111ABACAB AC0636uuuruuuruuur uuur，又 AB3，AC2，计算得AB ACuuur uuur1，则 cosAAB AC16632ABACuuur uuuruuuruuur 13在ABC 中，AC1，AB2，D 为 BC 的中点，CAD2BAD，则 BC 的长为 答案：5 考点：解三角形（面积法与余弦定理）解析：因为 D 为 BC 的中点，所以 SACDSABD，故11AC AD sinCADAB AD sinBAD22，因为 sinCADsin2BAD2sinBADcosBAD，AC1，AB2代入上式，得 cosBAD22，0BAD，故BAD4，BA
7、C34，222BCACAB2AC ABcosBAC1 22 12()52 14 设函数32()23f xxxa，若对任意的实数a，总存在0 x 0，2，使得0()f xm，则实数m的取值范围是 答案：(，52 考点：函数与不等式（讨论最值解决恒成立、存在性问题）解析：令32()23g xxxa，()6(1)g xx x，故()g x在0，1单调递减，在1，2单调递增，求得(0)ga，(1)1ga ，(2)4ga，当32a 时，32()23f xxxa的最大值为4a，故4am恒成立，35422m；5 当32a 时，32()23f xxxa的最大值为1a，故1am 恒成立，35122m 综上所述，
8、对任意的实数a，总存在0 x 0，2，使得0()f xm，则实数m的取值范围是52m，即(，52 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15（本题满分 14 分）若函数()2sin()f xx(0，02)的图象经过点(0，3)，且相邻的两个零点差的绝对值为 6（1）求函数()f x的解析式；（2）若将函数()f x的图象向右平移 3 个单位后得到函数()g x的图象，当x1，5时，求()g x的值域 解：(1)()f xQ相邻的两个零点差的绝对值为 6，记()2sin()(0,0)2f xx 的周期为T，则62T,又2T
9、，6.2 分()2sin()(0)62f xx;()f xQ的图象经过点(0,3)，(0)2sin3(0)2f，3，.4 分 函数()f x的解析式为 6()2sin()63f xx.6 分(2)Q将函数()f x的图象向右平移 3 个单位后得到函数g()x的图象,由(1)得，()2sin()63f xx，函数g()x的解析式为g()2sin(3)2sin()6366xxx；.10 分 当 1,5x 时，2,6633x，则2sin()3,266x.综上，当 1,5x 时，g()x的值域为3,2.14分 16（本题满分 14 分）设p：“Rx，sin2xa”；q：“2()f xxxa在区间1，1
10、上有零点”（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若pq为真命题，且pq为假命题，求实数a的取值范围 解：(1)Qp为真命题，则max2(sin)ax,1a；.4分(2)Qpq为真命题，pq为假命题,则,p q一真一假.6 分 若q为真命题，则2axx在 1,1x 在有解，又2,1,1yxx x 的值域为1,24，124a.8分 p真q假,1,124aaa 或 则121.4aa 或.10 分 p假q真,1,124aa 则a无解.12 分 综上，实数a的取值范围是1 1,)(2,)4 U.14 分 17（本题满分 14 分）如图所示是某社区公园的平面图，ABCD 为矩形，AB200 米，B
11、C100 米，为了便于居 7 民观赏花草，现欲在矩形 ABCD 内修建 5 条道路 AE，DE，EF，BF，CF，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线 EF 垂直平分边 AD，且线段 EF 的中点是矩形的中心，求这 5 条路总长度的最小值 解：（法一）设(0,)2ADE，过E作EHAD于H，EFQ垂直平分AD，1502DHBC(米)，50cosDE(米)，50tanEH(米)，又EFQ的中点是矩形ABCD的中心，2002200100tanEFEH(米)，记这 5 条路总长度为()f(米)，则50()4200 100tan(0,)cos2f，.6分 即2sin()200 100(0,)cos
12、2f，2(2sin)cos(2sin)(cos)()100cosf，.8 分 化简得22sin1()100cosf，由()0f，可得6，.10分 列表如下：(0,)6 6()6 2，()f 0 ()f 200100 3 8 由上表可知，当6时，()f取最小值122()200 100200 100 3632f(米).13 分 答：5 条道路的总长度的最小值为200100 3(米).14 分（法二）过E作EHAD于H，设EHx(米)(0100 x)因EF垂直平分AD，故1502AHBC(米)，又EFQ的中点是矩形ABCD的中心，2002EFx(米)；在Rt AEH中，22500AEx(米)，由对称
13、性可得，22500AEDECFBFx(米)；记这 5 条路总长度为()f x(米)，2()4 25002002,(0100)f xxxx.6 分 222242 25002(22500)()25002500 xxxxfxxx.8分 令()0,fx 解得5033x(负值舍).10 分 列表如下：x 50(0,3)3 50 33 50 3(100)3，()fx 0 ()f x 200100 3 由上表可知，当50 33x 时，()f x取最小值200100 3.13 分 答：5 条道路的总长度的最小值为200100 3米.14 分（法三）同方法二得到2()4 25002002,(0100)f xxx
14、x，以下可用判别式法.9 18（本题满分 16 分）如图，在ABC 中，AB5，AC4，点 D 为ABC 内一点，满足 BDCD2，且AB AC5DB DC0uuur uuuruuur uuur（1）求sinABCsinBCD的值；（2）求边 BC 的长 解：（1）设BCa，ACb，ABc，由50AB ACDB DCuuur uuuruuur uuur，所以5 4cos5 2 2cos0AD ，即coscosAD，.2分 又,A D为三角形的内角，所以sinsinAD，.4 分 在ABC中，sinsinabAABC，所以4sinsinaAABC，.6分 同理2sinsinaDBCD，.8 分
15、所以42sinsinABCBCD，sin2sinABCBCD.10分（2）在ABC中，22222225441cos22 5 440bcaaaAbc，.12 分 同理28cos8aD，.14 分 由（1）可得22418408aa，解得3 62BCa.16分 19（本题满分 16 分）10 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展如数列 1，2，经过第 1 次拓展得到数列 1，3，2；经过第 2 次拓展得到数列 1，4，3，5，2；设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为Pn，所有项的和记为nS （1）求 P1，P2，P3；（2）若Pn2019，
16、求n的最小值；（3）是否存在实数a，b，c使得数列 nS为等比数列，若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由 解：（1）因原数列有 3 项，经第 1 次拓展后的项数1325P；经第 2 次拓展后的项数2549P；经第 3 次拓展后的项数39817P.3 分（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，由数列经第n次拓展后的项数为nP，则经第1n次拓展后增加的项数为1nP，所以1(1)21nnnnPPPP，.5 分 所以11222(1)nnnPPP，由（1）知114P ，所以1114 22nnnP，121nnP，.7分 由1212019nnP，即122018n，解得10n，所
17、以n的最小值为 10.8 分（3）设第n次拓展后数列的各项为123,ma a a aacL，所以123nmSaaaaacL，因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以11112223()()()()nmmSaaaaaaaaaaaccL，即11223332nmSaaaacL，所以13()nnSSac，.12 分 得1232Sabc，25155Sabc，3144514Sabc，11 因为数列 nS为等比数列，所以3212SSSS，可得0ac，.14 分 则12323Sabcb，由10S 得0b，反之，当0ac且0b 时，13nnSS，0nS，13nnSS，所以数列 nS为等比数列，
18、综上，,a b c满足的条件为0ac且0b.16 分 20（本题满分 16 分）设函数()(1)xf xexxa，a为常数（1）当a0 时，求函数()f x的图象在点 P(0，(0)f)处的切线方程；（2）若函数()f x有两个不同的零点1x，2x，当aZ时，求a的最小值；当a1 时，求12xx的值 解：（1）当0a 时，()(1)xf xexx，(0)1f，()1xfxxe，(0)1f ，故所求切线的方程为1(0)yx ，即10 xy.2 分（2）()1xfxxe，令()()1xg xfxxe，则()(1)xg xxe，当1x 时()10 xg xxe 恒成立，故()g x在(,1)上递减，
19、令()0g x得1x ，故()g x在(1,)上 递 增，又11()1022ge，(1)10ge，()g x的图象在 1,)上连续不间断，所以存在唯一实数01(,1)2x 使得0()0g x，.4 分 故0 xx时()0fx，0 xx时()0fx，所以()f x在0(,)x上递减，在0(,)x 上递增，min0()()fxf x000(1)xexxa，由0()0g x得001xex，min001()1()fxaxx，.6 分 12 因为函数()f x有两个不同的零点1x,2x，所以min()0fx，得0011()axx，由01(,1)2x 易得00131()(,1)2xx，故整数1a ,当1a
20、 时，(0)(1)0ff，满足题意，故整数a的最小值为1.（也可以用零点存在性定理给出证明）.10 分 注：由0(0,1)x 得0011()(,1)xx ，不能得到1a .法一：当1a 时，()(1)1xf xexx，由12()()f xf x得11111xxex，22211xxex，两式相乘得121212121212(1)(1)(1)(1)2()(1)(1)(1)(1)xxxxxxxxexxxx，得1212122()1(1)(1)xxxxexx（）.12 分 不妨设12xx，由(1)20f 及()f x的单调性可知121xx，.14 分 故12(1)(1)0 xx，当120 xx时（）式成立；当120 xx时（）式左边大于 1，右边小于 1，（）式不成立；当120 xx时（）式左边小于 1，右边大于 1，（）式不成立；综上，120 xx.16 分 法二：当1a 时，()(1)1xf xexx，不妨设12xx，由(1)20f 及()f x的单调性可知121xx，.12 分 由1()0f x得111(1)10 xexx，111111111111(1)1()(1)110 xxxxxexxfxexxxee ，.14 分 故函数()f x有两个不同的零点1x,1x，又由()f x的单调性可知()f x有且仅有两个不同的零点1x,2x，21xx，120 xx.16 分