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1、-.z.第一章 勾股定理 第 1 节 探索勾股定理 一、勾股定理的内容 直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，则a2b2c2。【说明】勾股定理在很多国家文献中被称为毕达哥拉斯定理，我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，所以又称其为勾股定理。勾股定理揭示的是直角三角形三边长度的数量关系，因此它只适用于直角三角形。勾股定理公式的推广 a2 c2b2（cb）（cb）b2 c2a2（ca）（ca）二、勾股定理的证明 1、证法 如图所示，在正方形网格中有一个直角三角形和三个分别以它的三边为边的正方形。通过观
2、察可知，正方形A的面积等于 16，正方形B的面积等于 9，正方形C的面积等于 25，即 S正方形 AS正方形 BS正方形 C 由此面积关系，可以得出这个直角三角形三条边之间的关系是：a2b2c2 2、证法 如图所示，用硬纸板做成两个全等的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，然后再用硬纸板做成一个腰长为c的等腰直角三角形。用这三个直角三角形拼成了一个直角梯形ABCD。1()()2ABCDab abS梯形21()2ab221(2)2aabb 又ADEBECCDEABCDSSSS梯形2111222ababc21(2)2abc 22211(2)(2)22aabbabc a2b2c2 3、证法
3、 如图所示，用硬纸板做成四个全等的直角三角形，两条直角边分别为a、b，斜边为c，然后再用硬纸板做成一个边长为c的小正方形。用这四个直角三角形和小正方形拼成了一个大的正方形。222()()()2ab ababaabbS大正方形 又2214422abcabcSSS大正方形直角三角形小正方形 22222aabbabc 八年级上册 -.z.a2b2c2 第 2 节 一定是直角三角形吗 一、直角三角形的判别条件 1、利用角来判别（定义法）有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。【说明】直角三角形的两个锐角互余。2、利用边来判别（勾股定理的逆定理）如果一个三角形的三边长a，b，c满足a2b2c2，则这个三角
4、形是直角三角形。【说明】若在ABC中，a2b2c2，并不能判定ABC一定不是直角三角形，例如a3，b5，c4，虽然a2b2c2，但是a2c2b2，所以ABC依然是直角三角形，此时a、c是直角边，而b是斜边。因此，在一个三角形中，有任意两条边的平方和等于第三边的平方，这个三角形就是直角三角形。确切地说，(较短边)2(较长边)2(最长边)2时，此三角形是直角三角形。一个三角形的三边长分别为a，b，c，且c最大。若a2b2c2，则这个三角形为钝角三角形；若a2b2c2，则这个三角形为直角三角形；若a2b2c2，则这个三角形为锐角三角形。二、勾股数 满足a2b2c2的三个正整数称为勾股数。【说明】勾股
5、数的定义包含两个条件：一是这三个数必须是正整数，二是这三个数必须满足关系式a2b2c2，二者缺一不可。例如 0.3，0.4，0.5，尽管满足 0.320.420.52，但它们都是小数，所以它们不是勾股数。若a，b，c是勾股数，则ka，kb，kc（k为正整数）也是勾股数。例如 3，4，5 是勾股数，所以 6，8，10 也是勾股数。以勾股数作为三边长的三角形一定是直角三角形，但直角三角形的三边长不一定是勾股数，因为直角三角形的三条边长不一定都是整数。常见的勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17；7，24，25 第 3 节 勾股定理的应用 一、利用勾股定理求高度、测距离【例
6、 1】如图，小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了 1 米，当他把绳子的下端拉开离旗杆底端 5 米后，发现下端刚好与地面接触，求旗杆的高度。解：设旗杆的高度为*米，则绳子的长为（*1）米，根据勾股定理得*252(*1)2解得 *12 答：旗杆的高度为 12 米。【例 2】放学后小华和小夏从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小华和小夏走的速度都是 40 米/分，小华 15 分钟到家，小夏 20 分钟到家，求小华和小夏家的直线距离是多少。解：因为小华家在学校的东南方向，小夏家在学校的西南方向，所以两条路的夹角为直角。如图所示，AOB90。由题意知，OA4020800（米），O
7、B4015600（米）根据勾股定理得，AB2OA2OB28002600210002，所以AB1000（米）-.z.答：小华和小夏家的直线距离是 1000 米。二、利用勾股定理求面积【例 3】已知一个直角三角形的周长为 12，斜边长为 5，求这个直角三角形的面积。解：如图所示，在 RtACB中，c5，abc12，所以ab7，所以(ab)249，即a22abb249，又因为a2b2c225，所以 2ab24，所以ab12，所以这个三角形的面积S12ab6【例 4】如图，以 RtACB的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若AB3，求图中阴影部分的面积。解：设AEBE*，由勾股定理得，*2*232，
8、即 2*29，所以*292，所以SAEB12*294；同理可得，SABC14AC 2，SCFB14BC 2，所以SABCSCFB14AC 214BC 214(AC 2BC 2)，又因为AC 2BC 2AB 29，所以SABCSCFB94，所以S阴影SAEBSABCSCFB949492 三、确定几何体上的最短路线 在立体图形上，由于受物体和空间的阻隔，两点间的最短路线不能仅是两点间的线段长，应该将其展开为平面图形，再利用“两点之间线段最短”这个性质和勾股定理来求解。立体图形 转化 具体方法 圆柱 圆柱转化成矩形 沿圆柱任意一条母线剪开圆柱，展开侧面，得到一个矩形 棱柱 棱柱转化成矩形 沿棱柱任意
9、一条侧棱剪开棱柱，展开侧面，得到一个矩形 圆锥 圆锥转化成扇形 沿圆锥任意一条母线剪开圆锥，展开侧面，得到一个扇形【例 5】有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图所示，已知杯子高 8cm，点B距杯口 3cm，杯子底面半径为 4cm，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少.(取 3)解：从点 A 处竖直向上剪开，此圆柱侧面展开图如图所示，其中AC为圆柱的底面周长，则AC2r 23424cm，所以ED AC24cm，由题意知B为ED的中点，所以EB12ED 12cm，又因为EA8cm，EE 3cm，所以EAEAEE 5cm，所以AB2EA2EB252122169，所以AB13
10、cm，即A、B之间最短的距离为 13cm。【例 6】有一个长方体纸盒，如图所示，小明所在的数学小组研究由长方体的底面A点到长方体中与A点相对的B点的最短的距离。若长方体的底面长为 12，宽为 9，高为 5，请你帮助该小组求出由A点到B点的最短距离。(21.592466，18.442340)解：将四边形ACDF与四边形CEBD展开在同一个平面上，如图所示，在 RtAEB中，根据勾股定理得AB2AE2BE221252466 将四边形ACDF与四边形FDBG展开在同一平面上，如图所示，在 RtACB中，根据勾股定理，得AB2AC2BC2122142340 将四边形 AHGF 与四边形 FDBG 展开
11、在同一平面上，如图所示，在 RtAHB中，根据勾股定理，得AB2AD2BD217292370-.z.因为 340370466，所以A到B的最短距离是如图所示的情况，此时AB18.44，所以A点到B点的最短距离约为 18.44。第二章 实数 第 1 节 认识无理数 一、无理数 1、概念：无限不循环小数叫做无理数。2、类型（1）有规律但不循环的无限小数。如 0.9898898889（相邻两个 9 之间 8 的个数逐次加 1）（2）特殊字符，如圆周率 3.14159265（3）含根号且开不尽方的数，如a25，则a5，5为无理数。二、无理数的估算（1）方法：逐次逼近法（2）步骤：先从较大的范围开始，再
12、逐步缩小范围，逐渐逼近。（以a22 为例）估算整数部分：因为 121，224，所以 12a222，所以 1a2，即a的整数部分是1。估算十分位部分：因为 1.121.21，1.221.44，1.321.69，1.421.96，1.522.25，所以1.42a21.52，所以 1.4a1.5，即a的十分位是 4。估算百分位部分：因为 1.4121.9881，1.4222.0164，所以 1.41a1.42，即a的百分位是 1。同理，依次计算，可以将a无休止地探索下去，求出精确的任何位的a的值。第 2 节 平方根 一、算术平方根 1、概念：一般地，如果一个正数*的平方等于a，即*2a，则这个正数*
13、就叫做a的算术平方根。特别地，因为 0 的平方等于 0，即020，所以我们规定：0 的算术平方根是 0。2、表示方法：a的算术平方根记作“a”，读作“根号a”。3、算术平方根的性质（1）正数的算术平方根是一个正数，0 的算术平方根是 0，负数没有算术平方根。（2）算术平方根具有双重非负性：a中的a0；a0 二、平方根 1、概念：一般地，如果一个数*的平方等于a，即*2a，则这个数*就叫做a的平方根（也叫做二次方根）。例如，3 和3 的平方都等于 9，则 3 和3 叫做 9 的平方根，或者说 9 的平方根是3。2、表示方法 正数a的有两个平方根，一个是a的算术平方根a，另一个是a，它们互为相反数
14、，这两个平方根合起来可以记作“a”，读作“正、负根号a”。3、平方根的性质-.z.（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。（2）a中的a0。【说明】平方根与算术平方根的联系与区别 联系 A、包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。B、都是只有非负数才有平方根和算术平方根，而负数没有平方根和算术平方根。C、0 的平方根是 0，0 的算术平方根也是 0。区别 A、个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根 B、表示法不同：平方根表示为a，而算术平方根表示为a。三、开平方 求一个a的平方根的运算叫做开平方，其中a叫做
15、被开方数。【说明】（1）被开方数a一定是非负数，即a0。（2）开平方与平方运算互为逆运算。（3）互为倒数的两个正数的平方根互为倒数。第 3 节 立方根 一、立方根 1、概念：一般地，如果一个数*的立方等于a，即*3a，则这个数*就叫做a的立方根（也叫做三次方根）。例如 2 的立方等于 8，则 2 叫做 8 的立方根，或者说 8 的立方根是 2；又如4 的立方等于64，则4 叫做64 的立方根，或者说64 的立方根是4。2、表示方法：a的立方根记作“3a”，读作“三次根号a”。3、立方根的性质（1）普遍性：任何数都有立方根。（2）唯一性：任何数都有且只有一个立方根。（3）同号性：一个数与其立方根
16、同号。正数的立方根是正数，0 的立方根是 0，负数的立方根是负数。【说明】平方根与立方根的联系与区别 联系：0 的立方根和平方根都只有一个，那就是 0 本身。区别：A、正数有两个平方根，它们互为相反数，而正数却只有一个立方根。B、负数没有平方根，但负数却有立方根。C、对于平方根，被开方数必须为非负数，而对于立方根，被开方数没有限制。D、平方根根号前有“”，根指数 2 可以省略；立方根根号前没有“”符号，但根指数 3 不能省略。二、开立方 求一个a的立方根的运算叫做开立方，其中a叫做被开方数。【说明】（1）被开方数a为任意实数。（2）开立方与立方运算互为逆运算。（3）互为倒数的两个数的立方根互为
17、倒数。（4）互为相反数的两个数的立方根互为相反数。-.z.（5）33aa；3333()aaa；333333()()aaaa 第 4 节 估算 一、用估算法确定无理数的大小 对于带根号的无理数的近似值可以通过平方运算或立方运算，采用“夹逼法”（即逐次逼近法），首先确定其整数部分的范围，再确定其十分位、百分位、千分位（详见本章第 1 节）【说明】“精确到 0.1”指四舍五入到十分位，答案唯一；“误差小于 0.1”指结果在其值左右0.1 范围内均可，答案不唯一。例如，把 4.7654 精确到 0.1，结果为 4.8；而误差小于 0.1，结果可以为 4.7 到 4.8 之间的任意一个值。二、用估算法比
18、较数的大小 1、含根号的数比较大小（1）对于开方次数相同且符号相同的两个无理数，将两数n次方后去掉根号，再比较大小。例如15和17，可以把它们同时平方，因为 1517，所以1517。（2）对于开方次数不同的两个无理数，利用“夹逼法”估算近似值，再比较大小。2、无理数与有理数比较大小（1）利用“夹逼法”估算出无理数的近似值，再与有理数比较大小。（2）将有理数移入根号内，比较被开方数的大小。例如比较 7 与5的大小，可以将 7 写成27，再与5比较大小，因为275，所以 75。第 5 节 用计算器开方 一、使用计算器求平方根和立方根【说明】若被开方数是分数或一个式子时，整个被开方数一定要加括号。二
19、、利用计算器比较数的大小 用计算器求出各数的近似值，再比较大小。第 6 节 实数 一、实数的定义 有理数和无理数统称为实数。二、实数的分类 1、按定义分 2、按符号分 三、实数的性质 1、在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样。-.z.（1）相反数：如果两个数只有符号不同，则称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0 的相反数是 0。【说明】若a表示一个正实数，则a表示一个负实数，a与a互为相反数。在数轴上原点的两旁，与原点距离相等的两个点表示的数互为相反数。如果a与b互为相反数，则有ab0 或ab，反之亦成立。（2）
20、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。【说明】绝对值的实质是距离，所以任何实数的绝对值都是非负数，即|a|0。从数轴上看，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数。互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|a|。如果两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数。利用绝对值比较两个负实数的大小：两个负实数比较大小，绝对值大的反而小。（3）倒数：如果两个数的乘积为 1，则称其中一个数是另一个数的倒数，也称这两个数互为倒数。【说明】若a0，则a的倒数是1a；若a0，b0，则ba的倒数是ab
21、。如果a与b互为倒数，则有ab1，反之亦成立。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0 没有倒数。互为相反数的两个数的倒数也互为相反数。倒数等于本身的数是 1 和1。乘积为1 的两个数互为负倒数。2、实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。（1）运算法则 加法法则 A、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。a、两个正数相加和为正，并把它们的绝对值相加。b、两个负数相加和为负，并把它们的绝对值相加。B、异号两数相加 a、绝对值相等时和为 0，即互为相反数的两个数相加和为 0 b、绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去
22、较小的绝对值。C、一个数同 0 相加，仍得这个数。减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即aba(b)。乘法法则 A、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。a、两个正数相乘积为正，并把绝对值相乘。b、两个负数相乘积为正，并把绝对值相乘。c、正数与负数相乘积为负，并把绝对值相乘。B、任何数与 0 相乘，积仍为 0。【说明】几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。几个数相乘，只要有一个因数是 0，则积为 0。除法法则-.z.A、两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。B、0 除以任何非 0 的数都
23、得 0。C、除以一个不等于 0 的数等于乘以这个数的倒数。乘方法则 A、正数的任何次幂都是正数。B、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。C、0 的正数次幂都是 0。【说明】1 的任何次幂都是 1。任何一个不为 0 的数的 0 次幂都等于 1，即a01（a0）。ab1ba（a0，b0）（2）运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。【说明】加减法叫做第一级运算，乘除法叫做第二级运算，乘方和开方叫做第三级运算。一个式子中如果含有多级运算，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算。同一级运算按照从左往右的顺序进行运算。有括号时，按小括号、中括号、大括号的顺
24、序进行运算。混合运算时可以以加减号为界，把式子分成几部分，每一部分单独运算。（3）运算律 加法交换律：abba 加法结合律：abc（ab）ca（bc）乘法交换律：abba 乘法结合律：abc（ab）c a（bc）乘法分配律：a（bc）abac 3、实数与数轴上的点是一一对应的。（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。（2）数轴上的每一个点都表示一个实数。【说明】在数轴上画出表示无理数的点的方法（步骤）依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段。以原点为圆心，以上述线段为半径作弧（正无理数向数轴正方向作弧，负无理数向数轴负方向作弧），弧与数轴的交点便是表示无理数的点。
25、四、实数大小的比较 比较方法 详细说明 数轴比较法 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。法则比较法 正实数大于 0，负实数小于 0，正实数大于一切负实数；两个负实数比较，绝对值大的反而小。作差比较法 若ab0，则ab；若ab0，则ab；若ab0，则ab 作商比较法 0a且0b 若1ab，则ab；若1ab，则ab；若1ab，则ab 00ab 且 若1ab，则ab；若1ab，则ab；若1ab，则ab 倒数比较法 a0 且b0 若11ab，则ab；若1a1b，则ab；若11ab，则ab-.z.平方比较法 0a且0b 若22ab，则ab；若2a2b，则ab；若22ab，则ab 00ab 且
26、 若22ab，则ab；若2a2b，则ab；若22ab，则ab 中间量比较法 若ab，bc，则ac 第 7 节 二次根式 一、二次根式的概念 一般地，形如a（a0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数。【说明】（1）二次根式必须同时满足两个条件：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数，即a0 （2）特别地，虽然42，且 2 不是二次根式，但4却是二次根式。（3）被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是a0。如2a，21b 等，对于一些式子，只有在一定的条件下才是二次根式，如1m只有在m1 时才是二次根式。二、二次根式有意义的条件 二次根式a有意义的条件是a0。【说明】（1）二次
27、根式a无意义的条件是a0。（2）当一个式子中含有多个二次根式时，这个式子有意义的条件是各个二次根式的被开方数都是非负数，如若使1ab有意义，须使a0 且b10。（3）1a有意义的条件是a0；1aa有意义的条件是a0。三、二次根式的性质 1、双重非负性：（1）a中的a0；（2）a0 2、2()aa（a0），反过来，2()aa（a0）。a(a0)3、2a|a|0(a0)-a(a0)4、abab（a0，b0），aabb（a0，b0）四、二次根式的化简 1、依据：二次根式的性质 abab（a0，b0），aabb（a0，b0）积的算术平方根，等于积中各因式算术平方根的积。商的算术平方根，等于被除式的算术
28、平方根除以除式的算术平方根。-.z.2、最简二次根式 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。3、要求：化简结果中分母不含有根号，且各个二次根式必须是最简二次根式。如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。4、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。五、二次根式的运算 1、二次根式的乘法法则（1）文字表述：两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变。（2）公式：abab（a0，b0）【说明】当二次根式前面有系数时，将系数之积作为积的系数，被开方数
29、之积作为积的被开方数。如3 32 7(3 2)3 76 21。两个二次根式相乘，积的被开方数中有开得尽方的一定要开方。如：三个或三个以上的二次根式相乘，二次根式的乘法法则依然适用。如：abcabc（a0，b0，c0）2、二次根式的除法法则（1）文字表述：两个二次根式相除，就是把被开方数相除，根指数不变。（2）公式：aabb（a0，b0）3、二次根式的加减法法则（1）文字表述：两个被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）相加减，将系数与系数相加减，结果仍作为和或差的系数，根指数与被开方数保持不变。（2）公式：()a bc bacb（b0）4、二次根式的混合运算（1）有理数的运用法则和运算律对于二
30、次根式仍然适用。（2）二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。第三章 位置与坐标 第 1 节 确定位置 1、行列定位法：把平面分成若干行、列，然后利用行号和列号表示平面上的点。例如小明的座位在第 3 排第 7 列。2、方位角定位法：利用“方位角”和“距离”来确定位置。例如*船位于A岛北偏西 45，距离为 28 海里处。3、经纬度定位法：利用“经度”和“纬度”可以确定地球上任意一处的位置。例如*地位于东经 133，北纬 26。4、区域定位法：用英文大写字母和阿拉伯数字分别表示纵向区域和横向区域来确定位置。例如下图所示是*城市地图简图的一部分，“学
31、校”在“A1 区”，“电影院”在“B3 区”。-.z.第 2 节 平面直角坐标系 一、平面直角坐标系的相关概念（表格见下页）【说明】（1）横轴和纵轴都是数轴，都有原点、正方向和单位长度。（2）有序实数对（a，b）中的“有序”指横坐标和纵坐标的顺序不能颠倒，先是横坐标后是纵坐标。当ab时，（a，b）和（b，a）表示的是不同的两个点。（3）坐标轴上的点不属于任何一个象限。（4）平面直角坐标系中四个象限内点的坐标的符号特征分别是：第一象限（，），第二象限（，），第三象限（，），第四象限（，）。（5）在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意
32、一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。即坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。（6）有序实数对（a，b）中的a、b可正可负，点（a，b）到*轴的距离为|b|，到 y轴的距离为|a|，到原点的距离为22ab。定义 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，简称直角坐标系。两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。坐标轴 水平的数轴叫做*轴或横轴；铅直的数轴叫做 y 轴或纵轴；*轴与 y 轴统称坐标轴。原点*轴与y轴的公共原点O叫做直角坐标系的原点。坐标 如图 3-2-4 所示，对于平面内任意一点P，过点P分别向*轴和 y 轴作垂线，
33、垂足在*轴和 y 轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标和纵坐标。有序实数对（a，b）叫做点P的坐标。象限 如图 3-2-5 所示，两条坐标轴把平面分成四个部分：右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。二、特殊位置上的点的坐标的特征 1、坐标轴上的点的坐标的特征（1）*轴上的点的纵坐标为 0（2）y 轴上的点的横坐标为 0（3）原点既在*轴上也在 y 轴上，所以原点的横坐标与纵坐标都是 0 2、与坐标轴平行的直线上的点的坐标的特征（1）与*轴平行（与 y 轴垂直）的直线上的点的纵坐标相同；（2）与 y 轴平行（与*轴垂直）的直线上的点的横坐标相同
34、。3、对称点的坐标的特点（1）关于*轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。（2）关于 y 轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。（3）关于原点对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数。4、两坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征-.z.（1）第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标相同。（2）第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数。三、建立平面直角坐标系 1、分析条件，选择适当的点作为坐标原点。2、过原点在两个互相垂直的方向上分别作出*轴和 y 轴。3、确定*轴和 y 轴的正方向、单位长度。第 3 节 轴对称与坐标变化
35、 1、横坐标相同，纵坐标互为相反数的两个点关于*轴成轴对称。（关于*轴成轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数）2、纵坐标相同，横坐标互为相反数的两个点关于 y 轴成轴对称。（关于 y 轴成轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数）3、横坐标与纵坐标都互为相反数的两个点关于原点对称。（关于原点对称的两个点，横坐标与纵坐标都互为相反数）第四章 一次函数 第 1 节 函数 一、函数的概念 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量*和 y，并且对于变量*的每一个值，变量 y都有唯一的值与它对应，则我们称 y 是*的函数。其中*是自变量，y 是因变量。说明：函数不是数，它是指在*一
36、变化的过程中两个变量之间的关系。对于自变量*的每一个值，因变量 y 都有唯一的一个值与它对应，y 才是*的函数。例如在圆的周长公式C2r中，给定一个r值就唯一确定了一个C的值，所以C是r的函数；又如2y*中，当*2 时，y 就有两个值2与之对应，所以 y 不是*的函数。当多个自变量的值对应唯一一个因变量的值时，这种对应关系也属于函数关系。如在 y2x中，当*1 和*1 时，都有唯一的 y1 与之对应，所以 y 是*的函数。二、函数的表示方法 表示方法 含义 优点 缺点 列表法 用表格列出自变量与因变量的对应值，表示两个变量之间的关系 对应关系 明确清楚 数据有限，规律不明显 关系式法 用关系式
37、表示两个变量之间的关系 简明扼要，规范准确 抽象，并非适用 于所有函数 图象法 用图象表示两个变量之间的关系 直观形象，规律明显 不精确 第 2 节 一次函数与正比例函数 一、一次函数与正比例函数的概念 若两个变量*、y 间的对应关系可以表示成 yk*b（k、b为常数，k0）的形式，则-.z.称 y 是*的一次函数。其中*是自变量，y 是因变量。特别地，当b0 时，即 yk*（k为常数，k0），称 y 是*的正比例函数。【说明】（1）一次函数的表达式 yk*b是一个等式，其左边是因变量 y，右边是关于自变量*的整式。例如 y21x不是一次函数。（2）一次函数的自变量*与因变量 y 的次数都是
38、1，如221xy和221xy 都不是一次函数。（3）一次函数与正比例函数的自变量*的系数不能为 0，即k0。例如 y3 不是一次函数，属于常函数。（4）21(1)(2)xxxy 经过化简可变形为 y3*1，所以 y 是*的一次函数。故判断一个函数是否为一次函数，只有通过恒等变形后与一次函数 yk*b的形式作比较，才能确定。（5）正比例函数是特殊的一次函数，特殊之处在于b0。因此正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。（6）正比例函数中的两个变量一定满足正比例关系，但成正比例关系的两个变量不一定是正比例函数。例如 y 与*1 成正比例，即 yk（*1），但 y 不是*的正比例函数
39、。二、根据条件列函数表达式 1、认真分析，理解题意。2、和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系。3、注意自变量*的取值范围，要符合实际。第 3 节 一次函数的图象 一、函数的图象 1、定义 把一个函数的自变量*与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。2、画法描点法（1）列表：列表给出自变量与因变量的各组对应值。（2）描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点。（3）连线：按照自变量从小到大的顺序，把所描各点用线连接起来。【说明】列表时，通常把自变量*的值放在表的第一行，与其相对的因变量 y
40、 的值放在第二行，且*的值按照从小到大的顺序排列。函数的图象与函数表达式是一一对应的。即函数图象上的任意点 P（*，y）中的*，y 满足其函数式；反过来，满足函数关系式的任意一对*，y 的值，所对应的点一定在该函数的图象上。二、正比例函数的图象及性质 1、图象 正比例函数 yk*（k为常数，k0）的图象是一条直线，经过（1，k）和原点。2、性质 当k0 时，直线 yk*经过一、三象限，y 的值随*的值的增大而增大；当k0 时，直-.z.线 yk*经过二、四象限，y 的值随*的值的增大而减小。|k|越大，直线 yk*的图象越靠近 y 轴，即与 y 轴所成的锐角越小，相应的函数值 y 也增加或减小
41、的越快。三、一次函数的图象及性质 1、图象 一次函数 yk*b（k、b为常数，k0）的图象是一条直线，经过（0，b）和（bk，0）两点。2、性质 函数 k、b符号 性质 经过象限 增减性 yk*b（k、b为常数，k0）k0 b0 一、二、三象限 y 的值随*的值的增大而增大 b0 原点及一、三象限 b0 一、三、四象限 k0 b0 一、二、四象限 y 的值随*的值的增大而减小 b0 原点及二、四象限 b0 二、三、四象限【说明】（1）在一次函数 yk*b（k、b为常数，k0）中，k的符号决定函数的增减性；b的符号决定直线与 y 轴交点的位置：当b0 时，直线与 y 轴交于正半轴；当b0 时，直
42、线经过原点；当b0 时，直线与 y 轴交于负半轴。b的值即一次函数 yk*b（k0）的图象与 y 轴交点的纵坐标。（2）|k|越大，直线 yk*b（k0）的图象越靠近 y 轴，即与 y 轴所成的锐角越小，相应的函数值 y 也增加或减小的越快。四、两条直线的位置关系 1、当k1k2，且b1b2时，直线 y1k1*b1与直线 y2k2*b2重合。2、当k1k2，且b1b2时，直线 y1k1*b1与直线 y2k2*b2平行。3、当k1k2，且b1b2时，直线 y1k1*b1与直线 y2k2*b2相交于 y 轴上一点。4、当k1k2，且b1b2时，直线 y1k1*b1与直线 y2k2*b2相交。【说明
43、】（1）在同一平面直角坐标系内，k不同的直线一定相交。（2）在同一平面直角坐标系内，k相同的直线平行或重合。（3）相互平行的两条直线可能通过平移得到：（上加下减在b上，左加右减在*上）第 4 节 一次函数的应用 一、确定正比例函数的表达式 1、条件 确定正比例函数 yk*（k为常数，k0）的表达式，只需求出k的值即可。它需要一个条件，通常是一个点的坐标或一对*，y 的值。2、方法 将一个已知点的坐标或一对*，y 的值代入 yk*（k为常数，k0）中，通过解一元一次方程，求出k的值，从而确定它的表达式。-.z.二、确定一次函数的表达式 1、条件 确定一次函数 yk*b（k、b为常数，k0）的表达
44、式，只需求出k和b的值即可。它需要两个独立的条件，通常是两个点的坐标或两对*，y 的值。2、方法 先设定一次函数的表达式为 yk*b（k0），再将两个已知点的坐标或两对*，y 的值分别代入 yk*b（k0）中，建立关于k，b的一个二元一次方程组，通过解这个二元一次方程组求解k和b的值，从而确定其表达式。这种方法叫做待定系数法。三、一次函数与一元一次方程的联系（1）从“数”的角度看，当一次函数 yk*b（k0）的函数值为 0 时，相应的自变量*的值就是方程k*b0（k0）的解；从“形”的角度看，一次函数 yk*b（k0）与*轴交点的横坐标就是方程k*b0（k0）的解。（2）一次函数 y1k1*b
45、1（k10）与 y2k2*b2（k20）交点的横坐标就是方程k1*b1k2*b2的解。四、求一次函数图象与坐标轴的交点坐标（1）求一次函数图象与 y 轴的交点坐标，可令自变量*0，则 yb，所以图象与 y 轴的交点的坐标为（0，b）。第五章 二元一次方程组 第 1 节 认识二元一次方程组 一、二元一次方程 1、二元一次方程的概念 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做二元一次方程。【说明】（1）方程中的“元”指未知数，“二元”就是有两个未知数。（2）“一次”是指含有未知数的项的次数都是 1，不能理解成两个未知数的次数都是 1。例如方程 3*y50 中含有两个未知数，且
46、两个未知数的次数都是 1，但含有未知数的项“3*y”的次数是 2，所以它不是二元一次方程。（3）二元一次方程含有未知数的项必须是整式，如 3*1y0 不是二元一次方程。2、二元一次方程的解 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。【说明】（1）由于二元一次方程中含有两个未知数，所以二元一次方程的一个解包含两个值，例如，*5 不是方程*y8 的解，y3 也不是方程*y8 的解，只有把它们合起来才是二元一次方程*y8 的解。（2）在二元一次方程中，只要给定其中一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解。二、二元一次方程组 1、二元一次方程组
47、的概念-.z.像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。2、二元一次方程组的解 二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。【说明】方程组的解一定是方程组中每个方程的解。二元一次方程组如果有解，只能有唯一的一个解。第 2 节 求解二元一次方程组 一、用代入消元法解二元一次方程组 1、基本思路：“消元”把“二元”变为“一元”2、主要步骤：（1）从方程组中选定一个系数较简单的方程进行变形，将此方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，变成 ya*b或*ayb的形式（其中a表示未知数的系数）（2）将ya*b或*ayb代入另一个未变形的方程
48、中，消去一个未知数y或*，得到一个关于*或y的一元一次方程。（3）解这个关于*或y的一元一次方程，求出*或y的值。（4）把求得的*或y的值代入ya*b或*ayb中，求出另一个未知数y或*的值。（5）用“”把两个未知数的值联立起来，就是二元一次方程组的解。二、用加减消元法解二元一次方程组 1、基本思路：“消元”把“二元”变为“一元”2、主要步骤：（1）在方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则直接将两个方程相减（或相加），便能消去该未知数，得到一个一元一次方程；若同一个未知数的系数既不相同也不互为相反数，则选取系数的公倍数较小的一个未知数，利用“等式的两边都乘以同一个不为零的数等
49、式仍然成立”的性质，将其系数变为相同（或互为相反数），再将变形后的两个方程相减（或相加），从而消去一个未知数，得到一个一元一次方程。（2）解这个一元一次方程，求出未知数的值。（3）把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值。（4）用“”把两个未知数的值联立起来，就是二元一次方程组的解。第 35 节 应用二元一次方程组 一、具体类型 1、鸡兔同笼 2、增收节支（1）销售问题 利润售价进价（成本价）利润率利润进价100%售价进价进价100%售价进价1 售价进价利润进价（1利润率）售价标价折数0.1（2）增长率问题-.z.增长率第二年产量第一年产量第一年产量100%第
50、二年产量第一年产量1 增长率现有量原有量原有量100%现有量原有量1 增长后的量原有量（1增长率）原有量原有量增长率 下降后的量原有量（1增长率）原有量原有量增长率（3）储蓄问题 本息和本金利息 利息本金利率存期本息和本金 3、里程碑上的数（1）行程问题 相遇问题：甲走的路程乙走的路程二者开始时相距的路程 追击问题：速度快的走的路程速度慢的走的路程二者开始时相距的路程 环形跑道问题 A、甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发，再一次相遇时，两人所走路程之和正好是环形跑道一圈儿的长度，即甲走的路程乙走的路程环形跑道的周长。B、甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发，再一次相遇时，速度快的比速度慢