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1、http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学 用专页 第 1 页 共 6 页 搜资源 上网站 数学奥林匹克初中训练题 15 第一试 一、选择题(每小题 7 分，共 42 分)1.已知 m、n 是两个连续正整数，mADCE(C)SBC，且A=2B.若三角形的三边长为整数，面积也为整数，求ABC 面积的最小值.二、(25 分)已知 G 是ABC 内任一点，BG、CG 分别交 AC、AB 于点 E、F.求使不等式 SBGFSCGEkS2ABC恒成立的 k 的最小值.三、(25 分)已知(x+1y2)(y+1x2)=1.求证:x+y=0.数学奥林匹克初中训练题 15 参考答案 第一试 一、1.C.
2、x=n+m=m+m+1=2m+1，y=n-m=1.所以，x、y 都是奇数.2.B.因为 =(b2+c2-a2)2-4b2c2=(b2+c2-a2+2bc)(b2+c2-a2-2bc)=(b+c)2-a2(b-c)2-a2=(b+c+a)(b+c-a)(b-c+a)(b-c-a).记 p=21(a+b+c)，所以，=2p2(p-a)2(p-c)-2(p-b)=-16p(p-a)(p-b)(p-c).由海伦公式知 S2=p(p-a)(p-b)(p-c).故=-16S2.3.B.4.A.设 BC=a，CA=b，AB=c.由题意知 AD+AC=BC+CE=21(a+b+c).故AD=21(a+c-b)
3、，CE=21(b+c-a).则AD CE=41(a+c-b)(b+c-a)=41 c2-(a-b)2=41(c2-a2-b2)+12ab.由ACB=90，知 a2+b2=c2，S=21ab.于是，ADCE=S.5.C.http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学 用专页 第 3 页 共 6 页 搜资源 上网站 由题意知只能是PABPCA.则 有 PA/PC=PB/PA=AB/AC=8/6=4/3.故 PB=34PA，PB=PC+BC=PC+7，PA=34PC.又PA2=PBPC PC=9.6.D.辅助线如图.由题意知 OA2=OE2+AE2.设 AB=2x，则 AE=x.于是，R2=2x-
4、(R-2r)2+x2.化简得 5x2-4(R-2r)x+4(r2-Rr)=0.要使 AB 为有理数，只要 x 为有理数，也即方程的=-4(R-2r)2-454(r2-Rr)=16(R2+Rr-r2)为完全平方式，也即只需 R2+Rr-r2为完全平方式.经验证知，只有选项(D)符合题意.二、1.-7.令 A=33，B=33=2+2.由已知有+=-1，=-1.故 B=(+)2-2 =1+2=3.A+B=)=(3+3)(1/+1/)=-4.由式、得 A=-4-3=-7.2.1 009 020.注意到 aibi=41(ai+bi)2-(ai-bi)2，ai+bi=(1+2 008)1 004/1 00
5、4=2 009.要使 aibi的值最大，须 ai-bi的值最小，而 ai-bi的最小值为 1，此时 ai+bi=2 009，ai-bi=1.于是，ai=1 005，bi=1 004，此时，aibi的最大值为 1 0051 004=1 009 020.3.60.记 BC=a，CA=b，AB=c.由内角平分线定理知 BD=cbac，CD=cbab，BF=baac，CE=caab.由 BD+BF=CD+CE，.去分母并化简得 a2c+2ac2+2bc2+c3=a2b+2ab2+2b2c+b3，即 (c-b)(a2+2ac+2ab+b2+c2+3bc)=0.显然 a2+2ac+2ab+2bc+b2+c
6、2+bc=(a+b+c)2+bc0.于是，c-b=0，即 b=c.同理，当 CD+CE=AE+AF 时，有 c=a.所以，a=b=c，ABC 为等边三角形.故BAC=60.4.http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学 用专页 第 4 页 共 6 页 搜资源 上网站 命题、可分别给出如下反例:命题:如图 5(a)中的四边形 ABCD，其中，ABDCDE.命题:如图 5(b)，作等腰ADE，延长底边 ED 到任意点 O，以 O 为对角线的交点可作出 ABCE，而此时四边形 ABCD 满足条件 AD=(AE=)BC，且 AO=CO，但不是平行四边形.命题:如图 5(c)中的四边形 ABCD，
7、其中，A、C 是 BD 垂直平分线上的任意两点.图 5 以下证明命题是正确的.如图 5(d)，已知BAD=DCB，且 OB=OD.以点 O 为中心，将ABD 逆时针旋转 180.因为 OB=OD，所以，点 D 与 B 重合，点 B与 D 重合，点 A 与射线 OC 上某点 A1重合.如果 A1不是 C，则BA1DBCD(A1在线段OC 内部)或BA1DBC，知 abc，即 mnm2n2-m2.故 mn1，即 m 2+1.设ABC 的面积为 S，由海伦公式知 S=41n(n+m)(n-m)n)-n)(2m(2m.由式知 m3.又由式容易验证:当 3m7 时，只有 m=5 时，n=6，n)-n)(
8、2m(2m=8(有理数)，此时，S=1461118=132.下证当 m8，n9 时，S162.由式、知(2m+n)(2m-n)3m(2m-2m)=(6-32)m2(6-42)m2=(2-2)2m2，n(n+m)(n-m)n(1+22n)1=21(2+2)n2.http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学 用专页 第 5 页 共 6 页 搜资源 上网站 由式知 S1412(2+2)n2(2-2)m=14n2 则当 m8，n9 时，有 S162.故 S 的最小值为 132，此时，m=5，n=6.所以，a=30，b=25，c=11 时，ABC 面积最小，最小值为 132.二、如图，设 AF/AB
9、=x，AE/AC=y.则 0 x、y0.则 http:/ 彰显数学魅力！演绎网站传奇！学数学 用专页 第 6 页 共 6 页 搜资源 上网站(x+1y2)(y+1x2)=1y2(y+1)1，与已知矛盾.当 x=0，y0 时，又有(x+1y2)(y+1x2)=1y2(y+1)12y2y(1+y)=(1-y)(1+y)=1-y21，与已知矛盾.故 x=0 时，y=0.同理，y=0 时，x=0.(2)再证 x0，y0 时，x+y=0.为此先证 xy0，y0 或 x0，y0，y0 时，(x+1y2)(y+1x2)1，与已知矛盾.当 x0，y1，1x2-y1，则y)-1xx)(-1y(1221，与已知矛盾.从而，xy0，由于原式关于 x、y 对称，不妨设 x0，y-y，x2y2，有(x+1y2)(y+1x2)(1y2-y)(1y2+y)=1，与已知矛盾.同理，当 x0 时，也与已知矛盾.(ii)若 x+y0，y0.则 x-y，x2y2，有(x+1y2)(y+1x2)0 和 x+y0 均不成立.因此，x+y=0.综上知 x+y=0.