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1、精选 B A O D C E 图 8 济南初中数学压轴 -姜姜老师 北师大版七年级下三角形综合题归类 一、双等边三角形模型 1.（1）如图 7，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结 BC求AEB 的大小；（2）如图 8，OAB 固定不动，保持OCD 的形状和大小不变，将OCD 绕着点 O 旋转（OAB 和OCD 不能重叠），求AEB 的大小.同类变式：如图 a，ABC 和CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C，连接 AF 和 BE.(1)线段 AF 和
2、 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；(2)将图 a 中的CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图 b，(1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；(3)若将图 a 中的ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可)，(1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.图 c 3.如图 9，若ABC和ADE为等边三角形，,M N分别为,EB CD的中点，易证：CDBE，AMN是等边三角形 （1）当把ADE绕A点旋转到图 10 的位置时，CDBE是否仍然成立？若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图 11 的位置时，AMN是否还是等边三角形？若
3、是，请给出证明，若不是，请 说 明 理由 图 9 图 10 图 11 C B O D 图 7 A E 精选 同类变式：已知，如图所示，在ABC和ADE中，ABAC，ADAE，BACDAE，且点BAD，在一条直线上，连接BECDMN，分别为BECD，的中点（1）求证：BECD；ANAM；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180o，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4.如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H（1）证明：ABG ADE；（2）试猜想BHD的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋
4、转（0BAE 180），设ABE的面积 为1S，ADG的面积为2S，判断1S与2S的大小关系，并给予证明 5.已知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DGBC，交AC于点G，在GD的延长线上取点E，使DEDB，连接AECD，（1）求证：AGEDAC；（2）过点E作EFDC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论 C G A E D B F 二、垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容）考点 1：利用垂直证明角相等 1.如图，ABC 中，ACB90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作 BDBC交
5、CF 的延长线于 D 求证：（1）AECD；（2）若 AC12 cm，求 BD 的长 C F G E D B A H C E N D A B M 图 C A E M B D N 图 精选 2.（西安中考）如图(1),已知ABC 中,BAC=900,AB=AC,AE 是过 A 的一条直线,且 B、C在 A、E 的异侧,BDAE 于 D,CEAE 于 E。图(1)图(2)图(3)(1)试说明:BD=DE+CE.(2)若直线 AE 绕 A 点旋转到图(2)位置时(BDCE),其余条件不变,问 BD 与 DE、CE 的关系如何?写出结论,可不说明理由。3.直线 CD 经过BCA的顶点 C，CA=CBE
6、、F 分别是直线 CD 上两点，且BECCFA（1）若直线 CD 经过BCA的内部，且 E、F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：如图 1，若90,90BCAoo，则EF BEAF（填“”，“”或“”号）；如图 2，若0180BCA oo，若使中的结论仍然成立，则 与BCA 应满足的关系是 ；（2）如图 3，若直线 CD 经过BCA的外部，BCA，请探究 EF、与 BE、AF 三条线段的数量关系，并给予证明 A B C E F D D A B C E F A D F C E B 图 1 图 2 图 3 精选 考点 2：利用角相等证明垂直 1.已知 BE，CF 是ABC 的高，且 BP=AC
7、，CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系 2.如图，在等腰 RtABC中，ACB=90，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF(1)求证：CD=BF；(2)求证：ADCF；(3)连接AF，试判断ACF的形状.拓展巩固：如图 9 所示，ABC 是等腰直角三角形，ACB90，AD 是 BC 边上的中线，过 C 作 AD 的垂线，交AB 于点 E，交 AD 于点 F，求证：ADCBDE 3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形D
8、EFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图 1，ABC的边BC在直线l上，,ACBC且,ACBCEFP的边FP也 在直线l 上，边EF与边AC重合，且EFFP（1）在图 1 中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的 BACEFQPDA B C D E F 图 9 精选 数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线l向左平移到图 2 的位置时，EP交AC于点Q,连接,AP BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP沿直线l向左平移到图
9、3 的位置时，EP的延长线交AC的延长 线于点 Q,连结,AP BQ,你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.三、等腰三角形（中考重难点之一）考点 1：等腰三角形性质的应用 1.如图，ABC中，ABAC，90BAC，D是BC中点，EDFD，ED与AB交于E，FD与AC 交于F 求证：BEAF，AECF 2.两个全等的含30o，60o角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，,E A C三点在一条直线上，连结BD，取BD的中点M，连结,ME MC试判断EMC的形状，并说明理由 MEDCBA 压轴题拓展：（三线合一性质的应
10、用）已知RtABC中，ACBC，90C，D为AB边的中点，90EDF，EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F 当EDF绕D点旋转到DEAC于E时（如图 1），易证12DEFCEFABCSSS 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，DEFS，CEFS，ABCS又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 FEDCBA图1AECFBD图2AECFBD图3 l(1)A B(F)(E)C P A B E C F P Q(2)l A B E C F P l(3)Q ABCDEF精选 3.已知
11、：如图，ABC 中，ABC=45，CDAB 于 D，BE 平分ABC，且 BEAC 于 E，与 CD 相交于点 F，H是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G。(1)BF=AC(2)CE=12BF(3)CE 与 BC 的大小关系如何。考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）1.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边 经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与CBM 的平分线 BF 相交于点 F.如图 141，当点 E 在 AB 边的中点位置时：通过测量 DE，EF 的长度，猜想
12、 DE 与 EF 满足的数量关系是 ；连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想.如图 142，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N,使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明 2.在 RtABC 中，ACBC，ACB90，D 是 AC 的中点，DGAC 交 AB 于点 G.（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FHFC，交直线AB 于点 H 求证：DG=DC 判断 FH 与 FC 的数量关系并加
13、以证明（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变（本小题直接写出结论，不必证明）ADBCGE图 2 GHFEDCBA图 1 精选 同类变式：（期末考试原题哦）已知：ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点 A，且 60 角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点 E 不与点 B、C 重合），斜边与ACM 的平分线 CF 交于点 F（1）如图（1）当点 E 在 BC 边得中点位置时 1猜想 AE 与 EF 满足的数
14、量关系是 .2连结点 E 与边得中点，猜想和满足的数量关系是 .3请证明你的上述猜想；（）如图（）当点在边得任意位置时，和 EF 有怎样的数量关系，并说明你的理由？四、角平分线问题 1.如图：E 在线段 CD 上，EA、EB 分别平分DAB 和CBA,AEB=90,设 ADx,BCy，且,x y满足2268250 xyxy（1）求 AD 和 BC 的长；（2）你认为 AD 和 BC 还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出 AB 的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由.2.如图，OP 是MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作
15、全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。图（1）NFMCBAE图（2）FMCBAA C B D E(第 23 题图)O P A M N E B C D F A C E F B D 图 图 图 精选 3.(北京市中考模拟题)如图，在四边形ABCD中，AC平分BAD，过C作CEAB于E，并
16、且1()2AEABAD，则ABCADC等于多少？4.如图，ABC 中，AD 平分BAC，DGBC 且平分 BC，DEAB 于 E，DFAC 于 F.（1）说明 BE=CF 的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE 的长.五、中点问题 1.在ABC 中,D为BC的中点，过D点的直线GF交AC于F,交AC的平行线 BG于点G。DEGF,并交AB于点E.连结EG.（1）求证:BGCF；（2）请猜想BECF与EF的大小关系,并加以证明 2.如右下图，在ABC中，若2BC，ADBC，E为BC边的中点求证：2ABDE EDCBA 3.已知ABC中，ABAC，BD为AB的延长线，且BDAB，C
17、E为ABC的AB边上的中线 求证2CDCE（提示：倍长中线试试）EDCBA 附加思考题：以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE，90BADCAE.连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系 如图 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ；线段AM与DE的数量关系是 ；将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图所示，问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 EDGFCBAEDCBA精选 图NMEDCBA 图NMEDCBA 24、已知：如图，矩形ABCD中点G为BC延长线上一点，连接,DG BHDGH于，且GHDH，点,E F分别在,AB BC上，且/EFDG。（1）若3,2ADCG，求DG的长；（2）若GFADBE，求证：12EFDG。