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1、定积分的性质与计算方法 摘要:定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数 f(x)在区间a,b上连续，将区间a,b分成 n 个子区间x0,x1,(x1,x2,(x2,x3,(xn-1,xn，其中 x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：x1=x1-x0,x2=x2-x1,xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi中任取一点i（1,2,.,n），作和式1()niifx。设=max x1,
2、x2,xn（即是最大的区间长度），则当0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a,b的定积分，记为:()baf x dx。其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间a,b叫做积分区间，函数 f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做积分号。对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x在a,b上满足怎样的条件，()f x在a,b上一定可积下面给出两个充分条件：定理 1：设()f x在区间a,b上连续，则()f x在a,b上可积。定理 2：设()f x在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则()f x在a,b上可积。例：利用定义计算定
3、积分120 x dx.解：因为被积函数2()f xx在积分区间0,1上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间0,1的分法及点i的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间0,1分成 n 等份，分点为iixn，1,2,1in;这样，每个小区间1,iixx的长度1,1,2,;ixinn取 ix，1,2,in。于是，得合式 2211122311(11(311.(1)(21)6111(1)(2)6nnniiiiiiinniiifxxxxinnnnnnnnn 当0即n 时，取上式右端的极限.由定积分的定义，即得所要计算的 积分为 定积分的性质 1、2、,ab 3、常数可以提到积分号前.4、代数和的积分等
4、于积分的代数和.5、定积分的可加性：如果积分区间a,b被 c 分为两个子区间a,c与c,b则有 又由于性质 2，若 f(x)在区间 D 上可积，区间 D 中任意 c（可以不在区间a,b上）满足条件.6、如果在区间a,b上()1f x，则 2112001111limlim(1)(2)63niixxx dxnn 1bbaadxdx b a 7、如果在区间a,b上，f(x)0,则 8、积分中值定理：设 f(x)在a,b上连续，则至少存在一点 t 在（a，b)内使 9、设 M 及 m 分别是函数()f x在区间a,b上的最大值及最小值，则()()()bamb af xdx Mb a 微积分基本公式 定
5、理 1：如果函数()f x在区间a,b上连续，则积分上限的函数()()xaxf t dt 在a,b上可导，并且它的导数()()(),()xadxf t dtf xa x bdx 这个定理指出了一个重要结论：连续函数()f x去变上限x的定积分然后求导，其结果还原为()f x本身.联想到原函数的定义，就可以从定理 1 推知()x是连续函数()f x的一个原函数.定理 2：如果函数()f x在区间a,b上连续，则函数()()xaxf t dt 就是()f x在a,b上的一个原函数.这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定
6、理 3:如果函数()F x是连续函数()f x在区间a,b上的一个原函数，则()()()baf x dxF bF a 这也是牛顿（Newton）-莱布尼茨（Leibniz）公式，它进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.它表明：一个连续函数在区间a,b上的定积分等于它的任一个原函数在区间a,b上的增量.这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续.例：计算上述用定义求的定积分120 x dx.解：由于33x是2x的一个原函数，所以按牛顿-莱布尼茨公式，有 133312001011033333xx dx 定积分的计算方法 一、几何意义法 利用定积分的几
7、何意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出.例：求定积分22214xdx的值.解：22222211442xdxxdx，而2224xdx表 示 圆224xy在第一、二象限的上半圆的面积.因为 S半圆=2，又在x轴上方，所以22214xdx.注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出.二、换元法 定理：假设函数()f x在区间a,b上连续，函数()xt满足条件：1、(),();ab 2、()t在,（或,）上具有连续导数，且其值域,Ra b，则有()()()baf x dxftt dt 例：计算40221xdxx.解：设21xt，则21,2txdxtdt且 当0 x 时，1t；
8、当4x 时，3t.于是 21432012221txdxtdttx 3213311(3)21323127122932333tdttt 注意：在应用时必须注意变换()xt应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分.三、性质法(奇偶性)1、若()f x在,a a上连续且为偶函数，则 0()2()aaaf x dxf x dx 2、若()f x在,a a上连续且为奇函数，则()0aafx dx 例：求定积分44tan xdx.解：由被积函数tan x是奇函数，所以在对称区间的积分值为零.即 44tan xdx=0.四、分部积分法 设 u=u(x),()vv x均在区间a,b上可导，且 u，vR（a,b),则有分部积分公式 例：计算120arcsin xdx.解：1122120200arcsinarcsin1xxdxxxdxx 122013.112 6122x 结论 1、计算()baf x dx的关键是迅速找到满足()()F xf x的函数()F x；2、求导数时有现成的计算公式可用，求定积分是也可用其性质使计算简单；3、如果被积函数比较复杂，一定要先化简后积分.参考文献【1】同济大学数学系编高等数学【2】百度文库【3】中国知网【4】道客巴巴