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1、-12.6 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 1离散型随机变量的均值与方差 假设离散型随机变量*的分布列为*1*2 *i *n P p1 p2 pi pn(1)均值 称E(*)*1p1*2p2*ipi*npn为随机变量*的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差 称D(*)ni1(*iE(*)2pi为随机变量*的方差，它刻画了随机变量*与其均值E(*)的平均偏离程度，其算术平方根D*为随机变量*的标准差 2均值与方差的性质(1)E(a*b)aE(*)b.(2)D(a*b)a2D(*)(a，b为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)假设*服从两点分布，则E(*)_
2、p_，D(*)p(1p)(2)假设*B(n，p)，则E(*)_np_，D(*)np(1p)4正态分布(1)正态曲线：函数，(*)12e*222，*(，)，其中和为参数(0，R)我们称函数、(*)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的性质：曲线位于*轴上方，与*轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线*对称；曲线在*处到达峰值12；曲线与*轴之间的面积为_1_；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着_的变化而沿*轴平移，如图甲所示；当一定时，曲线的形状由确定，_越小_，曲线越“瘦高，表示总体的分布越集中；_越大_，曲线越“矮胖，表示总体的分布越分散，如图乙所示(3)正态分布的定义及表示
3、如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量*满足P(a*b)ba，(*)d*，则称随机变量*服从正态分布，记作*N(，2)正态总体在三个特殊区间取值的概率值 P(*)0.682_6；P(2*2)0.954_4；-P(3c1)P(*c1)，则c等于()A1 B2 C3 D4 4有一批产品，其中有 12 件正品和 4 件次品，有放回地任取 3 件，假设*表示取到次品的件数，则D(*)_.5在篮球比赛中，罚球命中 1 次得 1 分，不中得 0 分如果*运发动罚球命中的概率为 0.7，则他罚球 1次的得分*的均值是_ 题型一 离散型随机变量的均值、方差 例 1 (2021)设袋子中装有a个红球，b个黄球
4、，c个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分 袋中有 20 个大小一样的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，表示所取球的标号(1)求的分布列、期望和方差；(2)假设ab，E()1，D()11，试求a，b的值 题型二 二项分布的均值、方差 例 2 (2021)*居民小区有两个相互独立的平安防系统(简称系统)A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为110和p.(1)假设在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p的值；(2)设系统A在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为
5、随机变量，求的分布列及数学期望E()假设*班级教室共有 4 扇窗户，在每天上午第三节课上课预备铃声响起时，每扇窗户或被敞开或被关闭，且概率均为 0.5.记此时教室里敞开的窗户个数为*.(1)求*的分布列；(2)假设此时教室里有两扇或两扇以上的窗户被关闭，班长就会将关闭的窗户全部敞开，否则维持原状不变记每天上午第三节课上课时该教室里敞开的窗户个数为Y，求Y的数学期望-题型三 正态分布的应用 例 3 在*次大型考试中，*班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现该班同学中成绩在 8085 分的有17 人试计算该班成绩在 90 分以上的同学有多少人 在*次数学考试中，考生的成绩服从正态分布，即N(
6、100,100)，总分值为 150 分(1)试求考试成绩位于区间(80,120的概率；(2)假设这次考试共有 2 000 名考生参加，试估计这次考试及格(不小于 90 分)的人数 离散型随机变量的均值与方差问题 典例：(12 分)甲袋和乙袋中都装有大小一样的红球和白球，甲袋中共有m个球，乙袋中共有 2m个球，从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为25，从乙袋中摸出 1 个球为红球的概率为P2.(1)假设m10，求甲袋中红球的个数；(2)假设将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出 1 个红球的概率是13，求P2的值；(3)设P215，假设从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出 1 个球，并且从甲
7、袋中摸 1 次，从乙袋中摸 2 次设表示摸出红球的总次数，求的分布列和均值 思维启迪(1)概率的应用，知甲袋中总球数为 10 和摸 1 个为红球的概率，求红球(2)利用方程的思想，列方程求解(3)求分布列和均值，关键是求的所有可能值及每个值所对应的概率 规解答 解(1)设甲袋中红球的个数为*，依题意得*10254.3 分(2)由，得25m2mP23m13，解得P2310.6 分(3)的所有可能值为 0,1,2,3.P(0)35454548125，P(1)25454535C12154556125，P(2)25C1215453515219125，P(3)251522125.8 分 所以的分布列为
8、0 1 2 3 P 48125 56125 19125 2125 10 分-所以E()0481251561252191253212545.12 分 求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：第一步：确定随机变量的所有可能值 第二步：求每一个可能值所对应的概率 第三步：列出离散型随机变量的分布列 第四步：求均值和方差 第五步：反思回忆查看关键点、易错点和答题规 温馨提醒(1)此题重点考察了概率、离散型随机变量的分布列、均值(2)此题解答中的典型错误是计算不准确以及解答不规如第(3)问中，不明确写出的所有可能值，不逐个求概率，这都属于解答不规 方法与技巧 1均值与方差的常用性质掌握下述有关性质，
9、会给解题带来方便：(1)E(ab)aE()b；E()E()E()；D(ab)a2D()；(2)假设B(n，p)，则E()np，D()np(1p)2根本方法(1)随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)随机变量的均值、方差，求的线性函数ab的均值、方差和标准差，可直接用的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解 3关于正态总体在*个区域取值的概率求法(1)熟记P(*)，P(2*2)，P(3*3)的值(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与*轴之间面积为 1.正态曲线关于直线*对称，从而在关于
10、*对称的区间上概率相等 P(*a)1P(*a)，P(*nBmn CmnD不确定 2*一随机变量*的分布列如下，且E(*)6.3，则a的值为()*4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B6 C7 D8 3(2021)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同 样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为*，则*的均值E(*)等于()A.126125B.65 C.168125D.75 4*种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1 000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为*，则*的数学期望为()A100 B200 C3
11、00 D400 5一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为 0.6，现有 4 颗子弹，则射击停顿后剩余子弹的数目*的期望值为()A2.44 B3.376 C2.376 D2.4 二、填空题 6从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有*个红球，则随机变量*的分布列为*0 1 2 P 7随机变量的分布列为P(k)12k1，k1,2,3，n，则P(25)_.8*次英语考试的成绩*服从正态分布N(116,64)，则 10 000 名考生中成绩在 140 分以上的人数为_ 三、解答题 9*超市为了响应环保要求，鼓励顾客自带购物袋到超市购物，采取了如下措施：对不使用超
12、市塑料购物袋的顾客，超市给予 9.6 折优惠；对需要超市塑料购物袋的顾客，既要付购置费，也不享受折扣优惠 假设该超市在*个时段购物的人数为 36 人，其中有 12 位顾客自己带了购物袋，现从这 36 人中随机抽取两人(1)求这两人都享受折扣优惠或都不享受折扣优惠的概率；(2)设这两人中享受折扣优惠的人数为，求的分布列和数学期望 10为了*项大型活动能够平安进展，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反响三项指标进展检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选假定*基地有 4 名武警战士(分别记为A、B、C、-D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反响的概率分别为23，23，12.这三项测试能否通过相互之间没有影响(1)求A能够入选的概率；(2)规定：按入选人数得训练经费(每入选 1 人，则相应的训练基地得到 3 000 元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望