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1、 专题十五 不等式选讲 第三十五讲 不等式选讲 答案部分 2019 年 1.解：（1）当 a=1 时，f(x)=|x 1|x+|x 2|(x 1).当 x 1时，f(x)2(x 1)2 0；当 x 1时，f(x)0.所以，不等式 f(x)0的解集为(,1).（2）因为 f(a)=0，所以 a 1.当 a 1，x (,1)时，f(x)=(a x)x+(2 x)(x a)=2(a x)(x 1)0.所以，a的取值范围是1,).2.解析（1）因为 a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,c2 a2 2ac，又 abc 1，故有 2 2 2 ab bc ca 1 1 1 a b c ab bc ca
2、.abc a b c 所以 1 1 1 a2 b2 c2 .a b c（2）因为 a,b,c 为正数且 abc 1，故有(a b)3 (b c)3 (c a)3 33(a b)3(b c)3(a c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3(2 ab)(2 bc)(2 ac)=24.所以(a b)3 (b c)3 (c a)3 24.3.解析（1）由于(x 1)(y 1)(z 1)2 (x 1)(y 1)(z 1)2(x 1)(y 1)(y 1)(z 1)(z 1)(x 1)2 2 2 2 2 2 ，3(x 1)(y 1)(z 1)2 2 2 4(x 1)(y 1)(z 1)，故由已知得 3 1
3、 5 1 1 z 时等号成立 当且仅当 x=，y=，3 3 3 4 所以(x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 的最小值为.3（2）由于(x 2)(y 1)(z a)2 (x 2)(y 1)(z a)2(x 2)(y 1)(y 1)(z a)(z a)(x 2)2 2 2 ，3(x 2)(y 1)(z a)2 2 2 2 2 2(2 a)2 故由已知(x 2)(y 1)(z a)，3 当且仅当 x a，1 a 4 ，2a 2 y z 时等号成立 a，1 a 3 3 3 因此(x 2)2 (y 1)2 (z a)2 的最小值为 (2 a)2 3 由题设知 (2 a)1 2 ，解得 a 3 或
4、a 1 3 3 2010-2018 年 1【解析】(1)当 a 1时，f(x)|x 1|x 1|，即 故不等式 f(x)1的解集为|1 x x 2 2,x 1,f(x)2x,1 x 1,2,x1.(2)当 x (0,1)时|x 1|ax 1|x 成立等价于当 x (0,1)时|ax 1|1成立 若 a 0，则当 x (0,1)时|ax 1|1；若 a 0，|ax 1|1的解集为0 x 2，所以 2 1，故0 a 2 a a 综上，a 的取值范围为(0,2 2【解析】(1)当 a 1时，2x 4,x 1,f(x)2,1 x2,2x 6,x 2.2 可得 f(x)0 的解集为x|2 x 3(2)f
5、(x)1等价于|x a|x 2|4 而|x a|x 2|a 2|，且当 x 2 时等号成立故 f(x)1等价于|a 2|4 由|a 2|4可得 a 6或 a 2，所以 a 的取值范围是(,6U2,)3【解析】(1)1 3x,x,2 1 f(x)x 2,x 1,2 3x,x1.y f(x)的图像如图所示(2)由(1)知，y f(x)的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大 值为 3，故当且仅当 a3且b 2 时，f(x)ax b在0,)成立，因此 a b 的 最小值为 5 4D【证明】由柯西不等式，得(x2 y2 z2)(12 22 22)(x 2y 2z)2 因为 x 2
6、y 2z=6，所以 x2 y2 z2 4，当且仅当 x y z 时，不等式取等号，此时 2 4 4 x ，y ，z ，1 2 2 3 3 3 所以 x2 y2 z2 的最小值为 4 3 5【解析】（1）当 a 1时，不等式 f(x)g(x)等价于 x2 x|x 1|x 1|40 当 x 1时，式化为 x2 3x 40，无解；当 1 x1时，式化为 x2 x 20，从而 1 x1；当 x 1时，式化为 x2 x 40，从而1 1 17 x 2 1 17 所以 f(x)g(x)的解集为x|1 x 2（2）当 x 1,1时，g(x)2 所以 f(x)g(x)的解集包含 1,1，等价于当 x 1,1时
7、 f(x)2 又 f(x)在 1,1的最小值必为 f(1)与 f(1)之一，所以 f(1)2 且 f(1)2，得 1a 1 所以 a 的取值范围为 1,1 6【解析】（1）(a b)(a b)a ab a b b 5 5 6 5 5 6 (a b)2a b ab(a b)3 3 2 3 3 4 4 4 ab(a b)2 2 2 4（2）(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3 2 3ab(a b)3(a b)2 2 (a b)4 3(a b)2 ，4 3 所以(a b)3 8，因此 a b 2 4 7【解析】（1）3,x 1 f x x x()2 1,1 2，3,x 2 当 x 1时，f
8、x 1无解；当 1 x 2 时，由 f x 1得，2 x 1 1，解得1 x2 当 x2时，由 f x 1解得 x2 所以 f x 1的解集为x x1（2）由 f x x x m 得 m x x x x 1 2 ，而 2 2 x x x x x x x x 1 2 +1+2 2 2 2 3 5 5 =-x-+2 4 4 且当 3 x 时，2 2 5 x x x x 1 2 =4 5 故 m 的取值范围为 -，4 8【解析】证明：由柯西不等式可得：(ac bd)2(a2 b2)(c2 d2)，因为 a2 b2 4,c2 d2 16,所以(ac bd)2 64，因此 ac bd 8.9【解析】(1
9、)如图所示：5 x 4，x 1 (2)f x 3x 2，1 x 3 4 x，x 2 3 2 ，f x 1 当 x 1，x 4 1，解得 x 5 或 x 3，x 1 当 3 1 x ，3x 2 1，解得 x 1 或 2 1 x ，3 1 3 1 x 1 x ，3 2 或 当 x，4 x 1，解得 x 5 或 x 3，3 3 3 x 或 x 5，2 2 综上，1 x 或 1 x 3 或 x 5，3 1 ，解集为 f x 1，U 1，3 U 5，3 10【解析】（I）当 1 1 1 x 时，f x x x 2x，若 2 2 2 1 1 x ；2 当 1 1 1 1 x 时，f x x x 1 2 恒
10、成立；2 2 2 2 当 1 x 时，f x 2x，若 f x 2，2 1 2 cd，于是(a b)2 (a b)2 4ab (c d)2 4cd (c d)2 因此|a b|c d|，7 综上 a b c d 是|a b|c d|的充要条件 14【解析】（I）由 ab 1 1 2 ，得 ab 2，且当 a b 2 时取等号 a b ab 故 a b 2 a3b3 4 2，且当 a b 2 时取等号 3 3 所以 a3 b3 的最小值为 4 2 （II）由（I）知，2a 3b 2 6 ab 4 3 由于 4 3 6，从而不存在 a,b，使得 2a 3b 6 15【解析】（I）由 a 0，有 f
11、(x)x 1 x a x 1(x a)1 a 2 a a a 所以 f(x)2.（）1 f(3)3 3 a.a 当时 a 3 时，f(3)=a 1，由 f(3)5 得 3 a 5 21 a 2 ，由 f(3)5 得1 5 1 1 当 0 a 3 时，f(3)=6 a a 2 a 3 1 5 综上，a 的取值范围是（2 ，5 21 2 ）16【解析】()当 a=2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x 1|2x 2|x 3 0，1 5x,x 2 1 设函数 y=|2x 1|2x 2|x 3，y=x 2,x 1，2 3x 6,x 1 其图像如图所示，从图像可知，当且仅当 x(0,2)时，y 0，
12、8 y 1 1 2 2 x 原不等式解集是x|0 x 2 a 1（）当 x ，)时，f(x)=1 a，不等式 f(x)g(x)化为1 a x 3，2 2 a，1 a 4 xa 2 对 x a 2，即 a )都成立，故，2 2 2 3 a 的取值范围为(1，4 3 17【解析】（）a2 b2 2ab,b2 c2 2bc,c2 a2 2ca 得 a b c ab bc ca 2 2 2 由题设得 2 1 a b c ，即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以3 ab bc ca1，即 1 ab bc ca 3 （）a b c 2 2 2 b 2a,c 2b,a 2c b c a a
13、b c 2 2 2 (a b c)2(a b c)b c a 即 a b c 2 2 2 a b c b c a a b c 2 2 2 1 b c a 18【解析】(1)当 a 3时，f(x)厖3 x 3 x 2 3 2 x 3 x 2 x 3 或 或 3 x x 23 3 x 2 x 3 x 3 x 23 x 1或 x 4 9 (2)原命题 f(x)x 4 在1,2 上恒成立 x a 2 x 4 x 在1,2 上恒成立 2 x 剟 a 2 x 在1,2 上恒成立 3 剟 a 0 19【解析】（）当 a 1时，f(x)3x 2 可化为|x 1|2 由此可得 x 3 或 x 1 故不等式 f(x)3x 2 的解集为x|x 3或 x 1()由 f(x)0 得 x a 3x 0，x a 此不等式化为不等式组 x a 3x 0 x a 或 ，a x 3x 0 x a 即 a x 4 或 x a x a 2 ，a 因为 a 0，所以不等式组的解集为|x x ，2 a 由题设可得 =1，故 a 2 2 10