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1、Confidential Page 1 9/10/2013 三角函数教材分析及教学建议 一、新旧教材对比分析 三角函数是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。三角恒等变换在数学中有一定的应用。三角函数与三角恒等变换是高中数学课程的传统内容，因此，本模块的内容属于“传统内容”。与以往的教科书相比较，本书在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。1 以基本概念为主干内容贯穿本书，削枝强干，教材体系更显合理。“标准”设定的三角函数与三角恒等变换学习目标是：（1）通过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的
2、问题中的作用；（2）运用向量的方法推导基本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换。根据上述学习目标，在编写教科书过程中，特别注意突出主干内容，强调模型思想、数形结合思想。“三角函数”一章，突出了三角函数作为描述周期变化的数学模型这一本质。即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，研究三角函数的基本性质，并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。与传统的处理方法不同，这里把三角恒等变换从三角函数中独立出来，其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。为了实现削枝强
3、干的目标，教科书除了将三角恒等变换独立成章外，还在具体内容上进行了处理。在三角函数部分删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角以及符号xxxarctan,arccos,arcsin等内容。任意角、弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，周期函数与最小正周期，三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。三角恒等变换中，两角和与差的正余弦、正切公式，二倍角的正余弦、正切公式由原来的掌握减弱为能从两角差的余弦公式导出。积化和差、和差化积、半角公式都作为三角恒等变换基本训练的例题，不要求用积化和差、和差化积、半角公式作复杂的恒等变形。根据上述考虑，本模块先安排三角函数，再安排平面向量，然后再把三角恒等
4、变换作为平面向量的一个应用，安排在第 3 章，紧接着再安排解三角形的内容（放在数学 5 的第 1 章）。这样的教材体系的合理性在于：（1）以已有的集合与函数、指数函数与对数函数的知识为基础，三角函数置于其上位概念（即函数）之下，使三角函数的学习有一个好的“先行组织者”，找到一个有力的“固着点”。三角函数的学习是一种“逐渐分化”式的学习。（2）三角函数的学习为平面向量的学习作了必要的准备，因为平面向量的某些Confidential Page 2 9/10/2013 内容(向量的数量积)需要用到钝角的三角函数。（3）将三角恒等变换安排在平面向量之后，使学生能够切实感受到平面向量的威力（用向量为工具
5、推导三角变换公式非常简捷，而用其他方法都比较繁琐）。另外，由于三角恒等变换与“函数”讨论的主题关系较远，作为平面向量的一个应用而独立成章，对三角函数的系统性没有破坏。（4）将解三角形的内容安排在平面向量之后，可以使正弦定理、余弦定理的证明获得更多途径，能更好地体现向量的工具性作用。2 强调联系、类比等思想方法的应用，强调教科书的思想性，加强思维能力的培养。在讨论三角函数及其性质时，经常提醒学生注意用数学 1 中获得的一般函数概念及其思想方法作指导。例如，教科书中有这样的话：“遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有没有特殊点，并借助图象研究一下它的性质，如：单调性、奇
6、偶性、最大值、最小值等。特别的，三角函数具有周而复始的特性到底应当如何描述？”这段话实际上是提示学生，在思考三角函数性质到底研究的是哪些问题以及应当如何研究时，应当与自己在数学 1 中建立的关于函数性质的已有经验联系起来，显然，这对学生把握三角函数基本性质的讨论方向是非常有用的。3 加强几何直观，强调数形结合思想。本书的内容为加强几何直观，引导学生用数学结合的思想方法研究数学问题提供了很好的条件，同时，几何直观对学生理解三角函数、向量等概念也发挥了重要作用。三角函数一章，特别强调了单位圆的直观作用，借助单位圆直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式
7、以及三角函数的图象，借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与 x 轴的交点等性质。这里我们特别说明一下用单位圆上点的坐标定义正弦函数、余弦函数的意义。这样来定义三角函数，除了考虑到使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性，为后续借助单位圆的直观讨论三角函数的图象与性质奠定坚实的基础外，主要还是为了这样的定义能够更好地反映三角函数的本质。事实上，任意角的三角函数可以有不同的定义方法。过去习惯于用角的终边上点的坐标及它到原点的距离的“比值”来定义，这种定义的一个基本理由是可以反映从锐角三角函数到任意角三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三
8、角函数。但它对准确把握三角函数的本质也有一定的不利影响，因为锐角三角函数与解三角形是直接相关的，而任意角的三角函数与解三角形却没有任何关系，它是一个最基本的、最有表现力的周期函数，这才是三角函数最本质的地方。本章利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。这样定义的好处就是直接用（弧度制下）任意角的集合到区间1，1上的映射来定义，去掉了“求比值”这一中间过程，有利于学生理解任意角的三角函数中自变量与函数值之间的对应关系。Confidential Page 3 9/10/2013 事实上，在弧度制（用半径来度量角）下，角度和长度的单位是统一的，这样，我们可以用下述方式来描述这两个函数的对
9、应关系：把实数轴想象为一条柔软的细线，原点固定在单位点 A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任意一个实数（点）t 被缠绕到单位圆上的点 P（cost，sint），也即是正弦函数把 R 中的实数 t 对应到区间1，1上的实数 y，y=sint；余弦函数把 R 中的实数 t 对应到区间1，1上的实数 x，x=cost。上述定义可以很容易地让我们看到三角函数的“周而复始”的变化规律。因此，我们认为这样的定义可以更好地反映三角函数的本质，也正是三角函数的这种形式决定了它们在数学（特别是应用数学）中的重要性。事实上，后续的内容，特别是在微积分中，最常用
10、的是弧度制以及弧度制下的三角函数。4 改进呈现方式，用恰时恰点的问题引导学生学习。通过改进呈现方式，提供直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动的载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习，引导教师改进教学方式，提高教学质量，使学生打好数学基础，提高数学思维能力。在保证内容体系的合理性、科学性的前提下，加强教材的问题性和思想性，在知识的发生发展过程中，利用“观察”“思考”“探究”等栏目，提出恰时恰点的问题，把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列的问题，启发学生的积极主动
11、思维。这样，可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的，不是强加于人的。例如，三角函数的诱导公式是通过这样两个问题情景引出的：思考：我们利用单位圆定义了三角函数，而圆具有很好的对称性。能否利用圆的这种对称性来研究三角函数的性质呢？例如，能否从单位圆关于 x 轴、y 轴、直线 y=x的轴对称性以及关于原点 O 的中心对称性等出发，获得一些三角函数的性质呢？探究：给定一个角。（1）终边与角 的终边关于原点对称的角与 有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（2）终边与角 的终边关于 x 轴或 y 轴对称的角与 有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？（3）终边与角 的终边关于直线 y
12、=x 对称的角与 有什么关系？它们的三角函数之间有什么关系？其中，“思考”中的问题是上位的，它对利用单位圆的性质讨论三角函数的性质具有一般思想方法的引导作用；“探究”中的问题比较具体，可以直接引起学生对诱导公式的探究活动。设计这样的问题系列，就是希望学生在问题的引导下，开展积极主动的思维活动，自己独立推导出三角函数的诱导公式，相信有这样的问题引导，是可以做到这一点的。另外，这样的做法对于学生思考“应当从哪些方面来研究三角函数”，即应当如何提出问题，也是有启发的。Confidential Page 4 9/10/2013 5 使用信息技术的考虑。本模块中，比较适合用信息技术的内容是三角函数及其性
13、质的研究。“标准”中明确提出了“借助计算器或计算机画出xAysin的图象，观察参数 A，,对函数图象变化的影响”的要求，在“说明与建议”中提出“应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如，求三角函数值，求解测量问题，分析xAysin中参数变化对函数的影响等”。根据“标准”的要求和建议，本模块对使用信息技术问题作了如下处理：（1）用计算器进行角度制与弧度制的互换；（2）用计算器求三角函数的值；（3）用计算器的 sin、cos、tan键求角；（4）讨论xAysin的图象时，在边空中提示，“可以用五点法作图，有条件的也可以用计算器或计算机作图。在计算机的帮助下，A，,对函数xAysin的图象变
14、化的影响能直观地得到反映”；（5）在用三角函数模型解决问题的过程中，提倡使用计算机进行函数拟合等。相应的，在角的两种度量制的互换、求三角函数值、作函数图象等方面都降低了要求，这样做可以为学生借助信息技术探索数学规律，从事一些富有探索性和创造性的数学活动提供时间和空间。因为有了信息技术，教科书中引进了一些计算量大、需要根据数据选择和修正函数模型才能解决的问题。二、课时分配 三角函数 16课时 三角恒等变换 8课时 正弦定理、余弦定理 8课时 三、使用本书的几个建议 1 充分利用三角函数与学生已有经验的联系创设问题情景。三角函数是描述周期现象的重要数学模型。在学生的已有经验中，像日出日落，月圆月缺
15、，春夏秋冬，24 节气，时针旋转都是日常经验，对于这些周期变化现象及出现的原因，学生在地理课中都接触过、学习过；单摆，圆周运动，弹簧振子是学生在物理中学习过的，这些都是认识周期现象的变化规律，体会三角函数模型的意义的很好载体，教学中可以充分利用它们来创设三角函数的学习情境。2 充分利用相关知识的联系性，引导学生用类比的方法进行学习，加强教学的“思想性”。Confidential Page 5 9/10/2013 三角函数与数学 1 的函数概念是一般与特殊的关系，教学中应当注意发挥学生头脑中函数概念及在指数函数、对数函数的学习中建立的经验的指导作用。通过联系和类比，使学生明确三角函数与已有函数概
16、念的共通性，同时认识三角函数的特殊性描述周期现象的最有力的数学模型，从而明确需要研究的问题及其研究方法。3 充分发挥几何直观的作用，注重数形结合思想方法的运用。在三角函数的教学中，应发挥单位圆的作用。单位圆可以帮助学生直观地认识任意角，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图象和基本性质。在三角函数的教学中，要充分发挥单位圆的作用，并且要注意逐渐使学生形成用单位圆讨论三角函数问题的意识和习惯，引导学生自主地用单位圆探索三角函数的有关性质，提高分析和解决问题的能力，加强几何直观，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习向量知识。4 提醒学生重视学科之间的联系与综合
17、在学习其他学科的相关内容（如单摆运动、波的传播、交流电）时，注意运用三角函数来分析和理解。5 把握教学要求，不搞复杂的、技巧性强的三角变换训练。弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位（圆周的 1/2 所对的圆心角或周角的 1/2），随着后续课程的学习，他们将会逐步理解这一概念，在此不必深究。在三角恒等变换的教学中，两角差的余弦公式的推导思路的获得是一个难点。为此，“标准”明确提出利用向量的数量积推导两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和的余弦、两角和与差的正弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，教学中应当把握这种要求，不要因为用其他方法推导两角差的余弦公
18、式有较好的思维教育价值而作过多扩展（对于学有余力的学生，可以作为课外学习素材）。另外，教学中应鼓励学生通过独立探索和讨论交流，推导积化和差、和差化积、半角公式，以此作为三角恒等变换的基本训练，不要进行复杂的、技巧性强的三角恒等变换训练。解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边角关系中的作用，引导学生认识它们是解决测量问题的一种方法，而不必在恒等变形上做过于繁琐的训练。另外，在三角函数中被删减的内容（如任意角的余切、正割、余割，三角函数的奇偶性，已知三角函数求角，反三角函数符号xxxarctan,arccos,arcsin等）以及降低要求的内容（如任意角概念，弧度制概念，同角三角函数
19、的基本关系式，诱导公式等）都不要随意补充或提高要求。6 在教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和解决问题。例如，求三角函数值，计算测量问题，分析 y=Asin（x+）中参数变化对函数的影响等。在三角函数、解三角形相应的内容中可以插入数学探究或数学建模活动。Confidential Page 6 9/10/2013 本章测试题 一、选择题 1、若6,则角的终边在 【】A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2、已知角 的终边过点 P(4,3)，则2sincos 的值是 【】A、1 B、1 C、52 D、25 3、函数44cossinyxx的最小正周期是 【】A、2 B、C、2
20、 D、4 4、sin163 sin 223sin 253 sin313等于 【】A、12 B、12 C、32 D、32 5、函数sin 22yx图象的一条对称轴是 【】A、4x B、2x C、8x D、54x 6、若32,1 sin1 sin2则式子可化简为 【】（A）2sin2 （B）2sin2 （C）2cos2 （D）2cos2 7、设sin13cos13a,22 2cos 142b,62c,则 a,b,c之间的大小关系是 【】A、bca B、cab C、acb D、cba 二.填空:8、若的值是则)4tan(,21)4tan(,32)tan(_ _ 9、设函数lg(tan1)yx，则该函
21、数的定义域为 10、函数xxycos2sin2的值域为 11、(1tan1)(1tan 2)(1tan 43)(1tan 44)(1tan 45)三.解答:12、证明:221 2sincos1tancossin1tanxxxxxx 13、已知tan3,求下列各式的值：（1）cos3sincos2sin3 （2）1cossin2sin2 Confidential Page 7 9/10/2013 14、已知(0,)2，(,)2,35cos,sin()513，求sin的值.15、已知函数22()5 3cos3sin4sincos3 3f xxxxx 求()f x的周期和最大值、最小值以及此时的 x;求()f x的单调增区间;该函数的图象可由)(sinRxxy的图象经过怎样的变换得到?(15分)