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1、实用文档 专题二：立体几何-线面垂直、面面垂直 一、知识点（1）线面垂直性质定理 （2）线面垂直判定定理 （3）面面垂直性质定理 （2）面面垂直判定定理 实用文档 线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图 1，在正方体1111ABCDABC D中，M为1CC 的中点，AC 交 BD 于点 O，求证：1AO 平面 MBD 证明：连结 MO，1AM，DB1A A，DBAC，1A AACA，DB平面11A ACC，而1AO 平面11A ACC DB1AO 设正方体棱长为a，则22132AOa，2234MOa 在 Rt11AC M中，22194AMa22211AOMOA
2、M，1AOOM OMDB=O，1AO平面 MBD 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图 2，P是ABC 所在平面外的一点，且 PA平面 ABC，平面 PAC平面 PBC 求证：BC平面 PAC 证明：在平面 PAC 内作 ADPC 交 PC 于 D 因为平面 PAC平面 PBC，且两平面交于 PC，AD 平面 PAC，且 ADPC，由面面垂直的性质，得 AD平面 PBC 又BC 平面 PBC，ADBC PA平面 ABC，BC 平面 ABC，PABC ADPA=A，BC平面 PAC 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明
3、两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直 判定性质线面垂直 判定性质面面垂直这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理 同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题下面举例说明 实用文档 3如图所示，ABCD为正方形，SA平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SBSCSD，于EFG，求证：AESB，AGSD 证明：
4、SA平面ABCD，SABC ABBC，BC 平面SAB 又AE 平面SAB，BCAE SC 平面AEFG，SCAEAE 平面SBCAESB同理可证AGSD 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化 4如图，在三棱锥BCD中，BCAC，ADBD，作BECD，为垂足，作AHBE于求证：AH平面BCD 证明：取AB的中点，连结CF，DF ACBC，CFAB ADBD，DFAB 又CFDFF，AB 平面CDF CD 平面CDF，CDAB 又CDBE，BEABB，CD 平面ABE，C
5、DAH AHCD，AHBE，CDBEE，AH 平面BCD 评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直如此反复，直到证得结论 实用文档 5如图，AB是圆的直径，是圆周上一点，PA 平面ABC若AEPC，为垂足，是PB上任意一点，求证：平面AEF平面PBC 证明：AB是圆的直径，ACBC PA 平面ABC，BC 平面ABC，PABCBC 平面APC BC 平面PBC，平面APC平面PBC AEPC，平面APC平面PBCPC，AE平面PBC AE 平面AEF，平面AEF平面PBC 评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的
6、垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系 10如图,在空间四边形 SABC 中,SA平面 ABC,ABC=90,ANSB 于 N,AMSC 于 M。求证:ANBC;SC平面 ANM 分析:要证 ANBC,转证,BC平面 SAB。要证 SC平面 ANM,转证,SC 垂直于平面 ANM 内的两条相交直线,即证 SCAM,SCAN。要证 SCAN,转证 AN平面 SBC,就可以了。证明:SA平面 ABC SABC 又BCAB,且 ABSA=A BC平面 SAB AN平面 SAB ANBC ANBC,ANSB,且 SBBC=B AN平面 SBC SCC 平面 SBC ANS
7、C 又AMSC,且 AMAN=A SC平面 ANM 实用文档 例 2如图 940，在三棱锥 SABC 中，SA平面 ABC，平面 SAB平面 SBC 图 940（1）求证：ABBC；（1）【证明】作 AHSB 于 H，平面 SAB平面 SBC平面 SAB平面 SBC=SB，AH平面 SBC，又 SA平面 ABC，SABC，而 SA 在平面 SBC 上的射影为 SB，BCSB，又 SASB=S，BC平面 SABBCAB 例 3如图 941，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是矩形，PA=AD=a，M、N 分别是 AB、PC 的中点 求证：平面 MND平面 PCD【证明】取 PD 中点 E，连
8、结 EN，EA，则 EN 21CD AM，四边形 ENMA 是平行四边形，EAMN AEPD，AECD，AE平面 PCD，从而 MN平面 PCD，MN平面 MND，平面 MND平面 PCD【注】证明面面垂直通常是先证明线面垂直，本题中要证 MN平面 PCD 较困难，转化为证明 AE平面 PCD 就较简单了另外，在本题中，当 AB 的长度变化时，可求异面直线 PC 与 AD 所成角的范围 实用文档 例 4如图 942，正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、M、N 分别是 A1B1、BC、C1D1、B1C1的中点 图 942 求证：平面 MNF平面 ENF【证明】M、N、E 是中点，MCNC
9、NBEB111145MNCENB11 90MNE即 MNEN，又 NF平面 A1C1，11CAMN平面MNNF，从而MN平面 ENFMN 平面 MNF，平面 MNF平面 ENF 4如图 945，四棱锥 PABCD 的底面是边长为 a 的正方形，PA底面 ABCD，E为 AB 的中点，且 PA=AB 图 945（1）求证：平面 PCE平面 PCD；（2）求点 A 到平面 PCE 的距离（1）【证明】PA平面 ABCD，AD 是 PD 在底面上的射影，又四边形 ABCD 为矩形，CDAD，CDPD，ADPD=DCD面 PAD，PDA 为二面角 PCDB 的平面角，PA=PB=AD，PAADPDA=
10、45，取 RtPAD 斜边 PD 的中点 F，则 AFPD，AF 面 PAD CDAF，又 PDCD=DAF平面 PCD，取 PC 的中点 G，连 GF、AG、EG，则 GF 21CD又 AE 21CD，GF AE四边形 AGEF 为平行四边形AFEG，EG平面 PDC 又 EG 平面 PEC，平面 PEC平面 PCD 实用文档 （2）【解】由（1）知 AF平面 PEC，平面 PCD平面 PEC，过 F 作 FHPC 于 H，则 FH平面 PEC FH 为 F 到平面 PEC 的距离，即为 A 到平面 PEC 的距离在PFH 与 PCD 中，P 为公共角，而FHP=CDP=90，PFHPCDP
11、CPFCDFH，设 AD=2，PF=2，PC=324822CDPD，FH=362322A 到平面 PEC 的距离为36 【拓展练习】一、备选题 1如图，AB 是圆 O 的直径，C 是圆周上一点，PA平面 ABC（1）求证：平面 PAC平面 PBC；（2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面 （1）【证明】C 是 AB 为直径的圆 O 的圆周上一点，AB 是圆 O 的直径 BCAC；又 PA平面 ABC，BC平面 ABC，BCPA，从而 BC平面 PAC BC 平面 PBC，平面 PAC平面 PBC（2）【解】平面 PAC平面 ABCD；平面
12、 PAC平面 PBC；平面 PAD平面 PBD；平面 PAB平面 ABCD；平面 PAD平面 ABCD 实用文档 2ABCABC是正三棱柱，底面边长为 a，D，E 分别是 BB，CC上的一点，BD21a，ECa（1）求证：平面 ADE平面 ACCA；（2）求截面ADE 的面积 （1）【证明】分别取 AC、AC 的中点 M、N，连结 MN，则 MNAABB，B、M、N、B 共面，M 为 AC中点，BC=BA，BMAC，又 BMAA且 AAAC=A BM平面 AACC 设 MN 交 AE 于 P，CEAC，PNNA2a 又 DB21a，PNBD PNBD，PNBD 是矩形，于是 PDBN，BNBM，PDBM BM平面 ACCA，PD平面 ACCA，而 PD平面 ADE，平面 ADE平面 ACCA（2）【解】PD平面 ACCA，PDAE，而 PDBM23a，AE2a SADE21AEPD 21246232aaa 实用文档 二、练习题 实用文档 实用文档 实用文档 实用文档