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1、-1-2008 年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一 选择题：1.（福建卷 11)又曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若 P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3)B.1,3 C.(3,+)D.3,2.（海南卷 11）已知点 P 在抛物线 y2=4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（A ）A.（41，1）B.（41，1）C.（1，2）D.（1，2）3.(湖北卷 10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P轨进入以月球球心F为
2、一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道绕月飞行，若用12c和22c分别表示椭轨道和的焦距，用12a和22a分别表示椭圆轨道和的长轴的长，给出下列式子：1122acac;1122acac;121 2c aa c;11ca22ca.其中正确式子的序号是B A.B.C.D.4.（湖南卷 8）若双曲线22221xyab（a0,b0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是(B )A.(1,2)B.(2,+)C.(1,5)D.(5,+)-2-5.（江西卷 7）已
3、知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A(0,1)B 1(0,2 C2(0,)2 D2,1)2 6.（辽宁卷 10）已知点P是抛物线22yx上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A ）A172 B3 C5 D92 7.（全国二 9）设1a，则双曲线22221(1)xyaa的离心率e的取值范围是（B ）A(2 2)，B(25)，C(2 5)，D(25)，8.（山东卷(10)设椭圆C1的离心率为135，焦点在X轴上且长轴长为 26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则
4、曲线C2的标准方程为 A（A）1342222yx (B)15132222yx(C)1432222yx (D)112132222yx 9.（陕西卷 8）双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（B ）A6 B3 C2 D33 xo322yA2-xBo322y2-2xo322yC-xo322yD2-3-10.（四川卷 12）已知抛物线2:8C yx的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且2AKAF，则AFK的面积为(B)（）4 （）8 （）16 （）32 11.（天津卷（7）设椭圆2
5、2221xymn（0m，0n）的右焦点与抛物线28yx的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 B（A）2211216xy （B）2211612xy （C）2214864xy （D）2216448xy 12.（浙江卷 7）若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是 D （A）3 （B）5 （C）3 （D）5 13.（浙江卷 10）如图，AB 是平面a的斜线段，A 为斜足，若点 P 在平面a内运动，使得ABP 的面积为定值，则动点 P 的轨迹是 B（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线 14.（重庆卷(8)已知双曲线22221xya
6、b（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=5k,则双曲线方程为 C（A）22xa224ya=1 (B)222215xyaa (C)222214xybb (D)222215xybb 二 填空题：1.（海南卷 14）过双曲线221916xy的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F 平行双-4-曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则AFB 的面积为_3215 2.（湖南卷 12）已知椭圆22221xyab（ab0）的右焦点为 F,右准线为l,离心率e=5.5过顶点A(0,b)作 AMl,垂足为 M，则直线 FM 的斜率等于 .12 3.（江苏卷 12）在平面直角坐标系中，椭圆22
7、22xyab1(ab0)的焦距为 2，以 O 为圆心，a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e=22 4.（江西卷 15）过抛物线22(0)xpy p的焦点F作倾角为30的直线，与抛物线分别交于A、B两点（A在y轴左侧），则AFFB 13 5.（全国一 14）已知抛物线21yax的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 2 6.（全国一 15）在ABC中，ABBC，7cos18B 若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 38 7.（全国二 15）已知F是抛物线24Cyx：的焦点，过F且斜率为 1 的直线交C于AB，两点设FAFB，则F
8、A与FB的比值等于 32 2 8.（浙江卷 12）已知21FF、为椭圆192522yx的两个焦点，过1F的直线交椭圆于 A、B 两点若1222BFAF，则AB=_。8 三 解答题：1.（安徽卷 22）（本小题满分 13 分）设椭圆2222:1(0)xyCabab过点(2,1)M，且着焦点为1(2,0)F -5-（）求椭圆C的方程；（）当过点(4,1)P的动直线l与椭圆C相交与两不同点,A B时，在线段AB上取点Q，满足AP QBAQ PB，证明：点Q总在某定直线上 解(1)由题意：2222222211cabcab ，解得224,2ab，所求椭圆方程为 22142xy(2)方法一 设点 Q、A、
9、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x yx yxy。由题设知,APPBAQQB均不为零，记APAQPBQB,则0且1 又 A，P，B，Q 四点共线，从而,APPB AQQB 于是 1241xx，1211yy 121xxx，121yyy 从而 22212241xxx，（1）2221221yyy，（2）又点 A、B 在椭圆 C 上，即 221124,(3)xy 222224,(4)xy （1）+（2）2 并结合（3），（4）得424sy 即点(,)Q x y总在定直线220 xy上 方法二 设点1122(,),(,),(,)Q x yA x yB xy，由题设，,PAPBAQQB均不为
10、零。且 PAPBAQQB 又,P A Q B四点共线，可设,(0,1)PAAQ PBBQ,于是 1141,11xyxy （1）-6-2241,11xyxy （2）由于1122(,),(,)A x yB xy在椭圆 C 上，将（1），（2）分别代入 C 的方程2224,xy 整理得 222(24)4(22)140 xyxy （3）222(24)4(22)140 xyxy (4)(4)(3)得 8(22)0 xy 0,220 xy 即点(,)Q x y总在定直线220 xy上 2.（北京卷 19）（本小题共 14 分）已知菱形ABCD的顶点AC，在椭圆2234xy上，对角线BD所在直线的斜率为 1
11、（）当直线BD过点(01)，时，求直线AC的方程；（）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值 解：（）由题意得直线BD的方程为1yx 因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD 于是可设直线AC的方程为yxn 由2234xyyxn ，得2246340 xnxn 因为AC，在椭圆上，所以212640n ，解得4 34 333n 设AC，两点坐标分别为1122()()xyxy，则1232nxx，212344nx x，11yxn，22yxn 所以122nyy 所以AC的中点坐标为344n n，-7-由四边形ABCD为菱形可知，点344n n，在直线1yx上，所以3144nn，解得2n 所以直线AC的
12、方程为2yx ，即20 xy（）因为四边形ABCD为菱形，且60ABC，所以ABBCCA 所以菱形ABCD的面积232SAC 由（）可得22221212316()()2nACxxyy，所以234 34 3(316)433Snn 所以当0n 时，菱形ABCD的面积取得最大值4 3 3.（福建卷 21）（本小题满分 12 分）如图、椭圆22221(0)xyabab的一个焦点是 F（1，0），O 为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l绕点 F 任意转动，值有222OAOBAB,求 a 的取值范围.
13、本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分 12 分.解法一：()设M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF为正三角形，所以32OFMN,即 13 2,3.23bb解得 -8-2214,ab 因此，椭圆方程为221.43xy ()设1122(,),(,).A x yB xy ()当直线 AB与x轴重合时，2222222222,4(1),.OAOBaABaaOAOBAB因此，恒有 ()当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：22221,1,xyxmyab代入 整理得22222222()20,ab myb myba b 所以
14、222212122222222,b mba byyy yab mab m 因为恒有222OAOBAB，所以AOB恒为钝角.即11221212(,)(,)0OA OBx yxyx xy y恒成立.2121212121212(1)(1)(1)()1x xy ymymyy ymy ym yy 2222222222222222222222(1)()210.mba bb mab mab mm a bba baab m 又 a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2-a2b2+b2对 mR 恒成立.当 mR 时，a2b2m2最小值为 0，所以 a2-a2b2+b20.a2a2b2-b
15、2,a20,b0,所以 a0,解得 a152或 a152,综合（i）(ii)，a 的取值范围为（152，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线 l 垂直于 x 轴时，-9-x=1 代入22222221(1)1,Ayb ayaba=1.因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1，即21aa1,解得 a152或 a152.（ii）当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（x1,y1）,B（x2,y2）.设直线 AB 的方程为 y=k(x-1)代入22221,xyab 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+a2 k2-a2 b2=0,故 x1+x2=22222222222
16、2222,.a ka ka bx xba kba k 因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,所以 x21+y21+x22+y22(x2-x1)2+(y2-y1)2,得 x1x2+y1y20 恒成立.x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=(1+k2)2222222222222222222222222()a ka ba kaa bb ka bkkba kba kba k.由题意得（a2-a2 b2+b2）k2-a2 b20 时，不合题意；当 a2-a2 b2+b2=0 时，a=152;当 a2-a2 b2+b20 时，a2-
17、a2(a2-1)+(a2-1)0,解得 a2352或 a2352（舍去），a152，因此 a152.综合（i）（ii），a 的取值范围为（152，+）.4.（广东卷 18）（本小题满分 14 分）设0b，椭圆方程为222212xybb，抛物线方程为28()xyb如图 4 所示，过点(02)Fb，作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G，已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点1F -10-A y x O B G F F1 图 4（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设AB，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得ABP为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点
18、？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）【解析】（1）由28()xyb得218yxb，当2yb得4x ，G 点的坐标为(4,2)b，14yx，4|1xy，过点G的切线方程为(2)4ybx即2yxb，令0y 得2xb，1F点的坐标为(2,0)b，由椭圆方程得1F点的坐标为(,0)b，2bb 即1b，即椭圆和抛物线的方程分别为2212xy和28(1)xy；（2）过A作x轴的垂线与抛物线只有一个交点P,以PAB为直角的Rt ABP只有一个，同理 以PBA为直角的Rt ABP只有一个。若以APB为直角，设P点坐标为21(,1)8xx，A、B两点的坐标分别为(2,0)和(2,0)，222421152(1
19、)108644PA PBxxxx。关于2x的二次方程有一大于零的解，x有两解，即以APB为直角的Rt ABP有两个，因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形。5.(湖北卷 19).（本小题满分 13 分）如图，在以点O为圆心，|4AB 为直径的半圆ADB中，ODAB，P是半圆弧上一点，30POB，曲线C是满足|MAMB为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（）设过点D的直线 l 与曲线C相交于不同的两点E、F.若OEF的面积不小于2 2，求直线l斜率的取值范围.本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、-11-
20、不等式的解法以及综合解题能力.（满分 13 分）（）解法 1：以 O 为原点，AB、OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则 A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（1,3），依题意得 MA-MB=PA-PB221321)32(2222）（AB4.曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线.设实平轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 c，则 c2，2a22，a2=2,b2=c2-a2=2.曲线 C 的方程为12222yx.解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PB AB4.曲线 C 是以原点为中心，A、B 为焦点的双曲线.设双
21、曲线的方程为abyax(122220，b0）.则由 411322222baba）（解得 a2=b2=2,曲线 C 的方程为.12222yx ()解法 1：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2，代入双曲线 C 的方程并整理得（1-K2）x2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，-12-0)1(64)4(01222kkk 331 kk k（-3,-1）（-1，1）（1，3）.设 E（x，y），F(x2,y2)，则由式得 x1+x2=kxxkk16,14212,于是 EF2212221221)(1()()(xxkxyxx.132214)(1222212212kkk
22、xxxxk 而原点 O 到直线 l 的距离 d212k，SDEF=.132213221122121222222kkkkkkEFd 若OEF 面积不小于 22,即 SOEF22，则有 解得.22,022213222422kkkkk 综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为-2，-1(1-,1)(1,2).解法 2：依题意，可设直线 l 的方程为 ykx+2，代入双曲线 C 的方程并整理，得（1-K2）x2-4kx-6=0.直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F，0)1(64)4(01222kkk 331 kk .k（-3，-1）（-1，1）（1，3）.设 E(x1,y1),F(x2,y2
23、),则由式得 x1-x2=.132214)(22221221kkkxxxx 当 E、F 在同一去上时（如图 1 所示），SOEF;21212121xxODxxODSSODEODF 当 E、F 在不同支上时（如图 2 所示）.-13-ODFOEFSSSODE=.21)(212121xxODxxOD 综上得SOEF,2121xxOD于是 由OD2 及式，得 SOEF=.132222kk 若OEF 面积不小于 2则有即,22,2OEFS.22,02213222422kkkkk解得 综合、知，直线 l 的斜率的取值范围为-2，-1（-1，1）（1，2）.6.（湖南卷 20）.（本小题满分 13 分）若
24、 A、B 是抛物线 y2=4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 AB 是点 P 的一条“相关弦”.已知当 x2 时，点 P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定 x02.（I）证明：点 P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；(II)试问：点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 x0表示）：若不存在，请说明理由.解:（I）设 AB 为点 P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点 A、B 的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则 y21=4x1,y22=4x2,两式相减得（y1
25、+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为 x1x2,所以 y1+y20.设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（xm,ym）,则 k=12121242myyxxyyy.从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为().2mmmyyyxx 又点 P（x0,0）在直线l上，所以 0().2mmmyyxx 而0,my 于是02.mxx故点 P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是 x0-2.()由()知，弦AB所在直线的方程是()mmyyk xx，代入24yx中，整理得2222()2()0.mmmmk xk ykxxykx （）则12xx、是方程（）的两个实根，且2122().m
26、mykxxxk 设点 P 的“相关弦”AB 的弦长为 l，则 22222121212()()(1)()lxxyykxx -14-22221212122222224222222200(1)()44(1)()2()44(1)4(4)(4)4(1)164(1)2(1)4(1)2(3).mmmmmmmmmmmmmmmmmmkxxx xkxx xyxyxyyyxyyyxxxyxxyx 因为 02my3,则 2(x0-3)(0,4x0-8),所以当 t=2(x0-3),即2my=2(x0-3)时,l 有最大值 2(x0-1).若 2x03,则 2(x0-3)0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数
27、，所以 0l23 时，点 P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值 为 2（x0-1）；当 20 时，恒有|OA|OB|20本小题主要考查平面向量，椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分 12 分 解：（）设 P（x，y），由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(03)(03)，为焦点，长半轴为 2 的椭圆它的短半轴222(3)1b，-16-故曲线 C 的方程为2214yx 3 分（）设1122()()A xyB xy，其坐标满足 22141.yxykx，消去 y 并整理得22(4)230kxkx，故1212222344k
28、xxx xkk ，5 分 若OAOB，即12120 x xy y 而2121212()1y yk x xk xx，于是22121222233210444kkx xy ykkk ，化简得2410k，所以12k 8 分（）2222221122()OAOBxyxy 22221212()4(11)xxxx 12123()()xxxx 1226()4k xxk 因为 A 在第一象限，故10 x 由12234x xk 知20 x，从而120 xx又0k，故220OAOB，即在题设条件下，恒有OAOB 12 分 9.（全国一 21）（本小题满分 12 分）（注意：在试题卷上作答无效）双曲线的中心为原点O，焦
29、点在x轴上，两条渐近线分别为12ll，经过右焦点F垂直于1l的直线分别交12ll，于AB，两点已知OAABOB、成等差数列，且BF与FA同向（）求双曲线的离心率；（）设AB被双曲线所截得的线段的长为 4，求双曲线的方程 -17-解：（）设OAmd，ABm，OBmd 由勾股定理可得：222()()mdmmd 得：14dm，tanbAOFa，4tantan23ABAOBAOFOA 由倍角公式22431baba，解得12ba,则离心率52e （）过F直线方程为()ayxcb,与双曲线方程22221xyab联立 将2ab，5cb代入，化简有22158 52104xxbb 222121212411()4
30、aaxxxxx xbb 将数值代入，有2232 528454155bb,解得3b 故所求的双曲线方程为221369xy。10.（全国二 21）（本小题满分 12 分）设椭圆中心在坐标原点，(2 0)(01)AB，是它的两个顶点，直线)0(kkxy与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E、F 两点（）若6EDDF，求k的值；（）求四边形AEBF面积的最大值（）解：依题设得椭圆的方程为2214xy，直线ABEF，的方程分别为22xy，(0)ykx k 2 分 如图，设001122()()()D xkxE xkxF xkx，其中12xx，且12xx，满足方程22(14)4kx，故212214xxk
31、D F B y x A O E -18-由6EDDF知01206()xxxx，得021221510(6)777 14xxxxk；由D在AB上知0022xkx，得0212xk 所以2210127 14kk，化简得2242560kk，解得23k 或38k 6 分（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点EF，到AB的距离分别为21112222(1214)55(14)xkxkkhk，22222222(1214)55(14)xkxkkhk 9 分 又2215AB ，所以四边形AEBF的面积为 121()2SAB hh 214(12)525(14)kk 22(12)14kk 221 44214kkk
32、2 2，当21k，即当12k 时，上式取等号所以S的最大值为2 2 12 分 解法二：由题设，1BO，2AO 设11ykx，22ykx，由得20 x，210yy，故四边形AEBF的面积为 BEFAEFSSS 222xy 9 分 -19-222(2)xy 22222244xyx y 22222(4)xy 2 2，当222xy时，上式取等号所以S的最大值为2 2 12 分 11.（山东卷 22)(本小题满分 14 分)如图，设抛物线方程为 x2=2py(p0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点，过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B.（）求证：A，M，B 三点的横坐标成等差数列；（）已知当
33、 M 点的坐标为（2，-2p）时，4 10AB，求此时抛物线的方程；（）是否存在点 M，使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛物线22(0)xpy p上，其中，点 C 满足OCOAOB（O 为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.（）证明：由题意设221212120(,),(,),(,2).22xxA xB xxx M xppp 由22xpy得22xyp，则,xyp 所以12,.MAMBxxkkpp 因此直线 MA 的方程为102(),xypxxp 直线 MB 的方程为202().xypxxp 所以211102(),2xxpxxpp 222202(
34、).2xxpxxpp -20-由、得 212120,2xxxxx 因此 21202xxx，即0122.xxx 所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列.（）解：由（）知，当 x0=2 时，将其代入、并整理得：2211440,xxp 2222440,xxp 所以 x1、x2是方程22440 xxp的两根，因此212124,4,xxx xp 又22210122122,2ABxxxxxppkxxpp 所以2.ABkp 由弦长公式得 2221212241()4116 16.ABkxxx xpp 又4 10AB，所以 p=1 或 p=2，因此所求抛物线方程为22xy或24.xy（）解：设 D(x3,y3
35、)，由题意得 C(x1+x2,y1+y2),则 CD 的中点坐标为123123(,),22xxxyyyQ 设直线 AB 的方程为011(),xyyxxp 由点 Q 在直线 AB 上，并注意到点1212(,)22xxyy也在直线 AB 上，代入得033.xyxp -21-若 D（x3,y3）在抛物线上，则2330322,xpyx x 因此 x3=0 或 x3=2x0.即 D(0，0)或2002(2,).xDxp （1）当 x0=0 时，则12020 xxx，此时，点 M(0,-2p)适合题意.（2）当00 x，对于 D(0，0)，此时2212222212120002(2,),224CDxxxxx
36、xpCxkpxpx 又0,ABxkpABCD，所以222201212201,44ABCDxxxxxkkppxp 即222124,xxp 矛盾.对于2002(2,),xDxp因为22120(2,),2xxCxp此时直线 CD 平行于 y 轴，又00,ABxkp 所以 直线 AB 与直线 CD 不垂直，与题设矛盾，所以00 x 时，不存在符合题意的 M 点.综上所述，仅存在一点 M(0，-2p)适合题意.12.（陕西卷 20）（本小题满分 12 分）已知抛物线C：22yx，直线2ykx交C于AB，两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N（）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；（）是
37、否存在实数k使0NA NB，若存在，求k的值；若不存在，说明理由 20解法一：（）如图，设211(2)A xx，222(2)B xx，把2ykx代入22yx得2220 xkx，由韦达定理得122kxx，121x x ，x A y 1 1 2 M N B O -22-1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，设抛物线在点N处的切线l的方程为284kkym x，将22yx代入上式得222048mkkxmx，直线l与抛物线C相切，2222282()048mkkmmmkkmk，mk 即lAB（）假设存在实数k，使0NA NB，则NANB，又M是AB的中点，1|2MNAB 由（）知1212121
38、11()(22)()4222Myyykxkxk xx 22142224kk MN x轴，22216|2488MNkkkMNyy 又222121212|1|1()4ABkxxkxxx x 2222114(1)11622kkkk 22216111684kkk，解得2k 即存在2k ，使0NA NB 解法二：（）如图，设221122(2)(2)A xxB xx，把2ykx代入22yx得 2220 xkx由韦达定理得121212kxxx x，1224NMxxkxx，N点的坐标为248k k，22yx，4yx，-23-抛物线在点N处的切线l的斜率为44kk，lAB （）假设存在实数k，使0NA NB 由
39、（）知22221122224848kkkkNAxxNBxx，则 22221212224488kkkkNA NBxxxx 222212124441616kkkkxxxx 1212144444kkkkxxxx 221212121214()4164kkkx xxxx xk xx 22114(1)421624kkkkkk 22313164kk 0，21016k，23304k，解得2k 即存在2k ，使0NA NB 13.（四川卷 21）（本小题满分 12 分）设椭圆22221,0 xyabab的左右焦点分别为12,F F，离心率22e，右准线为l，,M N是l上的两个动点，120FM F N（）若12
40、2 5FMF N，求,a b的值；（）证明：当MN取最小值时，12FMF N与12FF共线。【解】：由222abc与22aec，得222ab -24-12220022FaFa，l的方程为2xa 设1222MayNay，则11223 2222FMayF Nay，由120FM F N得 212302y ya （）由122 5FMF N，得 2213 22 52ay 22222 52ay 由、三式，消去12,y y，并求得24a 故22,22ab（）2222212121212121222246MNyyyyy yy yy yy ya 当且仅当1262yya 或2162yya 时，MN取最小值62a 此
41、时，121212123 222 2,2 2,0222FMF Nayaya yyaFF，故12FMF N与12FF共线。【点评】：此题重点考察椭圆中的基本量的关系，进而求椭圆待定常数，考察向量的综合应用；【突破】：熟悉椭圆各基本量间的关系，数形结合，熟练地进行向量的坐标运算，设而不求消元的思想在圆锥曲线问题中的灵活应用。14.（天津卷 22）（本小题满分 14 分）已知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是0,31F，一条渐近线的方程是025yx （）求双曲线 C 的方程；（）若以0kk为斜率的直线l与双曲线 C 相交于两个不同的点 M，N，且线段 MN 的-25-垂直平分线与两坐标轴围成的三角形
42、的面积为281，求k的取值范围（22）本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力满分 14 分（）解：设双曲线C的方程为22221xyab（0,0ab）由题设得 22952abba，解得2245ab，所以双曲线方程为22145xy 的方程为ykxm（0k）点11(,)M x y，22(,)N xy的坐（）解：设直线l22145ykxmxy 标 满 足 方 程 组将式代入式，得22()145xkxm，整理得222(54)84200kxkmxm 此方程有两个一等实根，于是2504k，且2
43、22(8)4(54)(420)0kmkm 整理得22540mk 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标00(,)xy满足 12024254xxkmxk，002554mykxmk 从而线段MN的垂直平分线方程为22514()5454mkmyxkkk 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为29(,0)54kmk，29(0,)54mk由题设可得2219981|2 54542kmmkk整理得222(54)|kmk，0k 将上式代入式得222(54)540|kkk，整理得22(45)(4|5)0kkk，0k 解得50|2k或5|4k 所以k的取值范围是5555,)(,0)(0,)(,)4224(-26-15
44、.（浙江卷 20）（本题 15 分）已知曲线 C 是到点 P（83,21）和到直线85y距离相等的点的轨迹。是过点 Q（-1，0）的直线，M 是 C 上（不在上）的动点；A、B 在上，xMBMA,轴（如图）。（）求曲线 C 的方程；（）求出直线的方程，使得QAQB2为常数。本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分 15 分（）解：设()N xy，为C上的点，则 2213|28NPxy，N到直线58y 的距离为58y 由题设得22135288xyy 化简，得曲线C的方程为21()2yxx（）解法一：设22xxMx，直线:l ykxk
45、，则()B xkxk，从而2|1|1|QBkx 在RtQMA中，因为 222|(1)14xQMx，2222(1)2|1xxkMAk 所以222222(1)|(2)4(1)xQAQMMAkxk.2|1|2|2 1xkxQAk，A B O Q y x l M -27-222|2(1)112|QBkkxQAkxk 当2k 时，2|5 5|QBQA，从而所求直线l方程为220 xy 解法二：设22xxMx，直线:l ykxk，则()B xkxk，从而 2|1|1|QBkx 过Q(10)，垂直于l的直线11:(1)lyxk 因为|QAMH，所以2|1|2|2 1xkxQAk，222|2(1)112|QB
46、kkxQAkxk 当2k 时，2|5 5|QBQA，从而所求直线l方程为220 xy 16.（重庆卷 21）（本小题满分 12 分，（）小问 5 分，（）小问 7 分.）如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：6.PMPN（）求点P的轨迹方程；（）若21 cosPMPNMPN,求点P的坐标.解：()由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长 2a=6 的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴 b=225ac，所以椭圆的方程为221.95xy ()由2,1 cosPMPNMPN得 A B O Q y x l M H l1 -28-cos2.PMPNMPNPMPN 因为cos1,MPNP不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在PMN中，4,MN 由余弦定理有 2222cos.MNPMPNPMPNMPN 将代入，得 22242(2).PMPNPMPN 故点P在以M、N为焦点，实轴长为2 3的双曲线2213xy上.由()知，点P的坐标又满足22195xy，所以 由方程组22225945,33.xyxy 解得3 3,25.2xy 即P点坐标为 3 353 353 353 35(,)22222222、（，-）、（-，）或（，-）.