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1、 1 第 11 章 静电场【11-1】有两个相距为 2a，电荷均为+q 的点电荷。今在它们连线的垂直平分线上悬挂另一个点电荷 q，q与连线相距为 b。试求：（1）q所受的电场力；（2）q放在哪一位置处，所受的电场力最大？解（1）如图 jiF22222201)(41babbaabaqq jiF22222202)(41babbaabaqq q所受的合力为 jFFF2322021)(2baqbq 如果电荷 q与q同号，F 方向与y轴同向；如果 q与q异号，F 方向与 y 轴反向。（2）令0ddbF，即 222 3 222 5 20d130d2()()Fqqbbabab 可得 2ab 由于222222
2、7 202d3(23)0d2()abFqqbbabab，所以，当2ab 时，q所受的电场力最大。11-2 如图所示，质量为 m 的两小球带等量同号电量 q，现用长为l的细线悬挂于空间同点。（1）试证明：当很小且两球平衡时，则有31022mglqx，式中x为两球间的距离。（2）试求：当120l cm，150mg，5x cm时，q的值？（3）如果每个球都以911.0 10C s的变化率失去电荷，求两球彼此趋近的瞬时相对速率（即ddxt）是多少？解（1）如图所示，小球平衡时，FTsin,mgTcos,2024xqF 则 2024tanxqmg，很小时，tansin2xl，因此 31022mglqx（
3、2）由上式解出 302xqmgl q q a a F F1 F2 q b x q q l F mg T 2 以1.2l m，0.15mkg，0.05x m代入上式得 31280.052 3.14 8.85 100.15 9.829.23 101.2q C(3)3 22009418223320.05(1.0 10)3.61 10m s3 9.23 10dxdx dqq lqldqx dqvdtdq dtmgmg dtq dt 负号表示x减小，即两球彼此趋近。【11.3】两个点电荷所带电荷之和为 Q，问它们各带电荷为多少时，相互间的作用力最大？解 两点电荷之间的库仑力 201()4Qq qFr 由
4、极值条件0ddqF，得 12qQ 因021dd2022rqF，这表明两电荷平分电荷Q时，相互作用力最大。【11.4】若电荷 Q 均匀地分布在长为 L 的细棒上。求证：（1）在棒的延长线，且离棒中心为 r 处的电场强度大小为22014QErL（2）在棒的垂直平分线上，离棒为 r 处的电场强度大小为220421LrQrE 若棒为无限长（即L），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。证（1）延长线上一点P，取xLQqdd，则 2222200011114()4224LPLQdxQQEL rxL rLrLrL（2）若点 P 在棒的垂直平分线上，因对称性，E 沿 x 轴方向的分量叠加为零，因此，E
5、 的方向沿 y 轴，大小为 20sin4LdqEr 由于sinr r，22rrx，则 222 3 2222001d14()24LLrQ xQEL xrrLr 当L 时，若棒单位长度所带电荷为常量，则22001lim2214LQ LErrrL xdE dE y dx 3【11.5】一半径为 R 的半圆细环上均匀的分布电荷 Q，求环心处的电场强度。解取坐标Oxy，电荷元dddRlq，由点电荷场强公式 204RdqdEeR 由于电荷对称分布，场强也对称，则：0 xxEdE 00dd sinsin4yyEEEdR 2202QR 负号表示 E 方向沿 y 轴负方向。【11.6】一半径为 R 的半球壳，均
6、匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。解 将半球壳分割为一组平行细圆环，取任一个微元圆环，所带电荷 2dd2sin dqSR 在点O激发的电场强度为 iE232204ddrxqx 由于cosxR，sinrR，则 22222 3 230000200011cos2sin4()4sincos24xdqREdERdxrRd 【11.7】半径为R的带电圆盘，其电荷面密度沿圆盘半径呈线性变化，为0(1)rR。试求在圆盘轴线上距圆盘中心O为x处的场强E。解 把圆盘分为许多同轴圆环带，取一与原点相距为r，带宽为dr的圆环带，其上带电量为 dd2dqsr r，利用均匀带电圆环轴线上的场强公式，有
7、022 3 222 3 222 3 2000(1/)224()4()4()Pxr Rrdrxdqxrdr xdErxrxrx 对于整个带电圆盘来说，有 220022 3 2000(1/)dd1ln2()2RPPxPxxr R r rxRRxEEErxRx【11.8】有一无限长带电直线，电荷线密度为1，另有一长为l的均匀带电细棒，电荷线密度为2。棒与直线在同一平面内，且棒垂直于直线，如图所示。棒的一端与直线距离为d，求它们的相互作用力。【解】无限长带电直线产生的场强为 102Er l d 习题 118 图 12dExydldx R d dS 4 在距长直带电线为r处取电荷元2ddqr，则 120
8、ddd2FE qrr 整个带电细棒所受的电场力为 121200dddln()22d ldrdlFFE qrd【11-9】两条无限长平行直导线相距为0r，均匀带有等量异号电荷，电荷线密度为。试求：（1）两导线构成的平面上任一点的电场强度（设该点 p 到其中一线的垂直距离为x）；（2）每一根导线上单位长度受到另一根导线上电荷作用的电场力。【解】（1）E+、E分别表示正，负带电导线在P 点的电场强度，则有 000001122()rEEEiixrxx rx（2）设 F+、F分别表示正，负带电导线单位长度所受的电场力，则有 20 02FEir；20 02FEir 显然有 F+=F，相互作用力大小相等，方
9、向相反，两导线相互吸引。【11.10】设匀强电场的电场强度 E 与半径为R的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量。【解】垂直 E 方向作半径为R的平面S，根据电场线的性质，穿过平面S的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S的电场强度通量。因而 22cosddRERESSSESE【11.11】边长为a的立方体如图所示，其表面分别平行于xy，yz和zx平面，立 方 体 的 一 个 顶 点 为 坐 标 原 点。现 将 立 方 体 置 于 电 场 强 度12()EkxEEij的非均匀电场中，求立方体各表面及整个立方体表面的电场强度通量。【11.11 解】如题图所 0OABCDEFG 22
10、21d)(daESEkxESSABGFjjiSE 22CDEOABGFE a 2121)d()(daESEESSAOEFijiSE 2121)(d)(dakxESEkxESSBCDGijiSE 因此，整个立方体表面的电场强度通量 3ka 【11.12】设在半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为 kr，（0rR）；0，（rR）k为一常量。试用高斯定理求电场强度E与r的函数关系。习题 1111 图 x O y z A B C D E F 5【11.12 解】球体内(0)rR，2240001()44drkE rrkrrrr，rkrreE024)(球体外()rR，2240001()44dRk
11、E rrkrrrR，rrkRreE2024)(【11.13】一球壳体的内半径为1R，外半径为2R，壳体内均匀地分布着电荷体密度为的电荷。求离球心为 r 处的 E，并画出Er曲线。【11.13 解】由高斯定理，球壳内1rR，该高斯面内无电荷0q，故 01E 球壳间12()RrR，高斯面内电荷3314()3qrR，故 rrRreE2021323)(球壳外2()rR，高斯面内电荷33214()3qRR，故 rrRReE20213233)(【11.14】一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一半径为r的圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的电场强度。解 用补偿法求解，把小圆孔看作有
12、等量的正，负电荷重叠而成。在带电平面附近 neE012，ne为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场 nrxxeE)1(22202 合电场为 nrxxeEEE)222021 在圆孔中心处0 x，则 0E 在距离圆孔较远时 xr，则 nnxrxeeE02220212【11.15】如图所示，在电荷体密度为的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O指向球形空腔球心O的矢量用 a 表示。试证明球形空腔中任一点的电场强度为 aE03 证 用补偿法求解。挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的，电荷体密度为的均匀带电球和一个电荷体密度为，球心在O的带电小球（半径等于空腔球体的半径）。利用带
13、电球体内部一点的电场强度公式 rE03 习题 11.15 图 O Oa p x r 6 大球在空腔内任一P点的电场1013rE ；小球在空腔内任一P点的电场2023rE；则P点的电场强度 )(321021rrEEE 根据几何关系arr21，上式可改写为 aE03【11.16】半径为R的无限长圆柱，柱内电荷体密度2arbr，r为某点到圆柱轴 线的距离，,a b为常量。试求带电圆柱内外电场分布。【11.16 解】作长为l，半径为r，与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面S。当rR时，高斯面S内 20()d()2drVSqVarbrrl r342()34ablrr 由高斯定理可得：2304312arbrE，（
14、rR）当rR时，20()d()2dRVSqVarbrrl r342()34ablRR 由高斯定理可得 3404312aRbREr，（rR）【11.17】一个内外半径分别为1R和2R的均匀带电球壳，总电荷为1Q，球壳外同心罩一个半径为3R的均匀带电球面，球面带电荷为2Q。求电场分布。电场强度是否是场点与球心的距离r的连续函数？试分析。【11.17 解】1rR，该高斯面内无电荷，0q，故 10E 12RrR，高斯面内33113321()()Q rRqRR，由高斯定理得 33112233021()14()Q rRErRR 23RrR，高斯面内电荷为1Q，由高斯定理得 13204QEr 3rR，高斯面
15、内电荷为12QQ，由高斯定理得 124204QQEr 在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴3rR的带电球面两侧，电场强度的跃变量 24320304QEEER a r1 r2 7【11.18】两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为1R和2R（21RR），单位长度上的电荷为。求离轴线为r处的电场强度：（1）rR，（2）12RrR，（3）2rR。【11.18 解】取同轴圆柱面为高斯面，由高斯定理，得 1rR，0q ，10E 12RrR，qL，2012ErLL，202Er 2rR，()0qL，30E 在带电面附近，电场强度大小不连续，2100022LEEErr
16、L【11.19】如图所示，有三个点电荷1Q、2Q、3Q沿一条直线等间距分布，已知其中任一点电荷所受合力均为零，且13QQQ。试求在固定1Q和3Q的情况下，将2Q从点O移到无穷远处外力所做的功。【11.19 解】由题意1Q所受的合力为零 32112200044(2)QQQQdd 可得：231144QQQ 由电势的叠加得13,Q Q在点O的电势 310000442QQQVddd 将2Q从点O推到无穷远处的过程中，外力做功 22008QAQ Vd 【11.20】半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为，分别以柱面及轴线为电势零点，求电势的分布。【11.20 解】由高斯定理得，当rR时，0()
17、2rE r；当rR时，20()2RE rr（1）取棒表面为零点时，空间电势的分布有 当rR时 2200()d()24RrrV rrRr 当rR时 2200()dln22RrRRRV rrrr（2）取轴线处电势为零，由电势的定义可得 Q1 Q2 Q3 d d O 习题 1119 图 8 当rR时 2000()d24rrrV rr 当rR时 22200000()ddln2224RrRRrRRRV rrrrr【11.21】如图所示，有一薄金属环，其内外半径分别为1R和2R，圆环均匀带电，电荷面密度(0)。（1）计算通过环心垂直于环面的轴线上一点的电势；（2）若有一质子沿轴线从无限远处射向带正电的圆环
18、，要使质子能穿过圆环，它的初速度至少应为多 少？【11.21 解】（1）取半径为r，宽度为dr的带电细圆环，dd2dqSr r dq 在轴线上产生的电势为 22 1 222 1 200dd4()2()qr rdVxrrx 薄金属环的电势 2122222122 1 200d2()2RRr rVRxRxrx（2）根据能量守恒定律，为使质子在圆环中心,其动能应满足0kE，即2001mv-e(V-V)02 则：0210()evRRm【11.22】两个同心球面的半径分别为1R和2R，各自带有电荷1Q和2Q。求：（1）各区域电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？【11.22 解 1】（1
19、）由高斯定理可求得电场分布 01E，（1rR）；rrQeE20124，（12RrR）；rrQQeE202134，（2rR）；各区域的电势分布：当1rR时，有 12121121211230120201021104444RRrRRQQQQQVE dlEdlEdlRRRRR 当12RrR时，有 22112122230202002114444RrRQQQQQVEdlEdlrRRrR 习题 1121 图 x O v p R1 R2 9 当2rR时，有 123304rQQVEdlr（2）两个球面间的电势差 2101212114d21RRQURRlE【11.22 解 2】（1）由各球面电势的叠加计算电势分布
20、。若该点位于两个球面内，即1rR，则 121010244QQVRR 若该点位于两个球面之间，即12RrR，则 12200244QQVrR 若该点位于两个球面之外，即2rR，则 12304QQVr（2）两个球面间的电势差 2111212010244r RQQUVVRR【11.23】电荷q均匀分布在长为2L的细直线上，试求：（1）中垂线离带电直线中心O为x处的电势和场强；（2）带电直线延长线上离中心O为y处的电势和场强；（3）离带电直线端点处为x的场点的电势和场强的x分量。【11.23 解】（1）取直角坐标系，取带电直线中心为坐标原点O，在带电直线上取电荷元ddd2qqyyL，在P点产生的电势为
21、220dd4PqVxy 整个带电系统在P点产生的电势为 222200dd2d44LPPqLqyqLVVxyxy220ln4qLLxLx 则该点的场强为 2204xVqExx Lx；0yE 所以，P点的场强为 iiE2204xLxqEx（2）带电直线延长线的电势，设P点位于yL处，同样取电荷元 dq，则有 00dd442y Ly LPy Ly LqqyVyLy0ln8qyLLyL 10 则相应的场强大小为 0 xVEx；2204()yVqEyyL 同理，在yL 处的电势为 00dd48y Ly LPy Ly LqqyVyy0ln8qyLLyL 场强为：0 xE；2204()yVqEyyL （3）
22、坐标原点O处于带电直线的端点处。则P点电势为 222222222220000000ddd242ln()8844LLLPqyqqyqLLxLVLLxxyxyxy 相应的P点场强的x分量为 2222018(24)4xVqxExL xLLxLx 220144qxLx【11.24】半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的直线上一点P 到盘心的距离为L。试求：（1）P点的电势；（2）P点的场强。【11.24 解】（1）如图所示，取坐标OX轴过盘心垂直于盘面，原点O位于盘心处。在圆盘上取一距原心为r，宽度为rd的圆环带 dS，rrSd2d为圆环带的面积，其上带电量为2dd2dQqSr rR。
23、dq在P点产生的电势为 22222200d2dd44qQr rVLrRLr 所以，整个带电圆盘在P点产生的电势为 22200dd2RQQr rVVRLr2220()2QRLLR（2）X轴上电势与坐标的函数关系为 2220()()2QV xRxxR 场强 2220d12()(1)d22VQxE xxRRx 2220(1)2QxRRx 则P点场强为 2220(1)2PQLERRL P点场强 E 方向在 x 轴方向上，若0Q，沿 x 轴正向，若0Q，沿 x 轴负向。【11.25】将一均匀带电细棒弯成如图 11-25 所示的形状，其电荷线密度为，半圆环的半径为R，两段直线部分的长度也为R。求：（1）环
24、心点O处的电场强度；（2）环心点O处的电势。（设无限远处电势为零。）x L r Q 11【11.25 解】（1）如图取坐标，电荷元dddqlR在O点的场强为 20dd4RqREe 把场强分解在坐标上，x 方向的场强为 0 xE y 方向的场强为 00dd sinsin d4yyEEER 02R 所以，场强为 jjEREy02 方向垂直向下。（2）半圆环的电势 1000d44RVR；直线的电势 2200d2ln242RRxVx 整个带电体的电势为 1200011ln2(ln2)4222VVV【11.26】如图所示，为一均匀带电球层，其电荷体密度为，球层内表面半径为1R，外表面半径为2R。求图中点
25、A的电势。（设无限远处电势为零。）【11.24 解】取一簿球壳 2dd4dqVrr，0dd4AqVr 整个带电球壳在A点的电势为 22112000d4ddd44RRAARRqrrVVr rrr 22210()2RR【11.27】在Oxy面上倒扣着半径为R的半球面，半球面上电荷均匀分布，电荷面密度为。A点的坐标为(0,2)R，B点的坐标为(32,0)R，求电势差ABU。【11.27 解】假设将半球面扩展为带有相同电荷面密度的一个完整球面，此时在,A B两点的电势分别为 004ARQRVVR，2000243BQRRVrr 则半球面在,A B两点的电势差为 01()26ABABRUVV A R1 R2 O 习题 1126 图 y x O R R R x yB A O